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[摘要]基于随机振动理论，建立了梁结构在随机地震动作用下的振动方程。将地震地面运动考虑为随机过程，利用地震响应谱方法，推导了结构在随机地震动作用下最大位移响应的计算过程。以某简支梁和悬臂梁为例，推导了其位移功率谱密度函数、峰值位移功率谱密度函数及最大位移反应的功率谱密度函数。
[关键词]地震；随机响应分析；功率谱密度函数；梁
中图分类号:TU528.58 文献标识码:A 文章编号:1009-914X(2013)28-0287-02
地震是一种能对人类的生产和生活带来极大破坏的自然灾害，对工程结构的破坏更是非常严重。许多高层框架结构在地震作用下的反应受多种不确定因素的影响，例如由于震源、传播介质和场地条件中许多自然因素的影响，地震动的强度、频率含量和持续时间都具有明显的随机性，从而使结构的反应也具有随机性。由于许多高层建筑受地震激励的模型可以简化为梁的随机振动模型，本文运用解析方法，对悬臂梁及简支梁在地震作用下的随机振动进行了分析，最终得到其峰值位移功率谱密度函数。
一、 地震作用下梁的运动方程
在（图1）示地震地面运动作用下，承受地震水平运动的悬臂梁，与在多个支座处承受相同竖向运动的简支梁，梁的地震振动方程都可以表示为如下形式：
（1）
其中，Y(x,t)表示梁上任一点x在任意时刻t的挠度， E是弹性模量，I是截面惯性矩，ρ是梁单位长度的质量，是简约内阻尼系数，且有,（是粘性系数），u(t)是由地震引起的随机位移。
二、地震地面运动输入随机过程模型
严格地说，地震动应该是非平稳过程。但是，为了使问题简化，对于强震持时较长的地震动，一般用平稳过程来描述。地震动的平稳随机模型主要是相关函数或谱密度的具体表达式。
1） Housner于1947年提出了地震地面运动加速度的平稳白噪声模型，地震地面加速度的功率谱密度为：
()（2）
2） 采用Kanai-T ajimi模型，该模型的地震地面加速度功率谱密度函数为：【4】
（3）
式中：和分别为覆盖土层的特征频率和特征阻尼比，与土层的坚硬程度有关；为基岩扰动高斯白噪声的谱强度，反映地震动强弱的程度。
三、梁的随机地震反应分析
在平稳随机激励下体系的反应是非平稳的，但在经历充分长的时间后，体系的反应将从非平稳过渡到平稳的状态。因此，在大多情况下，对于工程实际中关心的是平稳反应。
采用振型分解法，将方程（1）的一般解表示为：
（4）
将式（4）代入方程（1），进行变换，可得系统对应于主坐标的运动微分方程式：
（5）
令
式（5）的传递函数为：
（6）
设地震输入是均值为零的定常高斯随机过程，其加速度功率谱密度为，地震响应谱方法，则的功率谱密度为：
（7）
第i阶振型上任意点的响应的传递函数由式
可得： （8）
因而的功率谱密度函数为：
（9）
当体系的固有频率相离得较远，且阻尼很小的情况下，可以假设各阶振型响应是统计独立的，这样体系上任意点响应的功率谱密度可以表示为各阶振型分量的功率谱密度之和，即
（10）
连续体系随机反应都是无穷项的和，但对于体型较简单的悬臂梁结构和简支梁结构，高阶模态影响几乎很小，前几阶振型占有振动能量的绝大部分，因此实际计算时只需考虑前几阶模态就足够精确,本文只考虑了前三阶模态（图2）。
（1）许多建筑结构设计时采用的地震荷载模型都是结构底部为零的倒三角形式【5】，本文假定悬臂梁所受地震载荷可简化为这种随机载荷，如图2所示，在悬臂梁的顶端处，其振型函数取最大值，因此，便可得到峰值位移的功率谱密度函数为：
(11)
由悬臂梁的边界条件，可得：
（2）在多个支座处承受相同地面竖向运动的连续梁，可简化为受随机均布荷载作用的简支梁，如图2所示，此种载荷状态下，梁的中点挠度最大，便可得到峰值位移的功率谱密度函数为：
(12)
由简支梁的边界条件，可以得到：
（3）当时，最终得到两种梁的最大位移反应的峰值功率谱密度统一格式为：
（13）
结论
（1）两种地震作用下，无论是悬臂梁还是简支梁，结构仅选择接近于自己固有频率的频率并对此频率做出响应，说明固有频率是梁结构在地震作用下的最重要的动力特性。
（2）利用悬臂梁和简支梁的固有振型函数，可以精确得到位移峰值的功率谱密度函数，本文通过将地震随机载荷简化为一种等效的随机载荷，从而简化振型函数的方法，最终得到在这种特殊情况下的梁结构的位移峰值的功率谱密度函数。
（3）对结构进行随机地震反应分析， 此方法概念清楚，分析过程简单适用，宜于为广大工程技术人员理解和掌握。
（4）本文最大位移反應的峰值功率谱密度函数时只考虑了前几阶振型，可以考虑进一步计算更高阶振型，从而使结构更精确。
参考文献
[1] 马成刚,刘敏珊,王义翠.井架结构随机地震反应分析.石油机械.
[2] 孙艳杰.某平面不规则框架结构的地震响应分析.山西建筑,2009,7
[3] 桂国庆,李永华.高层多塔连体结构连廊随机地震反应分析.
[4] 刘汉民,杨伟军.简支梁桥纵向水平随机地震反应分析及抗震可靠度计算.中外公路.2012.2.
[5] 王赞芝,江林雁,吴辉琴,胡如成,程建棚,田 毅,宫思维,辛立凤.受时变分布外力悬臂梁稳态随机振动分析. 工程抗震与加固改造.2011,4.
[6] 袁泉,蒋平,姚谦峰.强震作用下钢筋混凝土框架结构随机响应分析. 武汉理工大学学报.2010,5.
基金项目
秦皇岛市科学技术研究与发展计划（201101A156）； 秦皇岛市科学技术研究与发展计划（201101A088）。
[关键词]地震；随机响应分析；功率谱密度函数；梁
中图分类号:TU528.58 文献标识码:A 文章编号:1009-914X(2013)28-0287-02
地震是一种能对人类的生产和生活带来极大破坏的自然灾害，对工程结构的破坏更是非常严重。许多高层框架结构在地震作用下的反应受多种不确定因素的影响，例如由于震源、传播介质和场地条件中许多自然因素的影响，地震动的强度、频率含量和持续时间都具有明显的随机性，从而使结构的反应也具有随机性。由于许多高层建筑受地震激励的模型可以简化为梁的随机振动模型，本文运用解析方法，对悬臂梁及简支梁在地震作用下的随机振动进行了分析，最终得到其峰值位移功率谱密度函数。
一、 地震作用下梁的运动方程
在（图1）示地震地面运动作用下，承受地震水平运动的悬臂梁，与在多个支座处承受相同竖向运动的简支梁，梁的地震振动方程都可以表示为如下形式：
（1）
其中，Y(x,t)表示梁上任一点x在任意时刻t的挠度， E是弹性模量，I是截面惯性矩，ρ是梁单位长度的质量，是简约内阻尼系数，且有,（是粘性系数），u(t)是由地震引起的随机位移。
二、地震地面运动输入随机过程模型
严格地说，地震动应该是非平稳过程。但是，为了使问题简化，对于强震持时较长的地震动，一般用平稳过程来描述。地震动的平稳随机模型主要是相关函数或谱密度的具体表达式。
1） Housner于1947年提出了地震地面运动加速度的平稳白噪声模型，地震地面加速度的功率谱密度为：
()（2）
2） 采用Kanai-T ajimi模型，该模型的地震地面加速度功率谱密度函数为：【4】
（3）
式中：和分别为覆盖土层的特征频率和特征阻尼比，与土层的坚硬程度有关；为基岩扰动高斯白噪声的谱强度，反映地震动强弱的程度。
三、梁的随机地震反应分析
在平稳随机激励下体系的反应是非平稳的，但在经历充分长的时间后，体系的反应将从非平稳过渡到平稳的状态。因此，在大多情况下，对于工程实际中关心的是平稳反应。
采用振型分解法，将方程（1）的一般解表示为：
（4）
将式（4）代入方程（1），进行变换，可得系统对应于主坐标的运动微分方程式：
（5）
令
式（5）的传递函数为：
（6）
设地震输入是均值为零的定常高斯随机过程，其加速度功率谱密度为，地震响应谱方法，则的功率谱密度为：
（7）
第i阶振型上任意点的响应的传递函数由式
可得： （8）
因而的功率谱密度函数为：
（9）
当体系的固有频率相离得较远，且阻尼很小的情况下，可以假设各阶振型响应是统计独立的，这样体系上任意点响应的功率谱密度可以表示为各阶振型分量的功率谱密度之和，即
（10）
连续体系随机反应都是无穷项的和，但对于体型较简单的悬臂梁结构和简支梁结构，高阶模态影响几乎很小，前几阶振型占有振动能量的绝大部分，因此实际计算时只需考虑前几阶模态就足够精确,本文只考虑了前三阶模态（图2）。
（1）许多建筑结构设计时采用的地震荷载模型都是结构底部为零的倒三角形式【5】，本文假定悬臂梁所受地震载荷可简化为这种随机载荷，如图2所示，在悬臂梁的顶端处，其振型函数取最大值，因此，便可得到峰值位移的功率谱密度函数为：
(11)
由悬臂梁的边界条件，可得：
（2）在多个支座处承受相同地面竖向运动的连续梁，可简化为受随机均布荷载作用的简支梁，如图2所示，此种载荷状态下，梁的中点挠度最大，便可得到峰值位移的功率谱密度函数为：
(12)
由简支梁的边界条件，可以得到：
（3）当时，最终得到两种梁的最大位移反应的峰值功率谱密度统一格式为：
（13）
结论
（1）两种地震作用下，无论是悬臂梁还是简支梁，结构仅选择接近于自己固有频率的频率并对此频率做出响应，说明固有频率是梁结构在地震作用下的最重要的动力特性。
（2）利用悬臂梁和简支梁的固有振型函数，可以精确得到位移峰值的功率谱密度函数，本文通过将地震随机载荷简化为一种等效的随机载荷，从而简化振型函数的方法，最终得到在这种特殊情况下的梁结构的位移峰值的功率谱密度函数。
（3）对结构进行随机地震反应分析， 此方法概念清楚，分析过程简单适用，宜于为广大工程技术人员理解和掌握。
（4）本文最大位移反應的峰值功率谱密度函数时只考虑了前几阶振型，可以考虑进一步计算更高阶振型，从而使结构更精确。
参考文献
[1] 马成刚,刘敏珊,王义翠.井架结构随机地震反应分析.石油机械.
[2] 孙艳杰.某平面不规则框架结构的地震响应分析.山西建筑,2009,7
[3] 桂国庆,李永华.高层多塔连体结构连廊随机地震反应分析.
[4] 刘汉民,杨伟军.简支梁桥纵向水平随机地震反应分析及抗震可靠度计算.中外公路.2012.2.
[5] 王赞芝,江林雁,吴辉琴,胡如成,程建棚,田 毅,宫思维,辛立凤.受时变分布外力悬臂梁稳态随机振动分析. 工程抗震与加固改造.2011,4.
[6] 袁泉,蒋平,姚谦峰.强震作用下钢筋混凝土框架结构随机响应分析. 武汉理工大学学报.2010,5.
基金项目
秦皇岛市科学技术研究与发展计划（201101A156）； 秦皇岛市科学技术研究与发展计划（201101A088）。