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摘 要：概念教学对学生数学素养的培养至关重要，教师从学生已有的认知和经验出发，创设恰当的问题情境，让学生不断参与、体验，是促进核心素养落地的有效途径。以重要概念“函数的零点”为例揭示概念教学的深刻性与丰富性。
关键词：核心素养;体验式;概念教学
《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布后，如何在课堂教学中提升学生的数学核心素养，让数学核心素养在课堂教学中落地、生根、发芽、开花、结果，成了广大一线教师的热门话题。概念教学过程中，根据学生的认知基础，教师创设合理的问题情境，让学生经历深刻体验知识的发生发展过程是使核心素养落地的有效途径。
一、教学问题诊断分析
（一）具备的基础
知识：①函数的概念与性质，一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质。
②二次函数的零点与对应的一元二次方程的解和对应二次函数图象与轴交点的联系。
能力：会画简单函数的图象，也会通过图象去分析函数的性质，具备初步的数形转换能力。
（二）本课的目标需求
知识：函数的概念与性质，所学的基本初等函数的图象与性质。
能力：①較强的综合利用所学知识的能力。
②较强的动手动脑能力，较好的观察分析图象的能力，较高的抽象概括能力。
（三）可能存在的问题与障碍
由于目标需求中的能力需求是刚入高中不久的高一学生比较欠缺的，因此学生在学习过程中可能会遇到一些问题和障碍。
问题1：由于字面意思，学生可能会错误地把函数的零点理解为“点”。
问题2：学生能粗浅地理解三个等价关系，但在解决具体问题的过程中，难以加以应用。
问题3：如何得出函数零点存在的判定条件对多数学生会有困难。
问题4：初学函数零点存在性判定定理后，如何加以正确应用会遇到困难。
（四）应对策略（过程、方法）
策略1：概括出零点的定义后，教师马上提问：我们可不可以这么理解，零点，就是使函数值为零的点？强调函数的零点是一个实数。在典型例题求函数零点的环节，教师呈现学生的解答过程，对出现把零点错误地写成“点”的学生及时加以指正，使学生在亲身体验中对零点概念的掌握更加深刻。
策略2：在典型例题求函数零点的环节教师再次强调利用等价关系得到求函数零点的两种基本方法：（1）解相应方程f（x）=0;（2）画函数f（x）的简图，图象与x轴交点的横坐标即为所求。在求函数f（x）=lnx 2x-6的零点个数的教学中，引导学生利用等价关系把问题转化为方程lnx 2x-6=0，即方程lnx=6-2x解的个数，再转化为两个函数y=lnx与6-2x的交点个数。在具体问题的解决中让学生体验三个等价关系，使学生的理解更加深刻。
策略3：教师多次用多媒体播放函数图象穿过轴的动画，激发学生的探究兴趣，并引导学生发现当函数图象穿过x轴时，函数符号改变，从而自己得出函数y=f（x）在区间[a，b]内存在零点的条件，让学生体验从几何直观到代数表达的抽象过程。
策略4：教师通过多个问题（详见教学过程设计）让学生自主探究，在黑板上举出各种反例，通过具体问题——求函数f（x）=lnx 2x-6的零点个数的解决，让学生对定理理解得更加深刻。
二、教学过程设计
（一）读数学史，引入新课
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，今天的我们可以从教科书中查到各式各样方程的解法，但这一切经历了漫长的岁月。在这个过程中，我国历朝历代的数学家们做出了巨大的贡献。
（1）我国古代数学家于公元50～100年合力编成的《九章算术》，系统地给出了一次方程、二次方程的解法。
（2）11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次方程的解法。
（3）13世纪，南宋数学家秦九韶给出了高次方程正根的解法。
（4）19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的方程没有一般形式的代数解。
方程的解，我们在初中已经学习过了，主要是以代数计算的方式进行求解，侧重“数”的方面的研究。这节课不仅要从“数”，还要从“形”的方面去研究“方程的解”。（教师板书《函数的零点与方程的解》）
设计意图：通过恰当的数学史知识引入，不仅能传播数学文化，还能激起学生的好奇心，激发学生的数学学习兴趣，培养学生的数学文化和人文素养。
（二）复习巩固，类比等价关系
问题：通过之前的学习，你能说说二次函数y=ax2 bx c的零点与一元二次方程ax2 bx c=0的解之间的关系吗？
引导学生得出：（1）一元二次方程解的个数就是对应二次函数图象与轴交点的个数。
（2）一元二次方程的实数根就是对应二次函数图象与轴交点的横坐标。
设计意图：复习二次函数的零点与对应一元二次方程的根之间的关系，为推广到更一般的函数零点与方程的解的关系做好铺垫。
教师概括定义：与二次函数的零点一样，对函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数叫作函数y=f（x）的零点。
问题：我们可不可以这么理解，零点，就是使函数值为零的点？
设计意图：通过师生对话再次强调，零点不是一个点而是一个实数。
通过对二次函数的学习，引导学生归纳等价关系：
函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实数解？圳函数y=f（x）的图象与x轴有交点。 师生共同小结：这个关系告诉我们，函数f（x）有零点，从“数”的角度理解，就是方程f（x）=0有实数解，从“形”的角度理解，就是函数y=f（x）的图象与x轴有交点。这个关系体现了数学结合的重要思想。不仅如此，它为我们今后函数问题与方程问题的相互转化提供了有力的依据。
设计意图：由于学生对二次函数的零点、对应一元二次方程的根、二次函数的图象与x轴的交点之间的关系已经掌握清楚，因此可以引导学生用类比推理的方法得到一般的关系，发展学生的逻辑推理素养。
（三）典型例题，巩固提高
例：求下列函数的零点。
设计说明：先让学生独立完成，然后用实物投影仪展示学生的解答过程，然后教师点评，对学生的各种错误及时纠正。践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，同时通过典型例题的“做”培养学生的运算能力，发展学生的数学运算素养。
师生共同归纳：根据同学们的解答，我们不难得出，求函数零点的两种基本方法：我们可以解对应的方程f（x）=0，方程的解就是函数的零点;也可以画出函数y=f（x）的图象，图象与轴交点的横坐标就是函数零点。
（四）合作探究，揭示定理
問题：是不是所有函数都有零点？如何判定一个函数在什么情况下存在零点呢？
教师引导：不难发现，当函数图象穿过轴时，图象就与轴产生了交点，这个时候函数必存在零点。图象穿过轴是一种几何现象，如何把这种现象用代数语言表述出来呢？请同学们仔细观察，并认真思考。
设计说明：零点存在性定理的探究是本节课的一个难点，如果完全放手让学生探究，很可能导致学生无从下手，因此在学生经历一定时间的思考、想象后，教师加以适当的引导非常重要。引导学生把几何现象用代数语言表述出来，实现将直观想象与数学抽象素养在课堂上落地。
学生探究：当函数图象穿过x轴时，函数值由负变正（图1）或由正变负（图2）。总而言之，当函数图象穿过x轴时，函数符号改变。
教师活动：不经意间，同学们说出了数学中的一个重要定理——函数零点存在性判定定理。
讨论交流：
判断下列说法是否正确，若正确，请说明理由。若不正确，请举出反例。
（1）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f（a）f（b）>0，则f（x）在区间（a，b）内没有零点。（
关键词：核心素养;体验式;概念教学
《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布后，如何在课堂教学中提升学生的数学核心素养，让数学核心素养在课堂教学中落地、生根、发芽、开花、结果，成了广大一线教师的热门话题。概念教学过程中，根据学生的认知基础，教师创设合理的问题情境，让学生经历深刻体验知识的发生发展过程是使核心素养落地的有效途径。
一、教学问题诊断分析
（一）具备的基础
知识：①函数的概念与性质，一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质。
②二次函数的零点与对应的一元二次方程的解和对应二次函数图象与轴交点的联系。
能力：会画简单函数的图象，也会通过图象去分析函数的性质，具备初步的数形转换能力。
（二）本课的目标需求
知识：函数的概念与性质，所学的基本初等函数的图象与性质。
能力：①較强的综合利用所学知识的能力。
②较强的动手动脑能力，较好的观察分析图象的能力，较高的抽象概括能力。
（三）可能存在的问题与障碍
由于目标需求中的能力需求是刚入高中不久的高一学生比较欠缺的，因此学生在学习过程中可能会遇到一些问题和障碍。
问题1：由于字面意思，学生可能会错误地把函数的零点理解为“点”。
问题2：学生能粗浅地理解三个等价关系，但在解决具体问题的过程中，难以加以应用。
问题3：如何得出函数零点存在的判定条件对多数学生会有困难。
问题4：初学函数零点存在性判定定理后，如何加以正确应用会遇到困难。
（四）应对策略（过程、方法）
策略1：概括出零点的定义后，教师马上提问：我们可不可以这么理解，零点，就是使函数值为零的点？强调函数的零点是一个实数。在典型例题求函数零点的环节，教师呈现学生的解答过程，对出现把零点错误地写成“点”的学生及时加以指正，使学生在亲身体验中对零点概念的掌握更加深刻。
策略2：在典型例题求函数零点的环节教师再次强调利用等价关系得到求函数零点的两种基本方法：（1）解相应方程f（x）=0;（2）画函数f（x）的简图，图象与x轴交点的横坐标即为所求。在求函数f（x）=lnx 2x-6的零点个数的教学中，引导学生利用等价关系把问题转化为方程lnx 2x-6=0，即方程lnx=6-2x解的个数，再转化为两个函数y=lnx与6-2x的交点个数。在具体问题的解决中让学生体验三个等价关系，使学生的理解更加深刻。
策略3：教师多次用多媒体播放函数图象穿过轴的动画，激发学生的探究兴趣，并引导学生发现当函数图象穿过x轴时，函数符号改变，从而自己得出函数y=f（x）在区间[a，b]内存在零点的条件，让学生体验从几何直观到代数表达的抽象过程。
策略4：教师通过多个问题（详见教学过程设计）让学生自主探究，在黑板上举出各种反例，通过具体问题——求函数f（x）=lnx 2x-6的零点个数的解决，让学生对定理理解得更加深刻。
二、教学过程设计
（一）读数学史，引入新课
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，今天的我们可以从教科书中查到各式各样方程的解法，但这一切经历了漫长的岁月。在这个过程中，我国历朝历代的数学家们做出了巨大的贡献。
（1）我国古代数学家于公元50～100年合力编成的《九章算术》，系统地给出了一次方程、二次方程的解法。
（2）11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次方程的解法。
（3）13世纪，南宋数学家秦九韶给出了高次方程正根的解法。
（4）19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上的方程没有一般形式的代数解。
方程的解，我们在初中已经学习过了，主要是以代数计算的方式进行求解，侧重“数”的方面的研究。这节课不仅要从“数”，还要从“形”的方面去研究“方程的解”。（教师板书《函数的零点与方程的解》）
设计意图：通过恰当的数学史知识引入，不仅能传播数学文化，还能激起学生的好奇心，激发学生的数学学习兴趣，培养学生的数学文化和人文素养。
（二）复习巩固，类比等价关系
问题：通过之前的学习，你能说说二次函数y=ax2 bx c的零点与一元二次方程ax2 bx c=0的解之间的关系吗？
引导学生得出：（1）一元二次方程解的个数就是对应二次函数图象与轴交点的个数。
（2）一元二次方程的实数根就是对应二次函数图象与轴交点的横坐标。
设计意图：复习二次函数的零点与对应一元二次方程的根之间的关系，为推广到更一般的函数零点与方程的解的关系做好铺垫。
教师概括定义：与二次函数的零点一样，对函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数叫作函数y=f（x）的零点。
问题：我们可不可以这么理解，零点，就是使函数值为零的点？
设计意图：通过师生对话再次强调，零点不是一个点而是一个实数。
通过对二次函数的学习，引导学生归纳等价关系：
函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实数解？圳函数y=f（x）的图象与x轴有交点。 师生共同小结：这个关系告诉我们，函数f（x）有零点，从“数”的角度理解，就是方程f（x）=0有实数解，从“形”的角度理解，就是函数y=f（x）的图象与x轴有交点。这个关系体现了数学结合的重要思想。不仅如此，它为我们今后函数问题与方程问题的相互转化提供了有力的依据。
设计意图：由于学生对二次函数的零点、对应一元二次方程的根、二次函数的图象与x轴的交点之间的关系已经掌握清楚，因此可以引导学生用类比推理的方法得到一般的关系，发展学生的逻辑推理素养。
（三）典型例题，巩固提高
例：求下列函数的零点。
设计说明：先让学生独立完成，然后用实物投影仪展示学生的解答过程，然后教师点评，对学生的各种错误及时纠正。践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，同时通过典型例题的“做”培养学生的运算能力，发展学生的数学运算素养。
师生共同归纳：根据同学们的解答，我们不难得出，求函数零点的两种基本方法：我们可以解对应的方程f（x）=0，方程的解就是函数的零点;也可以画出函数y=f（x）的图象，图象与轴交点的横坐标就是函数零点。
（四）合作探究，揭示定理
問题：是不是所有函数都有零点？如何判定一个函数在什么情况下存在零点呢？
教师引导：不难发现，当函数图象穿过轴时，图象就与轴产生了交点，这个时候函数必存在零点。图象穿过轴是一种几何现象，如何把这种现象用代数语言表述出来呢？请同学们仔细观察，并认真思考。
设计说明：零点存在性定理的探究是本节课的一个难点，如果完全放手让学生探究，很可能导致学生无从下手，因此在学生经历一定时间的思考、想象后，教师加以适当的引导非常重要。引导学生把几何现象用代数语言表述出来，实现将直观想象与数学抽象素养在课堂上落地。
学生探究：当函数图象穿过x轴时，函数值由负变正（图1）或由正变负（图2）。总而言之，当函数图象穿过x轴时，函数符号改变。
教师活动：不经意间，同学们说出了数学中的一个重要定理——函数零点存在性判定定理。
讨论交流：
判断下列说法是否正确，若正确，请说明理由。若不正确，请举出反例。
（1）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f（a）f（b）>0，则f（x）在区间（a，b）内没有零点。（