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摘要:许多典型的例题和习题反映了相关数学理论的本质属性,蕴涵着数学中重要的思维方法和思想精髓.本文通过水平变式和垂直变式两个方面,挖掘教材中一道习题的内在“潜能”,从而提高探究教学的有效性.
关键词:课本习题;水平变式;垂直变式
无论是高考还是中考,命题者总是精雕细刻、匠心独运地设计出新颖别致、独创一格的试题,但万变不离其宗,命题者都会“植根”于教材. 课本习题都是编者精心挑选的典型题目,它们都是重要结论、命题、定理或数学思想的载体;它们的延伸、转化和拓展能呈现出丰富的数学内容,故教材成为编拟各类试卷的源泉. 对课本习题的变式、挖掘、探究,既能抓住数学本质,加深数学理解,又能提高解题能力,还促成思维的广阔性、深刻性、灵活性. 下面以一道课本习题为例,谈谈如何进行变式探究教学.
题目如图1,△ABC是锐角三角形. 分别以AB,AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN. D,E,F分别是MB,BC,CN的中点,连结DE,EF. 求证:DE=EF.
图1
分析连结BN,BM. 由正三角形和旋转性质可知,△ABN绕点A顺时针旋转∠NAC角度与△ACM重合,可得BN=CM.由题可知,EF和ED分别是△CBN和△BCM的中位线,可得DE=EF.
此题综合考查了正三角形、全等三角形、三角形中位线的性质,同时整合三角形全等和图形变换(旋转)等知识点,思考结论还不难得到∠DEF=120°.
水平变式以原题为基本题,改变向外“生长”形状,水平变式挖掘一般结论.
探究1改变“向外侧作等边三角形”为“向外侧作正方形”(图2),O1,O2为正方形的中心,则O1E与O2E有何关系?
图2
探究2改变“向外侧作等边三角形”为“向外侧作正五边形”(图3),O1,O2为BG,CH的中点,则O1E与O2E有何关系?
图3
探究3改变“向外侧作等边三角形”为“向外侧作正n边形”(图4),AC,AF是以AC为边向外侧所作正n边形的一组邻边;AB,AD是以AB为边向外侧所作正n边形的一组邻边,则O1E与O2E有何关系?
图4
分析探究1与探究2是原题的一组水平变式. 在学生的最近发展区内,把题目的形式特征(正三角形)进行推广(变为正方形、正五边形),同时控制不变的数学结构(旋转全等和三角形中位线性质),可解得O1E=O2E,∠O1EO2分别是90°与72°. 而探究3在处理一般正多边形时O1E与O2E关系,这样在认知负荷上给学生带来了负担,由“表层”过渡到“深层”是为了垂直变式. 学生在水平变式练习中逐步区分形式特征并提取数学结构元素,逐步区分题目中数学结构,使数学思维得到提升,学生可顺利得到O1E=O2E,∠O1EO2=180°-=°. 变式探究的精髓就是把认知负荷大的问题,分解为认知负荷小的问题,把垂直变式化为螺旋,循序渐进,分解水平变式.分析探究3的条件“AC,AF是以AC边向外侧所作正n边形的一组邻边”可延伸为“以AC和AB向外侧作两个相似的等腰三角形”,结论仍为O1E=O2E,而∠O1EO2为等腰三角形顶角度数. 此题是否可以向外侧作相似三角形,结论是否雷同?有兴趣的读者可探讨一下.
垂直变式以原题为基础,改变题目条件,垂直变式挖掘深层结论.
探究4以△ABC三边向外侧作三个等边三角形,如图5. 其中O1,O2,O3分别是三个等边三角形的中心.证明:△O1O2O3是正三角形.
图5
分析此题第一种证明是法兰西第一帝国的皇帝拿破仑发现的. 因此,被命名为拿破仑定理(若在任意三角形的各边向外(内)作正三角形,则它们的中心构成一个正三角形). 该定理的证明,对于初中生来说颇有难度,但所蕴藏的数学史可增加学生数学视野,也可将其弱化为特例,以便学生证明.?摇
探究5以△ABC三边向外侧作三个正方形,如图6. 其中O1,O2,O3分别是三个正方形的中心. 证明:△O1O2O3是正三角形.
图6
分析虽然此题又在△ABC第三边作正方形,小小改变带给学生的却是大大的认知负荷. 但由于有了探究1的铺垫,使本题在学生的最近发展区内可以得到解决.由探究1可知PO2⊥PO3且PO2=PO3. 再由旋转性质可知,△PBO2绕点P顺时针旋转90°可得△PO1O3. 所以,O1O3⊥O2B,且O1O3=O2B. 当然,以此可进行水平变式,如当△ABC为直角三角形(图7);当△ABC为钝角三角形(图8). 其中图7是我们非常熟悉的图形,欧几里得在他的《几何原本》中给出的勾股定理的推广定理就是借助此图形得到.
探究6在探究1的基础上,连结MG,如图9. 证明:四边形O1HO2E是正方形.
图9
分析此题的结论十分有趣,结论其实应用两次探究1结论即可.两个正方形是△ABC两边向外作得,可得O1E⊥O2E且O1E=O2E;反观△AMG可知,该两个正方形同时也是△AMG两边向外作得,可得O1H⊥O2H且O1H=O2H. 因此,四边形O1HO2E是正方形.
探究7如图10,以任意四边形ABCD各边向外侧作正方形,其中O1,O2,O3,O4分别是四个正方形的中心. 连结O1O3,O2O4 . 探究O1O3和O2O4有何关系?
图10
分析我们处理四边形问题时首先利用转化思想,把四边形转化为三角形问题. 因此,连结AC,此时,此题可理解为两个公边三角形向外侧作正方形. 由变式探究1,可得O1E⊥O2E,且O1E=O2E,O3E⊥O4E,且O3E=O4E. 再由旋转性质可知,△EO1O3绕点逆时针旋转90°可得△EO2O4.因此,O1O3⊥O2O4,且O1O3⊥O2O4. 当四边形为特殊四边形时,如平行四边(图11)、梯形(图12)等问题就是本题的特例. 如下两题.
1. 在图11中,为什么O1B⊥O1G,且O1B=O1G?
2. (2004年全国初中联赛C卷)梯形ABCD中,AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF. 连结EF,设线段EF的中点为M. 求证:MA=MD.
探究7是一道有难度的题目,在上述层层铺垫中、在不断进行变式(水平、垂直)探究中却迎刃而解,甚至可以解决竞赛难度的题目. 那么如何将课本习题在学生认知范围内有效地变式探究,或是如何把水平变式“过渡”到垂直变式呢?关键是要把握认知负荷的问题,认知负荷太大或太小,都不会从水平变式“过渡到”垂直变式.
启示:
1. 教师如何利用好课程资源,怎样将新老教材、各个地方的教材进行整合,是值得探讨的问题. 教师除了要充分利用教材,挖掘教材中典型的思想方法,拓宽知识的范围之外,还应重视对知识进行归纳、引申和类比,通过变式探究来训练学生思维的广阔性、深刻性和灵活性.
2.教师在教学中有效进行变式探究时应把握好以下三个方面.
其一,水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”的把握. 其中,变式的“度”至关重要,变的“度”太小,成了题海战术;变的“度”太大,又跳到另一个极端,学生不能掌控,产生失败感,同样不能产生高层次思维,不能产生认知“功能”. 只有有效把握好“量”和“度”,才能使量变转为质变.
其二,初中数学中水平变式的应用较多,而垂直变式题的局限性比较突出. 因此,教师务必要从学生实际出发,要在学生的最近发展区进行有意义的垂直变式.
其三,数学问题变式探究中各类变式题的衔结. 教师应有效处理水平变式间、垂直变式间、水平与垂直变式间的衔结,要使学生在不断“区分”中,学习数学的“思维”,促进“表层学习向深层学习过渡”.
关键词:课本习题;水平变式;垂直变式
无论是高考还是中考,命题者总是精雕细刻、匠心独运地设计出新颖别致、独创一格的试题,但万变不离其宗,命题者都会“植根”于教材. 课本习题都是编者精心挑选的典型题目,它们都是重要结论、命题、定理或数学思想的载体;它们的延伸、转化和拓展能呈现出丰富的数学内容,故教材成为编拟各类试卷的源泉. 对课本习题的变式、挖掘、探究,既能抓住数学本质,加深数学理解,又能提高解题能力,还促成思维的广阔性、深刻性、灵活性. 下面以一道课本习题为例,谈谈如何进行变式探究教学.
题目如图1,△ABC是锐角三角形. 分别以AB,AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN. D,E,F分别是MB,BC,CN的中点,连结DE,EF. 求证:DE=EF.
图1
分析连结BN,BM. 由正三角形和旋转性质可知,△ABN绕点A顺时针旋转∠NAC角度与△ACM重合,可得BN=CM.由题可知,EF和ED分别是△CBN和△BCM的中位线,可得DE=EF.
此题综合考查了正三角形、全等三角形、三角形中位线的性质,同时整合三角形全等和图形变换(旋转)等知识点,思考结论还不难得到∠DEF=120°.
水平变式以原题为基本题,改变向外“生长”形状,水平变式挖掘一般结论.
探究1改变“向外侧作等边三角形”为“向外侧作正方形”(图2),O1,O2为正方形的中心,则O1E与O2E有何关系?
图2
探究2改变“向外侧作等边三角形”为“向外侧作正五边形”(图3),O1,O2为BG,CH的中点,则O1E与O2E有何关系?
图3
探究3改变“向外侧作等边三角形”为“向外侧作正n边形”(图4),AC,AF是以AC为边向外侧所作正n边形的一组邻边;AB,AD是以AB为边向外侧所作正n边形的一组邻边,则O1E与O2E有何关系?
图4
分析探究1与探究2是原题的一组水平变式. 在学生的最近发展区内,把题目的形式特征(正三角形)进行推广(变为正方形、正五边形),同时控制不变的数学结构(旋转全等和三角形中位线性质),可解得O1E=O2E,∠O1EO2分别是90°与72°. 而探究3在处理一般正多边形时O1E与O2E关系,这样在认知负荷上给学生带来了负担,由“表层”过渡到“深层”是为了垂直变式. 学生在水平变式练习中逐步区分形式特征并提取数学结构元素,逐步区分题目中数学结构,使数学思维得到提升,学生可顺利得到O1E=O2E,∠O1EO2=180°-=°. 变式探究的精髓就是把认知负荷大的问题,分解为认知负荷小的问题,把垂直变式化为螺旋,循序渐进,分解水平变式.分析探究3的条件“AC,AF是以AC边向外侧所作正n边形的一组邻边”可延伸为“以AC和AB向外侧作两个相似的等腰三角形”,结论仍为O1E=O2E,而∠O1EO2为等腰三角形顶角度数. 此题是否可以向外侧作相似三角形,结论是否雷同?有兴趣的读者可探讨一下.
垂直变式以原题为基础,改变题目条件,垂直变式挖掘深层结论.
探究4以△ABC三边向外侧作三个等边三角形,如图5. 其中O1,O2,O3分别是三个等边三角形的中心.证明:△O1O2O3是正三角形.
图5
分析此题第一种证明是法兰西第一帝国的皇帝拿破仑发现的. 因此,被命名为拿破仑定理(若在任意三角形的各边向外(内)作正三角形,则它们的中心构成一个正三角形). 该定理的证明,对于初中生来说颇有难度,但所蕴藏的数学史可增加学生数学视野,也可将其弱化为特例,以便学生证明.?摇
探究5以△ABC三边向外侧作三个正方形,如图6. 其中O1,O2,O3分别是三个正方形的中心. 证明:△O1O2O3是正三角形.
图6
分析虽然此题又在△ABC第三边作正方形,小小改变带给学生的却是大大的认知负荷. 但由于有了探究1的铺垫,使本题在学生的最近发展区内可以得到解决.由探究1可知PO2⊥PO3且PO2=PO3. 再由旋转性质可知,△PBO2绕点P顺时针旋转90°可得△PO1O3. 所以,O1O3⊥O2B,且O1O3=O2B. 当然,以此可进行水平变式,如当△ABC为直角三角形(图7);当△ABC为钝角三角形(图8). 其中图7是我们非常熟悉的图形,欧几里得在他的《几何原本》中给出的勾股定理的推广定理就是借助此图形得到.
探究6在探究1的基础上,连结MG,如图9. 证明:四边形O1HO2E是正方形.
图9
分析此题的结论十分有趣,结论其实应用两次探究1结论即可.两个正方形是△ABC两边向外作得,可得O1E⊥O2E且O1E=O2E;反观△AMG可知,该两个正方形同时也是△AMG两边向外作得,可得O1H⊥O2H且O1H=O2H. 因此,四边形O1HO2E是正方形.
探究7如图10,以任意四边形ABCD各边向外侧作正方形,其中O1,O2,O3,O4分别是四个正方形的中心. 连结O1O3,O2O4 . 探究O1O3和O2O4有何关系?
图10
分析我们处理四边形问题时首先利用转化思想,把四边形转化为三角形问题. 因此,连结AC,此时,此题可理解为两个公边三角形向外侧作正方形. 由变式探究1,可得O1E⊥O2E,且O1E=O2E,O3E⊥O4E,且O3E=O4E. 再由旋转性质可知,△EO1O3绕点逆时针旋转90°可得△EO2O4.因此,O1O3⊥O2O4,且O1O3⊥O2O4. 当四边形为特殊四边形时,如平行四边(图11)、梯形(图12)等问题就是本题的特例. 如下两题.
1. 在图11中,为什么O1B⊥O1G,且O1B=O1G?
2. (2004年全国初中联赛C卷)梯形ABCD中,AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF. 连结EF,设线段EF的中点为M. 求证:MA=MD.
探究7是一道有难度的题目,在上述层层铺垫中、在不断进行变式(水平、垂直)探究中却迎刃而解,甚至可以解决竞赛难度的题目. 那么如何将课本习题在学生认知范围内有效地变式探究,或是如何把水平变式“过渡”到垂直变式呢?关键是要把握认知负荷的问题,认知负荷太大或太小,都不会从水平变式“过渡到”垂直变式.
启示:
1. 教师如何利用好课程资源,怎样将新老教材、各个地方的教材进行整合,是值得探讨的问题. 教师除了要充分利用教材,挖掘教材中典型的思想方法,拓宽知识的范围之外,还应重视对知识进行归纳、引申和类比,通过变式探究来训练学生思维的广阔性、深刻性和灵活性.
2.教师在教学中有效进行变式探究时应把握好以下三个方面.
其一,水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”的把握. 其中,变式的“度”至关重要,变的“度”太小,成了题海战术;变的“度”太大,又跳到另一个极端,学生不能掌控,产生失败感,同样不能产生高层次思维,不能产生认知“功能”. 只有有效把握好“量”和“度”,才能使量变转为质变.
其二,初中数学中水平变式的应用较多,而垂直变式题的局限性比较突出. 因此,教师务必要从学生实际出发,要在学生的最近发展区进行有意义的垂直变式.
其三,数学问题变式探究中各类变式题的衔结. 教师应有效处理水平变式间、垂直变式间、水平与垂直变式间的衔结,要使学生在不断“区分”中,学习数学的“思维”,促进“表层学习向深层学习过渡”.