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初中阶段的平面几何学习在我心中留下了美好的印象，它困难而美丽，特别是千姿百态的辅助线赋予它的变化与神奇令我刻骨铭心！“一桥飞架南北，天堑变通途”，“给我一个支点，我可以撬动地球”，“你就像冥冥之中的那双手，将我和他串联”，都说明了辅助线的巨大作用。但图形的运动（如平移、旋转与翻折等）带来的辅助与变换却是我在自己的初中时代没有接触过的。很幸运，2013年4月的某一天，我听到了题为《基本的图形运动》的公开课。
本节课是初三复习课，授课教师将能力目标定位为“进一步提高想象能力、探究能力，进一步掌握分类讨论、类比、由一般到特殊、由直觉猜想到直觉论证等思想方法。”（个人认为调整为下面的叙述更好一些：进一步通过提高想象能力而提升探究能力，进一步领会演绎、归纳、类比的推理思路及分类讨论的思想方法。）本节课结构清晰，共分三个环节。首先师生共同回顾三种基本图形运动的概念及特点，然后进入知识的应用环节，教师以题目为载体呈现了两种类型的应用：1.由静生动，形移数集中（题目未给出图形的运动，解题者通过局部图形的平移、旋转或翻折在实现图形移位的同时实现了题目中相关数量关系的集中）；2.由动思静，紧抓不变量（题目已给出图形的运动，解题者需紧紧抓住不变量，通过寻找基本图形，借助三角、方程等方法求解）。“呈现情境、分析方法、提炼思想”是教者在分析每一道题目时的有效做法。在本节课的第三环节，教师对“图形的运动”问题进行了简短的小结，简明而到位。下面结合自己对图形的认识谈一下授课老师这节课给我留下最深刻印象的部分。
我认为图形的生命在于两点：位置与数量。图形的运动或变换是体现其“位置”特色的一个方面，“位置”特色还体现在图形的集中与分离，即形与形的结合。一方面是把基本图形放入复杂图形，体现了一形多用，如很多题目中都含有边长为3、4、5的直角三角形；另一方面是从复杂图形中提取出基本图形，如等腰三角形、直角三角形、边长可用字母表示出来的普通三角形等。图形的“数量”特色体现在形与数的结合。首先线段有长度，这一点非常显而易见却是催生未知数与方程思想的前提，也很容易被学生所忽略。其次，借助直角三角形中的三角比、设未知数列方程等手段更加充分地说明了代数手法对求解几何问题的重要作用。其实，史上最能体现形与数结合的莫过于笛卡尔创立的解析几何了，坐标的引入为几何图形插上了更加雄美的翅膀。基于上述认识，我们可以发现，授课老师对图形的处理及对代数手法的运用都非常充分且恰到好处！
本节课的弱点也是非常明显的，就是教师对学生思维及参与课堂积极性的调动还缺乏有效的手段。实际上，教师的节奏稍慢下来，就可以改变这种局面。本节课，学生在教师很快的教学节奏下只有紧跟不舍，根本没有书写与回味的机会，这从下课后学生的学案上仍是一片空白就可看出。建议教师要在以下三个方面为学生留白：一是留时间空白，让学生画图与吸收；二是留解法空白，让学生思考与交流；三是留语言空白，让学生回味与总结。当然，容量与时间的矛盾也为这些做法的实施带来了困难。
王老师在评课时提出了这样的问题：在有限的一节数学课中，是面面俱到的大容量、快节奏、多线条的教学方式好，还是攻其一隅、讲练彻底、单线条有序纵深推进的教学方式好？就本节课来讲，是平移、旋转、翻折三种运动都研究，还是集中研究其中一种运动好？上述“王老师之问”实际上也是数学教师在数学课堂教学中普遍存在的困惑。
作为初三第二学期后阶段的专题复习课，考虑到自己任教班级学生具体的能力情况，授课教师期望在一节课中通过典型例题让学生掌握处理图形运动问题的基本思路与策略，基于“比较出真知、比较分优劣、比较见真伪”的想法，融三种基本的图形运动于一课的做法是恰当的。事实上，三种基本的图形运动的分类介绍在早些的复习中已经完成，若在后阶段的复习中还是分三课时完成，一则时间战线拉得过长，影响了复习进程；二则也不利于通过三种图形运动的比较而实现学生对知识掌握的系统化，从而“面对具体的综合的问题灵活选择相应的合适的求解策略”的目标就不会实现。但教师在一节课中通过五道题（其中两道中等题，三道难题）来组织教学的做法却颇值得商榷。“量多难度大”的题目现状带来的课堂现象是：教师不停地讲，学生使劲地追！教师既想把准备的题目都讲完，又想在讲每一道题目时展示出不同的解法，此时题目的难度就成了横在教师与学生面前的最大障碍：教师剖析好一道難题需要时间，学生读题、画图、理思路需要时间，但一节课的时间是有限的。当然，在本节课中，图形几乎完全由教师代劳，学生只需跟着教师通过黑板上的图形理解题意，然而没等学生思考，教师的讲解就已经开始了，于是，学生就只有被动地听。
要解决好“王老师之问”，有两点认识必须明确：课堂教学要教给学生什么？学生如何才能在课堂上学会这些？即“教什么”与“如何学会”的问题。很显然，“教方法”应该成为每一位数学教师的共识，而领会方法、学会应用应是学生在课堂上亲自完成的事情。请注意这儿的“亲自”二字，任何知识或方法的内化若无学生对解题过程的亲身经历是实现不了的！教师应在牢牢把握好上述两点认识的基础上设计并组织教学，时刻要注意做好自身的定位，努力控制自己的讲课欲望，牢记讲得精彩不如学得实在，只有这样才能在课堂上营造生生争论、群情激愤的思维碰撞场景，让每一道携带经典方法的精选习题在学生心中留下深刻的印象，在今后解题时成为他们赖以依靠的回忆。
“王老师之问”没有标准答案，关于它的实践与争论仍将继续。而坚持“以生为本”，懂得“舍、得”之道，是回答好它的两个认识论意义下的前提。
本节课是初三复习课，授课教师将能力目标定位为“进一步提高想象能力、探究能力，进一步掌握分类讨论、类比、由一般到特殊、由直觉猜想到直觉论证等思想方法。”（个人认为调整为下面的叙述更好一些：进一步通过提高想象能力而提升探究能力，进一步领会演绎、归纳、类比的推理思路及分类讨论的思想方法。）本节课结构清晰，共分三个环节。首先师生共同回顾三种基本图形运动的概念及特点，然后进入知识的应用环节，教师以题目为载体呈现了两种类型的应用：1.由静生动，形移数集中（题目未给出图形的运动，解题者通过局部图形的平移、旋转或翻折在实现图形移位的同时实现了题目中相关数量关系的集中）；2.由动思静，紧抓不变量（题目已给出图形的运动，解题者需紧紧抓住不变量，通过寻找基本图形，借助三角、方程等方法求解）。“呈现情境、分析方法、提炼思想”是教者在分析每一道题目时的有效做法。在本节课的第三环节，教师对“图形的运动”问题进行了简短的小结，简明而到位。下面结合自己对图形的认识谈一下授课老师这节课给我留下最深刻印象的部分。
我认为图形的生命在于两点：位置与数量。图形的运动或变换是体现其“位置”特色的一个方面，“位置”特色还体现在图形的集中与分离，即形与形的结合。一方面是把基本图形放入复杂图形，体现了一形多用，如很多题目中都含有边长为3、4、5的直角三角形；另一方面是从复杂图形中提取出基本图形，如等腰三角形、直角三角形、边长可用字母表示出来的普通三角形等。图形的“数量”特色体现在形与数的结合。首先线段有长度，这一点非常显而易见却是催生未知数与方程思想的前提，也很容易被学生所忽略。其次，借助直角三角形中的三角比、设未知数列方程等手段更加充分地说明了代数手法对求解几何问题的重要作用。其实，史上最能体现形与数结合的莫过于笛卡尔创立的解析几何了，坐标的引入为几何图形插上了更加雄美的翅膀。基于上述认识，我们可以发现，授课老师对图形的处理及对代数手法的运用都非常充分且恰到好处！
本节课的弱点也是非常明显的，就是教师对学生思维及参与课堂积极性的调动还缺乏有效的手段。实际上，教师的节奏稍慢下来，就可以改变这种局面。本节课，学生在教师很快的教学节奏下只有紧跟不舍，根本没有书写与回味的机会，这从下课后学生的学案上仍是一片空白就可看出。建议教师要在以下三个方面为学生留白：一是留时间空白，让学生画图与吸收；二是留解法空白，让学生思考与交流；三是留语言空白，让学生回味与总结。当然，容量与时间的矛盾也为这些做法的实施带来了困难。
王老师在评课时提出了这样的问题：在有限的一节数学课中，是面面俱到的大容量、快节奏、多线条的教学方式好，还是攻其一隅、讲练彻底、单线条有序纵深推进的教学方式好？就本节课来讲，是平移、旋转、翻折三种运动都研究，还是集中研究其中一种运动好？上述“王老师之问”实际上也是数学教师在数学课堂教学中普遍存在的困惑。
作为初三第二学期后阶段的专题复习课，考虑到自己任教班级学生具体的能力情况，授课教师期望在一节课中通过典型例题让学生掌握处理图形运动问题的基本思路与策略，基于“比较出真知、比较分优劣、比较见真伪”的想法，融三种基本的图形运动于一课的做法是恰当的。事实上，三种基本的图形运动的分类介绍在早些的复习中已经完成，若在后阶段的复习中还是分三课时完成，一则时间战线拉得过长，影响了复习进程；二则也不利于通过三种图形运动的比较而实现学生对知识掌握的系统化，从而“面对具体的综合的问题灵活选择相应的合适的求解策略”的目标就不会实现。但教师在一节课中通过五道题（其中两道中等题，三道难题）来组织教学的做法却颇值得商榷。“量多难度大”的题目现状带来的课堂现象是：教师不停地讲，学生使劲地追！教师既想把准备的题目都讲完，又想在讲每一道题目时展示出不同的解法，此时题目的难度就成了横在教师与学生面前的最大障碍：教师剖析好一道難题需要时间，学生读题、画图、理思路需要时间，但一节课的时间是有限的。当然，在本节课中，图形几乎完全由教师代劳，学生只需跟着教师通过黑板上的图形理解题意，然而没等学生思考，教师的讲解就已经开始了，于是，学生就只有被动地听。
要解决好“王老师之问”，有两点认识必须明确：课堂教学要教给学生什么？学生如何才能在课堂上学会这些？即“教什么”与“如何学会”的问题。很显然，“教方法”应该成为每一位数学教师的共识，而领会方法、学会应用应是学生在课堂上亲自完成的事情。请注意这儿的“亲自”二字，任何知识或方法的内化若无学生对解题过程的亲身经历是实现不了的！教师应在牢牢把握好上述两点认识的基础上设计并组织教学，时刻要注意做好自身的定位，努力控制自己的讲课欲望，牢记讲得精彩不如学得实在，只有这样才能在课堂上营造生生争论、群情激愤的思维碰撞场景，让每一道携带经典方法的精选习题在学生心中留下深刻的印象，在今后解题时成为他们赖以依靠的回忆。
“王老师之问”没有标准答案，关于它的实践与争论仍将继续。而坚持“以生为本”，懂得“舍、得”之道，是回答好它的两个认识论意义下的前提。