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摘 要：从教材的内容广度、内容深度、习题难度比较研究我国人教版与澳大利亚“新路标数学”小学四年级数学教材的难易度，发现：（1）内容广度上，“人教版”知识点个数比“新路标数学”知识点个数少，前者更侧重数与代数领域且着重计算；（2）在教材内容深度方面，“人教版”相对更加偏重知识的掌握层次；（3）在教材习题的安排方面，“人教版”教材中习题题量小得多，以模仿与迁移为主，而“新路标数学”教材中的习题多得多，大多是模仿型任务，类似于一本习题集。
关键词：小学数学教材；四年级；比较中国和澳大利亚
一般而言，各国数学教育既有不分地域、民族的共性，也有不同文化背景、不同社会发展等因素导致的个性。数学教材亦如此。为落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》中“调整教材内容，科学设计课程难度”的要求，切实解决中小学生负担过重的问题，本文拟对我国人教版和澳大利亚“新路标数学”的難易度加以深入分析，为我国小学数学教材的进一步修订提供借鉴。
1. 研究设计
1.1 研究对象
（1）中国小学数学教材——“人教版”
目前，国内根据《全日制义务教育阶段国家数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）编写的小学数学教材中通过教材鉴定的已超过6种版本。本文选取使用面较广的人民教育出版社义务教育课程标准试验教科书（以下简称“人教版”）。
（2）澳大利亚小学数学教材——“新路标数学”
“新路标数学”（New Signpost Maths for Victoria）是澳大利亚皮尔森教育出版社（Pearson Education Australia）出版的系列丛书，该套教材依据《维多利亚地区基本学习标准》而编写，是维多利亚地区预备级至六年级学生的数学用书。
1.2 研究思路与方法
借用作者参与开发的小学数学教材难易度理论模型，采用内容分析法对中澳教材的在内容广度、内容深度及习题难度方面进行分类编码，利用模型对教材难度定量计算并逐一定性分析，最后归纳对比得到两版本教材在上述三个维度的共性及差异，得出两版本教科书的编写特点。
1.3 小学数学教材难易度的刻画
本研究参考《中小学教材难易程度的国际比较研究》教材难易程度模型中提出的分析框架，对中澳两套小学四年级数学教材的难易度加以编码分析，即教材的内容广度、内容深度、习题难度。
2. 内容广度维度的比较
本研究中，内容广度主要由“知识点”的多少来体现，且知识点划分标准完全参考《中国小学数学教科书的难度分析——国际比较的视角》一文中的做法，将教材的各部分内容归属为三大知识领域——数与代数、图形与几何、统计与概率。（一般情况下，我国课标规定的“实践与综合运用”领域实际上是其他三方面内容的综合运用）
2.1 知识点的划分差异
2.1.1 “人教版”四年级教材中的知识点划分情况
（1）数与代数
数的认识（14个）：计数单位，数位顺序表，十进制计数法，用万、亿为单位表示数，大数的比较，近似数（万、亿作单位），自然数的含义和特点，小数的意义，小数的数位顺序表和读写法，小数的性质，小数点位置移动引起小数大小变化的规律，小数的大小比较，小数和十进复名数的相互改写，小数的近似数表示。
数的运算（17个）：计算工具的认识，用计算器计算，三位数乘一位数（口算），三位数乘两位数 （笔算），三位数乘两位数（估算），除数是整十数的除法（口算），除数是两位数的除法（笔算），生活中的策略优化问题，加减乘除混合运算（有括号），加减乘除混合运算（无括号），加法运算定律，乘法运算定律，加乘运算定律的运用，小数的加减混合运算，两位小数的加法与减法，积的变化规律，时间、速度、路程的关系。
（2）图形与几何
图形的认识（11个）：认识直线与射线、总数和间隔数之间的关系问题（如植树、棋盘）、认识垂直与平行、画垂线与平行线、认识平行四边形与梯形、三角形的特性、三角形三边关系、三角形的分类（按边、角）、三角形的内角和、三角形拼图、认识角（概念、表示、分类）。
测量（3个）：角的度量、角的分类、用量角器画角。
图形与位置（1个）：确定位置（相对于参照点的方向、距离）。
（3）统计与概率
共2个知识点，分别为：条形统计图（复式）、折线统计图（认识、绘制）。
2.1.2 “新路标数学”四年级教材中的知识点划分情况
（1）数与代数
数的认识（16个）：除法的认识、乘法表、数位顺序表、小数的数位顺序表和读写法、小数点位置移动引起小数大小变化的规律、小数的大小比较、小数的近似数表示、等值分数、分数的意义、分数的比较、分数的认识、分数与小数、万以内数的认识、万以内的数的估算、平方数、因数。
数的运算（13个）：按规律填数、除数是个位数的除法、带余除法、万以内数的加减法、加减乘除混合运算、加乘运算定律的运用、两位小数的加与减法、千以内的加减法、整十数乘法、整数加法（百位数的加法）、分数的加法与减法（同分母相加减）、加倍与减半、用计算器计算。
（2）图形与几何
图形的认识（8个）：认识角（概念、表示）、认识平行四边形与梯形、棱锥与棱柱、认识多边形、垂直与平行、立体图形、圆柱圆锥和球、三角形的特性（稳定性）。
测量（7个）：长度单位厘米、米、毫米，质量单位（克），容积单位（升、毫升），面积的估算与测量，体积单位（立方厘米），体积的计算，角的度量。
图形的运动（2个）：平移、旋转和翻转，对称图形。
图形与位置（2个）：确定位置（相对于参照点的方向、距离）、平面上位置的表示方法（数对、网格中找点）。 常见的量（3个）：钟表的认识、年月日（日历）、认识时间表。
其他（1个）：嵌套图形。
（3）统计与概率
共4个知识点，分别为：条形统计图、统计图表的认识、可能性的大小、列出所有可能的结果。
2.1.3 知识点所属领域的对比
总体而言，“人教版”四年级教材的知识点个数是48个，“新路标数学”四年级教材的知识点为56个，两者相差8个，并且在不同领域上的分布也有一定的差异。
（1）两国教材中各领域所包含的知识点个数（如图1）。
在各领域“新路标数学”的知识点个数都比“人教版”的知识点个数多。
（2）“人教版”和“新路标数学”的知识点所属领域分布情况（如图2）。
“人教版”与“新路标数学”四年级数学教材都重视数与代数领域，两教材数与代数领域的知识点个数占其知识点总数的比例分别为65%和57%，同时，“人教版”此领域占比略高于“新路标数学”，与我国小学数学重视“算”不无关系。
在图形与几何领域中，“人教版”中相关知识点所占比例为31%；“新路标数学”中相关知识点所占比例为36%，略高于“人教版”所占比例。
“人教版”与“新路标数学”在统计与概率领域中的知识点比例都比较小，分别为4%和7%，但“新路标数学”所占比例稍高于“人教版”。
3. 内容深度维度的比较
内容深度指的是中澳两国四年级教材中知识点的呈现方式和认知要求的程度。其中，呈现方式分为直观、归纳、抽象，认知要求分为了解、理解、掌握。
3.1 呈现方式的对比
两套教材在知识点的呈现方式方面的表现如图3所示。“人教版”和“新路标数学”中知识点均未以抽象方式进行呈现。“人教版”和“新路标数学”中知识点的呈现方式均以归纳为主。但是归纳的呈现方式在“人教版”中的比例为85%，远高于“新路标数学”的54%。在直观的呈现方式中，“人教版”所占比例是15%，远低于“新路标数学”的46%。
总体而言，人教版”四年级数学教材中知识点的呈现方式要比“新路标数学”更复杂。
3.2 认知要求的对比
两套教材在知识点的认知要求上的表现如图4所示。“人教版”对知识点的认知要求以掌握为主，掌握程度的知识点占所有知识点数的比例为44%，理解程度的知识点占了37%，而了解程度的知识点占了19%，是比例最小的部分。
而“新路标数学”对知识点的认知要求以理解为主，理解程度的知识点占所有知识点数的55%，其次是掌握程度，比例为36%，而了解程度的知识点比例最小，为9%。
总体而言，“人教版”四年级数学教材中对知识点的认知要求以掌握为主，而“新路标数学”则强调理解，可见“人教版”在知识点的认知要求上对学生要求更高。
4. 习题难度
这里的习题是指两套教材中出现的习题。其中“人教版”教材中出现的习题个数为479；“新路标数学”教材中出现的习题个数为3503。而习题难度主要是由习题水平和习题背景来反映。习题水平分为模仿、迁移、探究。习题背景分为无背景、生活背景、科学情景。
4.1 习题水平对比
对“人教版”和“新路标数学”中的习题按照习题水平的三个维度编码，基本情况见图5。
不难发现“人教版”和“新路标数学”都以模仿为主，其次是迁移，探究的比例占得最小。其中“人教版”习题中模仿类型的比例为46%，低于“新路标数学”相应的比例；迁移类型习题的比例为43%，与“新路标数学”的40%较为接近；而探究类型的习题比例为11%，高于“新路标数学”的7%。
4.2 习题背景对比
对两国教材中习题背景进行比较，结果如图6所示。可以发现“人教版”和“新路标数学”中的习题大多数是无背景呈现的。但“人教版”无背景习题的比例小于“新路标数学”。
在“人教版”和“新路标数学”中，习题有生活背景的比例分别为35%和25%，可见“人教版”更为重视习题生活背景的呈现，以帮助学生更易理解题目，从而解决问题。
在有背景的习题类型中，学生理解有科学背景的题型更为困难，“人教版”中有科学背景的习题占总题量的5%，而“新路标数学”中有科学背景的习题几乎没有出现。
综上，在习题难度方面，“人教版”在习题水平和习题背景这两个维度都高于“新路标数学”。
5. 结论
从教材的内容广度、内容深度、习题难度三个维度对两套教材的难易度分析发现：
（1）在内容广度上，“人教版”知识点个数比“新路标数学”知识点个数少。“人教版”比“新路标数学”更侧重数与代数领域，注重计算；在图形与几何领域，“人教版”着重介绍三角形的相关内容，而“新路标数学”着重于三维图形的认识及钟表的认识；在统计与概率方面，两国教材介绍的内容都不多。
（2）在教材内容深度方面，“人教版”相对更强调对知识的理解和掌握，“新路标数学”以理解知识为主，并不特别强调掌握。在数与代数中，两国教材都介绍了小数与分数且强调对知识的掌握，“人教版”的重点在于大数的运算和运算技巧，强调运用，而“新路标数学”的要求主要是掌握；两国教材对于图形与几何领域的知识主要强调理解与掌握；在概率与统计板块中，两国教材主要要求对知识有初步认识和了解。
（3）在教材习题的安排方面，“人教版”四年级教材中习题总数为479，题量并不大，习题以模仿与迁移为主；而“新路标数学”四年级教材的特点是教材中习题较多，共有3503道小题，类似于一本习题集，习题类型大多是模仿。这可能也反映出两套教材在习题编排功能上的差异。
6. 两套教材的其他特点与启示
6.1 章节划分与组织的序
“新路标数学”四年级教材按照数与代数、测量与几何、概率与统计三大领域相对独立划分章节。实际上，“新路标数学”系列教材中，每个年级都涉及数与代数、测量与几何、概率与统计的相关章节。而中国人教版小学数学教材章节的划分采用的是一种交叉并行模式，可能不利于学生整体把握各领域。例如“人教版”小学四年级数学上册教材中，第一单元是大数的认识，第二单元是角的度量，而第三单元是三位数乘两位数，这样知识点所属领域的跨度太大，学生难以把握。
6.2 教材组织方式
两套小学数学教材的课程组织方式存在差异，“新路标数学”四年级教材的章节内容编排呈螺旋式上升，即在章节的不同阶段中课程内容重复出现，并且逐渐扩大范围，加深程度。“人教版”教材也表现为螺旋式编排，但在章节内还是更接近于直线式编写，可以认为是直线式与螺旋式的中间模式。
6.3 文字题的设计
长期以来，文字题（有时候又被大多数小学教师称为应用题）在我国小学数学中分量较重，并形成了独特的教学体系，在培养学生思维能力方面发挥了较好的作用，但在培养学生运用数学知识解决简单的实际问题的能力方面还显得不足。“新路标数学”教材中“解决问题”的思想是通過教材直接展示的，教材中呈现的应用题多符合生活实际，能激发学生的参与兴趣，在复杂的应用题旁有一些“解题策略”的点拨，有助于学生自主解决问题。这样的做法往往见于我国的教辅用书，教材编写者也可以适当吸纳。
关键词：小学数学教材；四年级；比较中国和澳大利亚
一般而言，各国数学教育既有不分地域、民族的共性，也有不同文化背景、不同社会发展等因素导致的个性。数学教材亦如此。为落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》中“调整教材内容，科学设计课程难度”的要求，切实解决中小学生负担过重的问题，本文拟对我国人教版和澳大利亚“新路标数学”的難易度加以深入分析，为我国小学数学教材的进一步修订提供借鉴。
1. 研究设计
1.1 研究对象
（1）中国小学数学教材——“人教版”
目前，国内根据《全日制义务教育阶段国家数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）编写的小学数学教材中通过教材鉴定的已超过6种版本。本文选取使用面较广的人民教育出版社义务教育课程标准试验教科书（以下简称“人教版”）。
（2）澳大利亚小学数学教材——“新路标数学”
“新路标数学”（New Signpost Maths for Victoria）是澳大利亚皮尔森教育出版社（Pearson Education Australia）出版的系列丛书，该套教材依据《维多利亚地区基本学习标准》而编写，是维多利亚地区预备级至六年级学生的数学用书。
1.2 研究思路与方法
借用作者参与开发的小学数学教材难易度理论模型，采用内容分析法对中澳教材的在内容广度、内容深度及习题难度方面进行分类编码，利用模型对教材难度定量计算并逐一定性分析，最后归纳对比得到两版本教材在上述三个维度的共性及差异，得出两版本教科书的编写特点。
1.3 小学数学教材难易度的刻画
本研究参考《中小学教材难易程度的国际比较研究》教材难易程度模型中提出的分析框架，对中澳两套小学四年级数学教材的难易度加以编码分析，即教材的内容广度、内容深度、习题难度。
2. 内容广度维度的比较
本研究中，内容广度主要由“知识点”的多少来体现，且知识点划分标准完全参考《中国小学数学教科书的难度分析——国际比较的视角》一文中的做法，将教材的各部分内容归属为三大知识领域——数与代数、图形与几何、统计与概率。（一般情况下，我国课标规定的“实践与综合运用”领域实际上是其他三方面内容的综合运用）
2.1 知识点的划分差异
2.1.1 “人教版”四年级教材中的知识点划分情况
（1）数与代数
数的认识（14个）：计数单位，数位顺序表，十进制计数法，用万、亿为单位表示数，大数的比较，近似数（万、亿作单位），自然数的含义和特点，小数的意义，小数的数位顺序表和读写法，小数的性质，小数点位置移动引起小数大小变化的规律，小数的大小比较，小数和十进复名数的相互改写，小数的近似数表示。
数的运算（17个）：计算工具的认识，用计算器计算，三位数乘一位数（口算），三位数乘两位数 （笔算），三位数乘两位数（估算），除数是整十数的除法（口算），除数是两位数的除法（笔算），生活中的策略优化问题，加减乘除混合运算（有括号），加减乘除混合运算（无括号），加法运算定律，乘法运算定律，加乘运算定律的运用，小数的加减混合运算，两位小数的加法与减法，积的变化规律，时间、速度、路程的关系。
（2）图形与几何
图形的认识（11个）：认识直线与射线、总数和间隔数之间的关系问题（如植树、棋盘）、认识垂直与平行、画垂线与平行线、认识平行四边形与梯形、三角形的特性、三角形三边关系、三角形的分类（按边、角）、三角形的内角和、三角形拼图、认识角（概念、表示、分类）。
测量（3个）：角的度量、角的分类、用量角器画角。
图形与位置（1个）：确定位置（相对于参照点的方向、距离）。
（3）统计与概率
共2个知识点，分别为：条形统计图（复式）、折线统计图（认识、绘制）。
2.1.2 “新路标数学”四年级教材中的知识点划分情况
（1）数与代数
数的认识（16个）：除法的认识、乘法表、数位顺序表、小数的数位顺序表和读写法、小数点位置移动引起小数大小变化的规律、小数的大小比较、小数的近似数表示、等值分数、分数的意义、分数的比较、分数的认识、分数与小数、万以内数的认识、万以内的数的估算、平方数、因数。
数的运算（13个）：按规律填数、除数是个位数的除法、带余除法、万以内数的加减法、加减乘除混合运算、加乘运算定律的运用、两位小数的加与减法、千以内的加减法、整十数乘法、整数加法（百位数的加法）、分数的加法与减法（同分母相加减）、加倍与减半、用计算器计算。
（2）图形与几何
图形的认识（8个）：认识角（概念、表示）、认识平行四边形与梯形、棱锥与棱柱、认识多边形、垂直与平行、立体图形、圆柱圆锥和球、三角形的特性（稳定性）。
测量（7个）：长度单位厘米、米、毫米，质量单位（克），容积单位（升、毫升），面积的估算与测量，体积单位（立方厘米），体积的计算，角的度量。
图形的运动（2个）：平移、旋转和翻转，对称图形。
图形与位置（2个）：确定位置（相对于参照点的方向、距离）、平面上位置的表示方法（数对、网格中找点）。 常见的量（3个）：钟表的认识、年月日（日历）、认识时间表。
其他（1个）：嵌套图形。
（3）统计与概率
共4个知识点，分别为：条形统计图、统计图表的认识、可能性的大小、列出所有可能的结果。
2.1.3 知识点所属领域的对比
总体而言，“人教版”四年级教材的知识点个数是48个，“新路标数学”四年级教材的知识点为56个，两者相差8个，并且在不同领域上的分布也有一定的差异。
（1）两国教材中各领域所包含的知识点个数（如图1）。
在各领域“新路标数学”的知识点个数都比“人教版”的知识点个数多。
（2）“人教版”和“新路标数学”的知识点所属领域分布情况（如图2）。
“人教版”与“新路标数学”四年级数学教材都重视数与代数领域，两教材数与代数领域的知识点个数占其知识点总数的比例分别为65%和57%，同时，“人教版”此领域占比略高于“新路标数学”，与我国小学数学重视“算”不无关系。
在图形与几何领域中，“人教版”中相关知识点所占比例为31%；“新路标数学”中相关知识点所占比例为36%，略高于“人教版”所占比例。
“人教版”与“新路标数学”在统计与概率领域中的知识点比例都比较小，分别为4%和7%，但“新路标数学”所占比例稍高于“人教版”。
3. 内容深度维度的比较
内容深度指的是中澳两国四年级教材中知识点的呈现方式和认知要求的程度。其中，呈现方式分为直观、归纳、抽象，认知要求分为了解、理解、掌握。
3.1 呈现方式的对比
两套教材在知识点的呈现方式方面的表现如图3所示。“人教版”和“新路标数学”中知识点均未以抽象方式进行呈现。“人教版”和“新路标数学”中知识点的呈现方式均以归纳为主。但是归纳的呈现方式在“人教版”中的比例为85%，远高于“新路标数学”的54%。在直观的呈现方式中，“人教版”所占比例是15%，远低于“新路标数学”的46%。
总体而言，人教版”四年级数学教材中知识点的呈现方式要比“新路标数学”更复杂。
3.2 认知要求的对比
两套教材在知识点的认知要求上的表现如图4所示。“人教版”对知识点的认知要求以掌握为主，掌握程度的知识点占所有知识点数的比例为44%，理解程度的知识点占了37%，而了解程度的知识点占了19%，是比例最小的部分。
而“新路标数学”对知识点的认知要求以理解为主，理解程度的知识点占所有知识点数的55%，其次是掌握程度，比例为36%，而了解程度的知识点比例最小，为9%。
总体而言，“人教版”四年级数学教材中对知识点的认知要求以掌握为主，而“新路标数学”则强调理解，可见“人教版”在知识点的认知要求上对学生要求更高。
4. 习题难度
这里的习题是指两套教材中出现的习题。其中“人教版”教材中出现的习题个数为479；“新路标数学”教材中出现的习题个数为3503。而习题难度主要是由习题水平和习题背景来反映。习题水平分为模仿、迁移、探究。习题背景分为无背景、生活背景、科学情景。
4.1 习题水平对比
对“人教版”和“新路标数学”中的习题按照习题水平的三个维度编码，基本情况见图5。
不难发现“人教版”和“新路标数学”都以模仿为主，其次是迁移，探究的比例占得最小。其中“人教版”习题中模仿类型的比例为46%，低于“新路标数学”相应的比例；迁移类型习题的比例为43%，与“新路标数学”的40%较为接近；而探究类型的习题比例为11%，高于“新路标数学”的7%。
4.2 习题背景对比
对两国教材中习题背景进行比较，结果如图6所示。可以发现“人教版”和“新路标数学”中的习题大多数是无背景呈现的。但“人教版”无背景习题的比例小于“新路标数学”。
在“人教版”和“新路标数学”中，习题有生活背景的比例分别为35%和25%，可见“人教版”更为重视习题生活背景的呈现，以帮助学生更易理解题目，从而解决问题。
在有背景的习题类型中，学生理解有科学背景的题型更为困难，“人教版”中有科学背景的习题占总题量的5%，而“新路标数学”中有科学背景的习题几乎没有出现。
综上，在习题难度方面，“人教版”在习题水平和习题背景这两个维度都高于“新路标数学”。
5. 结论
从教材的内容广度、内容深度、习题难度三个维度对两套教材的难易度分析发现：
（1）在内容广度上，“人教版”知识点个数比“新路标数学”知识点个数少。“人教版”比“新路标数学”更侧重数与代数领域，注重计算；在图形与几何领域，“人教版”着重介绍三角形的相关内容，而“新路标数学”着重于三维图形的认识及钟表的认识；在统计与概率方面，两国教材介绍的内容都不多。
（2）在教材内容深度方面，“人教版”相对更强调对知识的理解和掌握，“新路标数学”以理解知识为主，并不特别强调掌握。在数与代数中，两国教材都介绍了小数与分数且强调对知识的掌握，“人教版”的重点在于大数的运算和运算技巧，强调运用，而“新路标数学”的要求主要是掌握；两国教材对于图形与几何领域的知识主要强调理解与掌握；在概率与统计板块中，两国教材主要要求对知识有初步认识和了解。
（3）在教材习题的安排方面，“人教版”四年级教材中习题总数为479，题量并不大，习题以模仿与迁移为主；而“新路标数学”四年级教材的特点是教材中习题较多，共有3503道小题，类似于一本习题集，习题类型大多是模仿。这可能也反映出两套教材在习题编排功能上的差异。
6. 两套教材的其他特点与启示
6.1 章节划分与组织的序
“新路标数学”四年级教材按照数与代数、测量与几何、概率与统计三大领域相对独立划分章节。实际上，“新路标数学”系列教材中，每个年级都涉及数与代数、测量与几何、概率与统计的相关章节。而中国人教版小学数学教材章节的划分采用的是一种交叉并行模式，可能不利于学生整体把握各领域。例如“人教版”小学四年级数学上册教材中，第一单元是大数的认识，第二单元是角的度量，而第三单元是三位数乘两位数，这样知识点所属领域的跨度太大，学生难以把握。
6.2 教材组织方式
两套小学数学教材的课程组织方式存在差异，“新路标数学”四年级教材的章节内容编排呈螺旋式上升，即在章节的不同阶段中课程内容重复出现，并且逐渐扩大范围，加深程度。“人教版”教材也表现为螺旋式编排，但在章节内还是更接近于直线式编写，可以认为是直线式与螺旋式的中间模式。
6.3 文字题的设计
长期以来，文字题（有时候又被大多数小学教师称为应用题）在我国小学数学中分量较重，并形成了独特的教学体系，在培养学生思维能力方面发挥了较好的作用，但在培养学生运用数学知识解决简单的实际问题的能力方面还显得不足。“新路标数学”教材中“解决问题”的思想是通過教材直接展示的，教材中呈现的应用题多符合生活实际，能激发学生的参与兴趣，在复杂的应用题旁有一些“解题策略”的点拨，有助于学生自主解决问题。这样的做法往往见于我国的教辅用书，教材编写者也可以适当吸纳。