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《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”现代教学论认为，学生是学习的主体，教师的作用是引导学生运用已知探索未知，并在这个过程中培养他们的主体意识和做“主人”的能力。根据这些观点，我们年级组织了一次“梯形面积公式”公开教学活动，取得了较好的效果，主要过程如下：
一、创设情境
1.平行四边形面积公式是怎样推导出来的？（师出示平行四边形硬纸片，让一生演示割补法，把平行四边形割成长方形推导出来）
2.三角形面积公式又是怎样推导出来的？（师出示两个完全一样的三角形硬纸片，让一生演示把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形或长方形推导出来）
【反思：这里教师一改平时的单纯复习，而是采用演示的方法，让学生过电影式的重新感受到平行四边形、三角形面积公式推导的过程，比师问生答公式的内容要灵活、生动，更便于学生记忆，达到温故的目的。】
二、探究新知
1.尝试求梯形（图1）的面积。（单位：厘米，下同）
师：我们能不能用已经学过的本领自己设法求梯形的面积？大家在小组里议一议，试一试。
每个小组动手画、剪、拼，课堂既活跃而不乱，最后教师有代表性地让学生汇报结果。
生1：我作一条对角线，把梯形分割成两个三角形（如图2），两个三角形的高都是7厘米，底分别是梯形的上底和下底，两个三角形的面积合起来就是梯形的面积。
生2：我画另一条对角线，也把梯形分割成两个三角形（如图3），也可以求梯形面积。
生3：我在图中画一条平行线，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形（如图4），也可以算出梯形面积。
生4：我在图中间作两条垂线，把梯形分割成两个三角形和一个长方形（如图5），中间的长方形面积是“6×7＝42（平方厘米）”，而长方形两边的三角形的高都是7厘米，底却不知道，不能算。
师：大家再好好想想、做做、试试，可否用割补法？（学生又开始讨论，并动手画拼）
生5：我们拼出来了，把左边的三角形向右平移，使它的直角边与右边三角形的直角边重合。这样梯形面积就等于长方形面积（6×7）加上三角形底是（10-6）、高是7的面积之和，就是6×7 （10-6）×7÷2＝56（平方厘米）。
师生高兴鼓掌。
教师肯定学生积极动脑思考，把未学的梯形分割成已学过的图形求出面积，并让学生用各自的方法计算梯形面积，互相订正。
【反思：这里当一位学生出现解题困难时，其他学生就会心存疑虑，既怀疑这种方法行不行得通，又想寻求破解的规律和方法，必然会展开讨论和探究，此时教师适当的启发，可以促进学生的思维。】
师：刚才我们是把梯形分割成已学过的图形，大家还能不能用别的方法求出梯形面积？（学生们又开始激烈讨论）
生6：用旋转平移的方法可以把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。如图6所示，这个平行四边形的面积是（6 10）×7，一个梯形的面积是平行四边形的一半，就是（6 10）×7÷2＝56（平方厘米）。
教师肯定算法并鼓励。
【反思：生6根据三角形面积公式推导反馈回来的知识，很快发现梯形面积也可以用平行四边形面积除以2的方法来计算，运用已知探索出了未知。】
2.探索求梯形面积的公式。
师：我们能不能从上面的计算中找出求梯形面积的公式？可以先看生6的算法。
学生对照算式和图并通过小组讨论得出：梯形面积＝（上底 下底）×高÷2。
再看生1的算法：6×7÷2 10×7÷2＝（6 10）×7÷2，仍旧可推导出：梯形面积＝（上底 下底）×高÷2。
生（齐）：这就是求梯形面积的公式。
【反思：这里有了开课时的难点渗透以及整个梯形面积图形和算式的对照，梯形面积公式的模型已在一部分学生头脑中形成，所以教师要做的，只是提供机会，让学生充分经历条理陈述，相互点化过程。学生已初步建立了梯形面积公式的概念。】
3.梯形与平行四边形求面积公式的沟通。
如图7所示，把一个平行四边形分成两个面积一样的梯形，分别用公式求平行四边形的面积和一个梯形的面积，得出：平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底 下底）×高÷2。
4.梯形与三角形求面积公式的沟通。
梯形的上底缩小到0就转化为三角形，因而求积公式也从（上底 下底）×高÷2转化为底×高÷2。
【反思：这是把新学的梯形面积公式与已学的平行四边形、三角形的面积公式进行沟通，进一步让学生感受到这几种平面图形之间的联系与区别，更感受到数学知识之间的密切联系。】
三、自学课本梯形面积公式推导内容，相互交流、质疑（略）
四、练习（略）
纵观本课实录，最大的特点是：学生自主参与学习，并都投身于自己探求知识宝库的活动之中，他们动手操作，认真观察，独立思考，阅读教材，互相研讨，合作交流，终于发现了知识，领悟了知识，品尝到了成功的喜悦。具体体现有以下几个方面：
1.学习过程是学生的创造过程。
荷兰教学教育家弗赖登塔尔认为，学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。这节课，梯形面积计算公式正是学生自己动手、动脑而获得的，不是教师“灌”给他们的。这样的学习，学生在教师的激励下，带着解决问题的明确目的，认真观察、思考，群体讨论与交流，终于探索出了解决问题的途径与方法，感受到了重新创造数学的乐趣，增强了学好数学的信心，真正成为学习的主人。
2.体现了学生的主体作用和教师的主导作用。
学生的主体作用要表现在能动地、自觉地积极动脑、动手、动口，探索知识，发现规律，解决问题，真正成为学习的主人。教师的主导作用主要表现为把握教材的知识结构及内容的深度和广度，掌握学生认识活动的特点，认真组织和积极引导学生的学习活动。在“梯形面积公式”教学中，教师选择了适当的复习材料，为新课学习做好知识、技能、经验和心向的准备，这样就便于学生运用已掌握的求面积的基本方法，把新图形转化为已学过的图形，进行新的探索。在学生探索的基础上，教师又引导他们归纳出公式，并组织他们沟通所学知识，使新旧知识形成网络，学生的认知得到扩充和完善。
3.学生积极参与知识形成过程，使知识教学和能力培养同步发展。
现代教学论认为，知识和能力存在着相互渗透、相互促进的辩证关系，知识是获得能力的前提和基础。从“注入式”那里得到的知识是死知识，不但不能转化为能力，还会抑制能力的发展。而像上述教法，学生积极参与知识的形成过程，让学生运用旧知识，从不同角度，用不同方法获取新知识，使学生不但知其然，还知其所以然。这样，在知识形成过程中，学生既深刻理解，牢固掌握知识，同时又使他们的观察力、想象力和思维能力得到培养和发展，在学会的过程中达到“会学”的目的。
4.组织讨论交流，培养合作意识。
在教学中组织学生讨论与交流，培养学生合作的学习意识与习惯，这是群体参与学习的重要举措，也是时代赋予我们的使命。本节课组织了多次讨论与交流，特别是在生4遇到疑难时，教师鼓励学生讨论交流，最后找到解决方法，使学生品尝到了合作学习带来的成功与快乐。
这个教学案例表明，在教学中落实学生的主体地位，引导学生主动积极地参与教学全过程，把学生推向前台，教师退居幕后，只充当教学中的组织者、引导者与合作者，这样做不仅能获得良好的教学效果，而且对于培养高素质的现代公民，促进教育的现代化与社会的发展，都是大大有益的。
（责编陈剑平）
一、创设情境
1.平行四边形面积公式是怎样推导出来的？（师出示平行四边形硬纸片，让一生演示割补法，把平行四边形割成长方形推导出来）
2.三角形面积公式又是怎样推导出来的？（师出示两个完全一样的三角形硬纸片，让一生演示把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形或长方形推导出来）
【反思：这里教师一改平时的单纯复习，而是采用演示的方法，让学生过电影式的重新感受到平行四边形、三角形面积公式推导的过程，比师问生答公式的内容要灵活、生动，更便于学生记忆，达到温故的目的。】
二、探究新知
1.尝试求梯形（图1）的面积。（单位：厘米，下同）
师：我们能不能用已经学过的本领自己设法求梯形的面积？大家在小组里议一议，试一试。
每个小组动手画、剪、拼，课堂既活跃而不乱，最后教师有代表性地让学生汇报结果。
生1：我作一条对角线，把梯形分割成两个三角形（如图2），两个三角形的高都是7厘米，底分别是梯形的上底和下底，两个三角形的面积合起来就是梯形的面积。
生2：我画另一条对角线，也把梯形分割成两个三角形（如图3），也可以求梯形面积。
生3：我在图中画一条平行线，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形（如图4），也可以算出梯形面积。
生4：我在图中间作两条垂线，把梯形分割成两个三角形和一个长方形（如图5），中间的长方形面积是“6×7＝42（平方厘米）”，而长方形两边的三角形的高都是7厘米，底却不知道，不能算。
师：大家再好好想想、做做、试试，可否用割补法？（学生又开始讨论，并动手画拼）
生5：我们拼出来了，把左边的三角形向右平移，使它的直角边与右边三角形的直角边重合。这样梯形面积就等于长方形面积（6×7）加上三角形底是（10-6）、高是7的面积之和，就是6×7 （10-6）×7÷2＝56（平方厘米）。
师生高兴鼓掌。
教师肯定学生积极动脑思考，把未学的梯形分割成已学过的图形求出面积，并让学生用各自的方法计算梯形面积，互相订正。
【反思：这里当一位学生出现解题困难时，其他学生就会心存疑虑，既怀疑这种方法行不行得通，又想寻求破解的规律和方法，必然会展开讨论和探究，此时教师适当的启发，可以促进学生的思维。】
师：刚才我们是把梯形分割成已学过的图形，大家还能不能用别的方法求出梯形面积？（学生们又开始激烈讨论）
生6：用旋转平移的方法可以把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。如图6所示，这个平行四边形的面积是（6 10）×7，一个梯形的面积是平行四边形的一半，就是（6 10）×7÷2＝56（平方厘米）。
教师肯定算法并鼓励。
【反思：生6根据三角形面积公式推导反馈回来的知识，很快发现梯形面积也可以用平行四边形面积除以2的方法来计算，运用已知探索出了未知。】
2.探索求梯形面积的公式。
师：我们能不能从上面的计算中找出求梯形面积的公式？可以先看生6的算法。
学生对照算式和图并通过小组讨论得出：梯形面积＝（上底 下底）×高÷2。
再看生1的算法：6×7÷2 10×7÷2＝（6 10）×7÷2，仍旧可推导出：梯形面积＝（上底 下底）×高÷2。
生（齐）：这就是求梯形面积的公式。
【反思：这里有了开课时的难点渗透以及整个梯形面积图形和算式的对照，梯形面积公式的模型已在一部分学生头脑中形成，所以教师要做的，只是提供机会，让学生充分经历条理陈述，相互点化过程。学生已初步建立了梯形面积公式的概念。】
3.梯形与平行四边形求面积公式的沟通。
如图7所示，把一个平行四边形分成两个面积一样的梯形，分别用公式求平行四边形的面积和一个梯形的面积，得出：平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底 下底）×高÷2。
4.梯形与三角形求面积公式的沟通。
梯形的上底缩小到0就转化为三角形，因而求积公式也从（上底 下底）×高÷2转化为底×高÷2。
【反思：这是把新学的梯形面积公式与已学的平行四边形、三角形的面积公式进行沟通，进一步让学生感受到这几种平面图形之间的联系与区别，更感受到数学知识之间的密切联系。】
三、自学课本梯形面积公式推导内容，相互交流、质疑（略）
四、练习（略）
纵观本课实录，最大的特点是：学生自主参与学习，并都投身于自己探求知识宝库的活动之中，他们动手操作，认真观察，独立思考，阅读教材，互相研讨，合作交流，终于发现了知识，领悟了知识，品尝到了成功的喜悦。具体体现有以下几个方面：
1.学习过程是学生的创造过程。
荷兰教学教育家弗赖登塔尔认为，学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。这节课，梯形面积计算公式正是学生自己动手、动脑而获得的，不是教师“灌”给他们的。这样的学习，学生在教师的激励下，带着解决问题的明确目的，认真观察、思考，群体讨论与交流，终于探索出了解决问题的途径与方法，感受到了重新创造数学的乐趣，增强了学好数学的信心，真正成为学习的主人。
2.体现了学生的主体作用和教师的主导作用。
学生的主体作用要表现在能动地、自觉地积极动脑、动手、动口，探索知识，发现规律，解决问题，真正成为学习的主人。教师的主导作用主要表现为把握教材的知识结构及内容的深度和广度，掌握学生认识活动的特点，认真组织和积极引导学生的学习活动。在“梯形面积公式”教学中，教师选择了适当的复习材料，为新课学习做好知识、技能、经验和心向的准备，这样就便于学生运用已掌握的求面积的基本方法，把新图形转化为已学过的图形，进行新的探索。在学生探索的基础上，教师又引导他们归纳出公式，并组织他们沟通所学知识，使新旧知识形成网络，学生的认知得到扩充和完善。
3.学生积极参与知识形成过程，使知识教学和能力培养同步发展。
现代教学论认为，知识和能力存在着相互渗透、相互促进的辩证关系，知识是获得能力的前提和基础。从“注入式”那里得到的知识是死知识，不但不能转化为能力，还会抑制能力的发展。而像上述教法，学生积极参与知识的形成过程，让学生运用旧知识，从不同角度，用不同方法获取新知识，使学生不但知其然，还知其所以然。这样，在知识形成过程中，学生既深刻理解，牢固掌握知识，同时又使他们的观察力、想象力和思维能力得到培养和发展，在学会的过程中达到“会学”的目的。
4.组织讨论交流，培养合作意识。
在教学中组织学生讨论与交流，培养学生合作的学习意识与习惯，这是群体参与学习的重要举措，也是时代赋予我们的使命。本节课组织了多次讨论与交流，特别是在生4遇到疑难时，教师鼓励学生讨论交流，最后找到解决方法，使学生品尝到了合作学习带来的成功与快乐。
这个教学案例表明，在教学中落实学生的主体地位，引导学生主动积极地参与教学全过程，把学生推向前台，教师退居幕后，只充当教学中的组织者、引导者与合作者，这样做不仅能获得良好的教学效果，而且对于培养高素质的现代公民，促进教育的现代化与社会的发展，都是大大有益的。
（责编陈剑平）