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[摘要]针对《线性代数》课程非常抽象这一特点，本文提出加强线性代数的几何直观性教学的教学方法，通过对其重要性和可行性的探讨，为线性代数的教学实践提供了一个理论上的参考。
[关键词]线性代数几何直观性教学
线性代数是理工科学生一门重要的数学基础课，它在培养学生数学素质和数学能力方面起着重要作用，特别是在研究离散变量之间的线性关系上有着重要的意义。实际问题中的变量关系一般可以线性化，而线性化了的问题正是线性代数可以解决的。因此学习这门课程对学生今后的发展起着重要作用。而现在线性代数的教学中普遍存在着两个问题：一是课程抽象，难于理解；二是课时紧张。那么如何在有限的课堂时间内讲解比较抽象的内容提高课堂效率是我们广大教师需要思考的问题。为此本文提出加强线性代数的几何直观性教学的教学方法，以此方法将抽象的问题具体化，从而提高课堂效率。
一、几何直观性教学的重要性
线性代数课程中的概念、理论都是比较抽象的，学生比较难接受这种看不见、摸不着、想象不出来的概念，这无疑增大了学习这门课程的难度，使许多学生学习起来感觉吃力，且仅停留在对定义结论的机械记忆上，不能掌握其本质。而几何直观教学方法借助几何图形的形象关系，产生对数据关系的直接感知，能把抽象的概念转化成形象的、直观的图形，这对帮助学生理解线性代数概念具有积极的意义。此外，在教学过程中运用“数”和“形”的结合，不仅可以使学生对线性代数的概念有几何直观的了解，容易理解，也能使学生明白知识是相关的，连续的，是相互紧密结合并可以互相转化的，从而提高灵活运用的能力。因此考虑在线性代数的概念和理论教学过程加强直观性教学，融入几何思想，是帮助学生理解接受线性代数的众多概念与结论最为自然的途径之一。它不仅仅是帮助学员理解概念和定理，而是更有助于学员学会如何去思考问题,从而提高学生的数学素养和培养学生应用数学知识来分析问题、解决问题的能力。
二、几何直观性教学的可行性
既然几何直观性教学能将抽象的概念具体化，能够便于学生理解，现在的问题是这种方法是不是可行呢？众所周知，线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究，它的所有重要概念均有其几何意义，这使得在线性代数教学中加强直观性教学有着天然的优势。同时从数学的发展情况来看，几何与代数也是很难完全分离的。大一学生虽然对几何的理解还有限，不过对二三维的几何空间的性质还是比较熟悉的，稍加解释应能理解和接受。
比如向量空间基的概念、理论较为抽象, 然而向量空间的基在三维以下空间中有具体的几何解释。在这部分内容的教学过程中，我们可以先阐述向量空间基的概念（向量空间V中的r个向量a1,a2,…,ar线性无关，且VA中任意一个向量都可有这r个向量来线性表示，此时称这r个向量a1,a2,…,ar为向量空间V的一组基），概念刚一给出，学生对其的理解可能比较模糊，这时我们可以给出这个概念在一二三维空间中的涵义：
一维向量空间R就是我们熟悉的实数轴x轴,在它上面取的单位坐标1即是一维向量空间R的一个基。因为一个一维向量1∈R,1≠0，故一定线性无关；另外,x轴上任意实数x=x·1，其中系数x∈R, 由上面定义,单位坐标1是一维向量空间R的一个基, 整个R上的点可由1生成, 故我们称1为一维向量空间R的一个基。二维向量的全体构成的向量空间是我们所熟知的平面R2，在平面R2中我们经常引入直角坐标系，即垂直的x,y轴，它的一组基可以选取为两个单位坐标向量i=(1,0)，j=(1,0)这两个向量互相垂直，显然是线性无关的，且对于平面中任一个点a，设其在直角坐标系下的坐标为(a1,a2)，则其可以表示为a=a1i+a2j，即平面中的任意一个点可以由两个单位坐标向量来线性表示，也说明这两个单位坐标向量i=(1,0)，j=(1,0)为向量空间R2的一组基；类似地可以解释三维向量空间R3的一组基可以选择为空间直角坐标系的三个单位坐标向量。通过这些解释使学生直观的理解体会向量空间的基的概念，并由此将基的概念引申到n(n≥1)维向量空间中去。这样降低了向量空间基的概念的抽象性，使学生较容易理解向量空间的基的概念，且加深了学生对这部分内容的直观认识。
通过上面的分析可知，在《线性代数》教学过程中,加强几何直观性教学是可行的，我们可以对某些教学内容采取如下的教学方式：首先阐述概念、结论的低阶几何意义，并借助数学软件、多媒体演示实现数形的结合，让学生直观的体会其在二维、三维空间中的涵义，然后再引申到一般的高维空间中去。这样处理的好处是：符合认知的规律，降低了相关概念、结论的抽象性；加深了学生对所学知识点的认识，增加了学生对《线性代数》应用的了解，提高了他们对知识的应用能力。
线性代数与几何的联系是广泛的，线性代数的许多理论可以认为是几何上二维平面空间、三维立体空间延伸和推广，因此我们应该发挥数学软件、多媒体的优势，加强几何直观教学， 让学生获得《线性代数》相关概念、结论的低维几何意义，进而实现由低维空间形象认识到高维空间抽象认识的转变，一方面为代数找到它的几何解释，另一方面又为几何找到它的代数表达，这样在很大程度上降低了线性代数概念的抽象性，学生不但能够很好地理解概念和理论，还可从中获得解决问题的启示，历年的研究生入学考试中也体现了代数与几何相结合的解题思路，因此在线性代数教学中应加强几何直观性教学。
[参考文献]
[1]郭勇华.几何思想在线性代数教学中的融入.宜春学院学报,2010（12）
[2]章晓.线性代数与解析几何结合教学探析.山东师范大学学报,2008（9）
[3]同济大学数学系.线性代数[M].5版.北京:高等教育出版社,2007.
（作者单位：军械工程学院 基础部数学教研室 河北石家庄）
[关键词]线性代数几何直观性教学
线性代数是理工科学生一门重要的数学基础课，它在培养学生数学素质和数学能力方面起着重要作用，特别是在研究离散变量之间的线性关系上有着重要的意义。实际问题中的变量关系一般可以线性化，而线性化了的问题正是线性代数可以解决的。因此学习这门课程对学生今后的发展起着重要作用。而现在线性代数的教学中普遍存在着两个问题：一是课程抽象，难于理解；二是课时紧张。那么如何在有限的课堂时间内讲解比较抽象的内容提高课堂效率是我们广大教师需要思考的问题。为此本文提出加强线性代数的几何直观性教学的教学方法，以此方法将抽象的问题具体化，从而提高课堂效率。
一、几何直观性教学的重要性
线性代数课程中的概念、理论都是比较抽象的，学生比较难接受这种看不见、摸不着、想象不出来的概念，这无疑增大了学习这门课程的难度，使许多学生学习起来感觉吃力，且仅停留在对定义结论的机械记忆上，不能掌握其本质。而几何直观教学方法借助几何图形的形象关系，产生对数据关系的直接感知，能把抽象的概念转化成形象的、直观的图形，这对帮助学生理解线性代数概念具有积极的意义。此外，在教学过程中运用“数”和“形”的结合，不仅可以使学生对线性代数的概念有几何直观的了解，容易理解，也能使学生明白知识是相关的，连续的，是相互紧密结合并可以互相转化的，从而提高灵活运用的能力。因此考虑在线性代数的概念和理论教学过程加强直观性教学，融入几何思想，是帮助学生理解接受线性代数的众多概念与结论最为自然的途径之一。它不仅仅是帮助学员理解概念和定理，而是更有助于学员学会如何去思考问题,从而提高学生的数学素养和培养学生应用数学知识来分析问题、解决问题的能力。
二、几何直观性教学的可行性
既然几何直观性教学能将抽象的概念具体化，能够便于学生理解，现在的问题是这种方法是不是可行呢？众所周知，线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究，它的所有重要概念均有其几何意义，这使得在线性代数教学中加强直观性教学有着天然的优势。同时从数学的发展情况来看，几何与代数也是很难完全分离的。大一学生虽然对几何的理解还有限，不过对二三维的几何空间的性质还是比较熟悉的，稍加解释应能理解和接受。
比如向量空间基的概念、理论较为抽象, 然而向量空间的基在三维以下空间中有具体的几何解释。在这部分内容的教学过程中，我们可以先阐述向量空间基的概念（向量空间V中的r个向量a1,a2,…,ar线性无关，且VA中任意一个向量都可有这r个向量来线性表示，此时称这r个向量a1,a2,…,ar为向量空间V的一组基），概念刚一给出，学生对其的理解可能比较模糊，这时我们可以给出这个概念在一二三维空间中的涵义：
一维向量空间R就是我们熟悉的实数轴x轴,在它上面取的单位坐标1即是一维向量空间R的一个基。因为一个一维向量1∈R,1≠0，故一定线性无关；另外,x轴上任意实数x=x·1，其中系数x∈R, 由上面定义,单位坐标1是一维向量空间R的一个基, 整个R上的点可由1生成, 故我们称1为一维向量空间R的一个基。二维向量的全体构成的向量空间是我们所熟知的平面R2，在平面R2中我们经常引入直角坐标系，即垂直的x,y轴，它的一组基可以选取为两个单位坐标向量i=(1,0)，j=(1,0)这两个向量互相垂直，显然是线性无关的，且对于平面中任一个点a，设其在直角坐标系下的坐标为(a1,a2)，则其可以表示为a=a1i+a2j，即平面中的任意一个点可以由两个单位坐标向量来线性表示，也说明这两个单位坐标向量i=(1,0)，j=(1,0)为向量空间R2的一组基；类似地可以解释三维向量空间R3的一组基可以选择为空间直角坐标系的三个单位坐标向量。通过这些解释使学生直观的理解体会向量空间的基的概念，并由此将基的概念引申到n(n≥1)维向量空间中去。这样降低了向量空间基的概念的抽象性，使学生较容易理解向量空间的基的概念，且加深了学生对这部分内容的直观认识。
通过上面的分析可知，在《线性代数》教学过程中,加强几何直观性教学是可行的，我们可以对某些教学内容采取如下的教学方式：首先阐述概念、结论的低阶几何意义，并借助数学软件、多媒体演示实现数形的结合，让学生直观的体会其在二维、三维空间中的涵义，然后再引申到一般的高维空间中去。这样处理的好处是：符合认知的规律，降低了相关概念、结论的抽象性；加深了学生对所学知识点的认识，增加了学生对《线性代数》应用的了解，提高了他们对知识的应用能力。
线性代数与几何的联系是广泛的，线性代数的许多理论可以认为是几何上二维平面空间、三维立体空间延伸和推广，因此我们应该发挥数学软件、多媒体的优势，加强几何直观教学， 让学生获得《线性代数》相关概念、结论的低维几何意义，进而实现由低维空间形象认识到高维空间抽象认识的转变，一方面为代数找到它的几何解释，另一方面又为几何找到它的代数表达，这样在很大程度上降低了线性代数概念的抽象性，学生不但能够很好地理解概念和理论，还可从中获得解决问题的启示，历年的研究生入学考试中也体现了代数与几何相结合的解题思路，因此在线性代数教学中应加强几何直观性教学。
[参考文献]
[1]郭勇华.几何思想在线性代数教学中的融入.宜春学院学报,2010（12）
[2]章晓.线性代数与解析几何结合教学探析.山东师范大学学报,2008（9）
[3]同济大学数学系.线性代数[M].5版.北京:高等教育出版社,2007.
（作者单位：军械工程学院 基础部数学教研室 河北石家庄）