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摘 要：几何概型是高中数学的新增内容，它有着深厚的实际生活背景. 学生学习这部分内容很感兴趣，在教师指导下解题并不困难，但是在自主解题过程中常常不能准确理解测度概念，亦不能准确解题. 本文试图寻找学生几何概型学习中的“懂而不会”现象的成因及其对策，让学生真正理解知识并学会应用.
关键词：几何概型；教学尝试；概念理解
[?] 问题的提出
在高三复习几何概型这部分内容时，有这样两个题目：
题1：（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM （2）在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM 题2：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能见面的概率.
这两个题目是这个部分的典型问题，其中题1的两个问题背景类似，所求问题问法完全一致，但是因为测度的选择不同，而使得答案大相径庭. 题2是一个以面积为测度的几何概型，只要根据变量的取值范围给出图形，就能很快求得答案.
因为是一轮复习，通常要求学生先进行自主预习，接着在课堂上进行反馈交流和纠错，再讲解点评. 学生做下来的反馈情况令人深思，题1的第1问全班55人全都正确，而题1的第2问有近半数的学生答案错误，而且错误惊人一致，答案都是，但是他们都识别出这是几何概型，并且知道这两个小问以前都做过，也错过，但是现在还是这样理解. 而题（2）只有17人认为这肯定是几何概型，这17人中只有12人能够设出甲乙两人到达的时刻为x，y，但是真正答对的只有7人. 经过调查，剩余的这38个学生在看到这个问题的感受是：我知道这个问题老师在新授课的时候讲过，当时我懂，我会，但是现在遇到它，我又不知道如何下手，似乎也知道是几何概型问题，但是力不从心，使不上劲.
这就显示出学生在学习这部分知识时存在着“懂而不会”的现象，甚至有些学生根本连真正意义上的“懂”都谈不上.
[?] “几何概型”内容的教材分析和考试要求分析
1. 高中教材上的定义
苏教版教材必修3在给出两个引例后给出如下定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等. 用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 接下来，课本又给出了计算的公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d”为事件A，则事件A发生的概率p（A）=. 这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积.
而人教A版几何概型是这样定义的： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
比较人教A版教材的定义，苏教版教材的定义要长一些. 这么长的定义，学生阅读和理解都是困难的.而人教版的定义对于学生而言，这个命题的条件又该如何理解？
2. 初高中教材的对比
学生在初中义务教育阶段已经学习过概率统计初步. 以江苏科学技术出版社的教材为例，概率内容出现在七年级（下）的第十三章《感受概率》和九年级（下）的第九章《概率的简单应用》，没有给出两类概型，但两类概型都有涉及，比如口袋中的摸球问题（古典概型）、转盘中奖问题（几何概型）. 在概率计算中，更多的是用频率来估计概率.
在高中教材中再次出现这两个概型，并且给出定义和计算公式，对于学生而言，应该有一个知识掌握的螺旋上升过程. 但是，就从本文开头的两个问题来看，学生独立解决几何概型问题的能力有待加强.
2. 考试要求分析
这部分内容是课程改革后的新增内容，《普通高中数学课程标准》要求是了解.这部分内容在高考中的要求是A级（了解层次）. 由于考试要求相对较低，以江苏省高考试题必做题（160分）为例，五年来（2008-2012年）考查到几何概型内容的只有2008年的填空题第六题，且为容易题，所以学生在处理考题时并不困难.
[?] 学生学习“几何概型”内容“懂而不会”的原因分析
1. 教师教的层面
“几何概型”是江苏省课程改革后新启用教材必修3中的内容，它和算法、统计都是在这本书中. 从2005年这套教材的使用情况来看，必修1-5的使用顺序是14523，或者是其他组合，大多数是将必修3放在最后，也就是认为这本书的内容考试要求低，教师认为这部分内容较为简单，讲起来也是泛泛而讲，不太重视，讲授的时间较少，也会出现考纲不考的内容不讲的现象. 当然，鉴于前面的教材和考试说明分析，这种现象背后的原因不言而喻.
由此可见，在新授课阶段，学生在模仿解题上并没有太多困难，但是教师在让学生加深概念的理解层面上所作的努力程度仍然不够.
2. 学生学习的层面
（1）学生的已有知识经验
根据奥苏贝尔的“有意义学习”理论，学生原有的认知结构是学习的基础. 几何概型的学习是在古典概型之后. 在古典概型的学习中，古典概型中有限个等可能的基本事件可以通过列举的方式让学生有着直接的体验，并且古典概型中的问题情境也和实际生活息息相关；但到了几何概型，他们需要将试验中的无限个等可能的基本事件映射为某个特定区域中的点，也就是从实际问题中建立起概率模型. 而在实际问题的解答中，又要将如问题1的第2题中无限个等可能的事件是射线看成和定义中的点的实质相同，这本身就是较高的思维要求，学生很难做到. （2）学生概念的形成过程
概念的形成是概念学习过程中非常重要的部分，也是思维过程中最复杂的部分. 维果斯基曾提出：“了解概念的形成过程，即可把握住儿童学习和认知与思维的过程.”
概念的形成基本上需要两个条件：一是学习者必须从许多事物或情境中认识或抽象出它们的共有特征，以便进行概括；二是学习者必须能够辨别出与概念相关或不相关的标志，以便进行区别归类，其具体的过程概括如下：概念形成的一般过程（曹才翰，蔡金法，1989）
新授课阶段，通过引例找到几何概型的共同属性，揭示出本质属性，再通过肯定和否定例证形成概念，理解概念的内涵和外延. 问题2中，甲乙两人到达约定地点的时间看成是两个独立的随机变量，而这两个随机变量的取值看成是在指定区间内任取一点，这就需要在具体的问题情境中能够深刻理解概念，并且灵活应用概念.
维果斯基认为，概念学习主要有三个困难：一是迁移；二是给概念下个定义；三是在最终掌握概念并在抽象水平上系统阐述概念以后，把概念运用于必须借助于这些抽象的术语来加以观察的新的情境，这是最困难的. 从这个角度来看，学生在问题2中遇到的问题就不难理解了. 经过访谈和调查，学生正是没有在问题情境中找到“甲乙两人到达的时间，即变量x，y.”
而根据调查，高三学生学习完几何概型后，脑海中留下的是具体的简单的例子和计算的公式，并不能理解概念的含义.
可以这样说，学生们所谓的“懂”，不过是停留于概念形成的前几个阶段，在教师的讲解下的懂，实质没有独立思考后的“悟”.
[?] 课堂上的教学尝试
1. 让学生说出自己的想法
Duffin&Simpson指出：当我理解了，我就感到愉快；我就自信；我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重新构造；我觉得它已经属于我；我可以把它解释给别人听.让学生来说思路，说困惑不仅仅是一种数学交流方式，也是学生进行出声思维的良好途径.
如问题1（2）的第二个，就有学生直接走到讲台上来，用粉笔将这个“在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内任作一条射线CM，与线段AB交于点M”的过程展示出来，画出的射线充斥整个∠ACB，满足条件的射线有哪些圈出来，因此，很快可以找到P（AM 接着学生还总结出，可以通过模拟操作题目给出的情境来判断几何概型和进行测度寻找. 学生还根据这一方法验证了问题1的第1问.
对于问题2，学生指出，设出两个随机变量x，y，其中x，y满足
6≤x≤7，
6≤y≤7，
x-y
≤，
还有学生提出，当变量为一维时，对应的测度是长度、角度或者时间；当变量是二维时，测度可看做是面积；而变量是三维时，测度可看做是体积.
2. 让学生找一找相关的变式
鉴于学生们在课堂上的热烈的讨论和表达，笔者又让他们结合最近的综合练习和专题复习，找一找相关的变式.
学生很快找到了这样的两个变式：
变式1 和问题1对应，重在通过操作找到测度
在半径为1的圆上随机地取两点，形成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率为__________.
学生分析：首先固定其中的一个点，做出一个等边三角形，其次是考虑取另外一个点. 我们取得点是在弧上的，所以测度为弧长，P==.
变式2 和问题2对应，重在变量的个数
在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为_______.
学生分析：设在长为1的线段上任取两点看成是在区间[0，1]上任取x，y，则x，y满足
0≤x≤1，
0≤y≤1，
x-y
≤，则P=.
变式3 将问题2的条件做了如下改动：
甲若是先到，等10分钟；乙若是先到，等15分钟（解答略）.
3. 让学生反思并表达解决几何概型问题的策略和注意点
学习过程是学生主动建构的过程，每一堂课后，完善知识结构需要学生自己动手，付出主观的努力. 学生的数学学习过程中的反思要求认知者对自身数学思维活动过程和结果作深层次的反向思考和批判性的再认识，以求获得更深刻的认识或产生新认识，包括自我觉察、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节. 只有养成反思的习惯，才能让数学反思能力获得提高. 而这种在数学反思活动中反映出来的稳定的心理特征，是元认知在数学思维活动中发挥作用的基本形式，是获得数学思维的核心和动力.
从技能训练的角度来讲，从熟练化到自动化再到策略化，反思是个必不可少的过程.
[?] 建议和思考
1. 几何概型的教学中，学生是有一定的生活经验和知识基础的，可以充分利用实验和计算机和信息技术模拟增强直观性. 这样做，也可以激发学生的学习兴趣，让学生充分感受到数学是有意义和有用的，而不是抽象和不相关的.
2. 鼓励学生大胆地进行数学交流，暴露自己的思维. 这不仅利于学生解题时思维的整理和优化，也可以让教师及时发现学生的思维障碍，便于指导.
3. 在课堂中，教师应更多地关注学生的想法，注重课堂的生成性. 教学中大多数都是教师进行变式的准备，学生被动地接受. 但是，通过本次课堂上的尝试，学生的变式选择和辨析，的确让学生真正地从思维上动起来了.
关键词：几何概型；教学尝试；概念理解
[?] 问题的提出
在高三复习几何概型这部分内容时，有这样两个题目：
题1：（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM
这两个题目是这个部分的典型问题，其中题1的两个问题背景类似，所求问题问法完全一致，但是因为测度的选择不同，而使得答案大相径庭. 题2是一个以面积为测度的几何概型，只要根据变量的取值范围给出图形，就能很快求得答案.
因为是一轮复习，通常要求学生先进行自主预习，接着在课堂上进行反馈交流和纠错，再讲解点评. 学生做下来的反馈情况令人深思，题1的第1问全班55人全都正确，而题1的第2问有近半数的学生答案错误，而且错误惊人一致，答案都是，但是他们都识别出这是几何概型，并且知道这两个小问以前都做过，也错过，但是现在还是这样理解. 而题（2）只有17人认为这肯定是几何概型，这17人中只有12人能够设出甲乙两人到达的时刻为x，y，但是真正答对的只有7人. 经过调查，剩余的这38个学生在看到这个问题的感受是：我知道这个问题老师在新授课的时候讲过，当时我懂，我会，但是现在遇到它，我又不知道如何下手，似乎也知道是几何概型问题，但是力不从心，使不上劲.
这就显示出学生在学习这部分知识时存在着“懂而不会”的现象，甚至有些学生根本连真正意义上的“懂”都谈不上.
[?] “几何概型”内容的教材分析和考试要求分析
1. 高中教材上的定义
苏教版教材必修3在给出两个引例后给出如下定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等. 用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 接下来，课本又给出了计算的公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d”为事件A，则事件A发生的概率p（A）=. 这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积.
而人教A版几何概型是这样定义的： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
比较人教A版教材的定义，苏教版教材的定义要长一些. 这么长的定义，学生阅读和理解都是困难的.而人教版的定义对于学生而言，这个命题的条件又该如何理解？
2. 初高中教材的对比
学生在初中义务教育阶段已经学习过概率统计初步. 以江苏科学技术出版社的教材为例，概率内容出现在七年级（下）的第十三章《感受概率》和九年级（下）的第九章《概率的简单应用》，没有给出两类概型，但两类概型都有涉及，比如口袋中的摸球问题（古典概型）、转盘中奖问题（几何概型）. 在概率计算中，更多的是用频率来估计概率.
在高中教材中再次出现这两个概型，并且给出定义和计算公式，对于学生而言，应该有一个知识掌握的螺旋上升过程. 但是，就从本文开头的两个问题来看，学生独立解决几何概型问题的能力有待加强.
2. 考试要求分析
这部分内容是课程改革后的新增内容，《普通高中数学课程标准》要求是了解.这部分内容在高考中的要求是A级（了解层次）. 由于考试要求相对较低，以江苏省高考试题必做题（160分）为例，五年来（2008-2012年）考查到几何概型内容的只有2008年的填空题第六题，且为容易题，所以学生在处理考题时并不困难.
[?] 学生学习“几何概型”内容“懂而不会”的原因分析
1. 教师教的层面
“几何概型”是江苏省课程改革后新启用教材必修3中的内容，它和算法、统计都是在这本书中. 从2005年这套教材的使用情况来看，必修1-5的使用顺序是14523，或者是其他组合，大多数是将必修3放在最后，也就是认为这本书的内容考试要求低，教师认为这部分内容较为简单，讲起来也是泛泛而讲，不太重视，讲授的时间较少，也会出现考纲不考的内容不讲的现象. 当然，鉴于前面的教材和考试说明分析，这种现象背后的原因不言而喻.
由此可见，在新授课阶段，学生在模仿解题上并没有太多困难，但是教师在让学生加深概念的理解层面上所作的努力程度仍然不够.
2. 学生学习的层面
（1）学生的已有知识经验
根据奥苏贝尔的“有意义学习”理论，学生原有的认知结构是学习的基础. 几何概型的学习是在古典概型之后. 在古典概型的学习中，古典概型中有限个等可能的基本事件可以通过列举的方式让学生有着直接的体验，并且古典概型中的问题情境也和实际生活息息相关；但到了几何概型，他们需要将试验中的无限个等可能的基本事件映射为某个特定区域中的点，也就是从实际问题中建立起概率模型. 而在实际问题的解答中，又要将如问题1的第2题中无限个等可能的事件是射线看成和定义中的点的实质相同，这本身就是较高的思维要求，学生很难做到. （2）学生概念的形成过程
概念的形成是概念学习过程中非常重要的部分，也是思维过程中最复杂的部分. 维果斯基曾提出：“了解概念的形成过程，即可把握住儿童学习和认知与思维的过程.”
概念的形成基本上需要两个条件：一是学习者必须从许多事物或情境中认识或抽象出它们的共有特征，以便进行概括；二是学习者必须能够辨别出与概念相关或不相关的标志，以便进行区别归类，其具体的过程概括如下：概念形成的一般过程（曹才翰，蔡金法，1989）
新授课阶段，通过引例找到几何概型的共同属性，揭示出本质属性，再通过肯定和否定例证形成概念，理解概念的内涵和外延. 问题2中，甲乙两人到达约定地点的时间看成是两个独立的随机变量，而这两个随机变量的取值看成是在指定区间内任取一点，这就需要在具体的问题情境中能够深刻理解概念，并且灵活应用概念.
维果斯基认为，概念学习主要有三个困难：一是迁移；二是给概念下个定义；三是在最终掌握概念并在抽象水平上系统阐述概念以后，把概念运用于必须借助于这些抽象的术语来加以观察的新的情境，这是最困难的. 从这个角度来看，学生在问题2中遇到的问题就不难理解了. 经过访谈和调查，学生正是没有在问题情境中找到“甲乙两人到达的时间，即变量x，y.”
而根据调查，高三学生学习完几何概型后，脑海中留下的是具体的简单的例子和计算的公式，并不能理解概念的含义.
可以这样说，学生们所谓的“懂”，不过是停留于概念形成的前几个阶段，在教师的讲解下的懂，实质没有独立思考后的“悟”.
[?] 课堂上的教学尝试
1. 让学生说出自己的想法
Duffin&Simpson指出：当我理解了，我就感到愉快；我就自信；我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重新构造；我觉得它已经属于我；我可以把它解释给别人听.让学生来说思路，说困惑不仅仅是一种数学交流方式，也是学生进行出声思维的良好途径.
如问题1（2）的第二个，就有学生直接走到讲台上来，用粉笔将这个“在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内任作一条射线CM，与线段AB交于点M”的过程展示出来，画出的射线充斥整个∠ACB，满足条件的射线有哪些圈出来，因此，很快可以找到P（AM
对于问题2，学生指出，设出两个随机变量x，y，其中x，y满足
6≤x≤7，
6≤y≤7，
x-y
≤，
还有学生提出，当变量为一维时，对应的测度是长度、角度或者时间；当变量是二维时，测度可看做是面积；而变量是三维时，测度可看做是体积.
2. 让学生找一找相关的变式
鉴于学生们在课堂上的热烈的讨论和表达，笔者又让他们结合最近的综合练习和专题复习，找一找相关的变式.
学生很快找到了这样的两个变式：
变式1 和问题1对应，重在通过操作找到测度
在半径为1的圆上随机地取两点，形成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率为__________.
学生分析：首先固定其中的一个点，做出一个等边三角形，其次是考虑取另外一个点. 我们取得点是在弧上的，所以测度为弧长，P==.
变式2 和问题2对应，重在变量的个数
在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为_______.
学生分析：设在长为1的线段上任取两点看成是在区间[0，1]上任取x，y，则x，y满足
0≤x≤1，
0≤y≤1，
x-y
≤，则P=.
变式3 将问题2的条件做了如下改动：
甲若是先到，等10分钟；乙若是先到，等15分钟（解答略）.
3. 让学生反思并表达解决几何概型问题的策略和注意点
学习过程是学生主动建构的过程，每一堂课后，完善知识结构需要学生自己动手，付出主观的努力. 学生的数学学习过程中的反思要求认知者对自身数学思维活动过程和结果作深层次的反向思考和批判性的再认识，以求获得更深刻的认识或产生新认识，包括自我觉察、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节. 只有养成反思的习惯，才能让数学反思能力获得提高. 而这种在数学反思活动中反映出来的稳定的心理特征，是元认知在数学思维活动中发挥作用的基本形式，是获得数学思维的核心和动力.
从技能训练的角度来讲，从熟练化到自动化再到策略化，反思是个必不可少的过程.
[?] 建议和思考
1. 几何概型的教学中，学生是有一定的生活经验和知识基础的，可以充分利用实验和计算机和信息技术模拟增强直观性. 这样做，也可以激发学生的学习兴趣，让学生充分感受到数学是有意义和有用的，而不是抽象和不相关的.
2. 鼓励学生大胆地进行数学交流，暴露自己的思维. 这不仅利于学生解题时思维的整理和优化，也可以让教师及时发现学生的思维障碍，便于指导.
3. 在课堂中，教师应更多地关注学生的想法，注重课堂的生成性. 教学中大多数都是教师进行变式的准备，学生被动地接受. 但是，通过本次课堂上的尝试，学生的变式选择和辨析，的确让学生真正地从思维上动起来了.