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运算能力是学生在进行课程学习中应具备的数学核心素养之一，它是促进学生发展的重要方面。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，需求合理简洁的运算途径解决问题。”由此可见，判断一个学生的运算能力如何，不仅仅看他是否运算正确，还要看他对算理的理解，以及是否会选择合理简洁的运算途径。下面以《异分母分数加减法》为例，对小学生运算能力的培养进行探讨。
片段一：
师： 等于多少？可以动手操作大小一样的圆片学具，也可以运用学过的知识来解决。
学生独立操作或试算。
师：谁来汇报一下你是怎样想的？
生1：我用圆片学具来拼，结果是 。（生在投影仪上拼： ）
师：在图中，你还能看到 这个算式中的哪个分数？另外一个呢？变成多少？
生1：（指）这是 。另外一个 变成了 ，所以合起来是 。
师：用圆片学具操作的同学，你们拼出的结果是这样吗？（生同意）我们用学具操作，结果看到有3个 ，就是 。
师：还有其他的方法吗？
生2：我先把 和 进行通分， 等于 ， 等于 ，所以 加 等于 。
师：为什么要通分？
生2：因为分数单位不同，不能直接相加。
师：有没有同学把通分这种思路用等式表示出来？
生3：我是这样写的： = = 。
师指着图 ，追问：如果不拼，怎样在图中画一画，让大家看到 ？
生4：把左边那个圆平均分成4份，也就是横着画一笔， 就变成了 。
师：这个动作实际上就是在干什么？
生齐答：通分。
师：对。刚才用圆片操作，或者是通过通分进行计算，目的都是一样，都是把 转化成 ，再和 直接相加。分数单位相同就能直接相加。
生5：我还有一种方法，把分数转化成小数来计算。也就是 =0.5 0.25=0.75= 。
师：这位同学用了小数加法的知识來解决新问题非常好。在进行小数加减法时，也要计数单位相同才能直接相加减。同学们真厉害，用了不同的方法去解决异分母分数加法，这些方法有什么共同的地方？
生6：相同计数单位上的数才能直接相加。
生7：把新知识转化为旧知识来解决。
……
片段二：
师：用你喜欢的方法来计算 和 。
学生独立计算，汇报订正（略）。
师：刚才你们想到了那么多种方法，为什么都用通分的方法来计算？
生1：用画图折纸的方法很难平均分成3份、6份或9份。
生2：有些分数不能化成有限小数。
生3：我觉得在计算异分母分数加法时，用通分的方法最好，变成同分母分数加法，分数单位相同了就能直接相加。
师：看来大家都有同感，计算异分母分数加法时，一般先通分，转化为同分母分数加法，也就是使分数单位统一，再计算。如果我出异分母分数减法的题目给你们，会不会算？
生纷纷答到：会，先通分，再计算。
……
片段三：
师：下面检查一下自己对这节课的内容是否真的懂，有信心吗？看图填空。（两道题，异分母分数加法和减法各一道，计算的每一步都有图和对应要填的式子。）
师指着中间通分的那一步，追问：这里用了什么知识？为什么？
生1：用了通分的知识，使分数单位相同。
师：对，分数单位相同，才能直接相加减。下面看谁能把这些题算准确，做的时候想一想，除了刚才的方法外，还有没有其他的方法？
1- -
师指着“1- ”问：在三年级计算1减几分之几时，我们都是根据减数的分母把1化成相应的分数，这实际上是用了什么知识？
生2：其实就是通分。
师：对，用现在的知识来解释就是通分，目的是使分数单位相同。你们在计算 “ - ”这题时，除了用通分的知识，还有没有其他的知识来解决？
生3：我是用约分， - = - = = 。
其他同学纷纷点头称赞。
师：这题用约分也能使分数单位相同。你们怎么填“ ”？
生4：我填5，同分母分数加法，等于 。
生5：我填3，等于 。
师追问：这是异分母分数加法，能直接相加吗？
生5：不能，要先通分再计算。
师：同分母分数可以直接相加减，异分母分数要先通分，再相加减。
……
一、借多元表征理解算理，培养运算能力
在计算教学的前测中，普遍存在有部分学生知道怎样做，但没几个知道为什么可以这样做，说明了算理既是计算教学的重点，也是难点。如何让学生对“算理”这个新知识的理解，根据布鲁纳、莱什的表征理论，可以借用表征进行数学学习，有助于提升学生学习的深度和广度。在片段一中，教师引导学生进行了两个层次的学习。先是学生自主运用多元表征初悟算理，如，动作表征（生1的拼圆片操作）、语义表征（生2的口述过程）、符号表征（生3和生5把思考过程用等式表达出来）。学生不同的思维方式会选择不同的表征，但要多角度去深入理解，还需要教师适时介入，帮助学生会转化各种表征，并在不同的表征之间建立广泛的联系。因此展开了更深层次的学习，启发学生沟通不同表征深悟算理。例如，通过设问“有没有同学把通分这种思路用等式表示出来”，引导语义表征的学生学会用符号表征。又例如，通过追问“如果不拼，怎样在图中画一画，让大家看到 ”数形结合帮助学生沟通算理算法，以达到循“理”入“法”，以“理”驭“法”。最后通过反思“这些方法有什么共同的地方”，有效沟通了整数、小数、同分母分数加减法都是“相同单位的数才能相加、减”这一内在算理，初步形成知识链，培养学生的运算能力。
二、借自我体验合理选择，培养运算能力
建构主义认为世界是客观存在的，但是对于世界的理解和赋予意义却是由每个人自己决定的。因此，学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。在探索“ ”计算方法的过程中，学生根据自己的思维方式呈现了多种算法，其中“通分”的方法具有普适性，但如果要求学生生搬硬造统一用“通分”法，学生不仅被动接受知识，打击学习积极性，还会影响对知识的理解。片段二中，教师设计了“用你喜欢的方法来计算 和 ”的学习情境，让学生在活动中对自己“创造”的方法进行判断、选择，从而体验出把分数化成小数或折纸、画图等方法的局限性，感受到“先通分，再计算”的普适性。再通过教师的追问“刚才你们想到了那么多种方法，为什么都用通分的方法来计算”，推动学生再次回顾从“寻求”到“合理简洁”的“运算途径”，从而培养学生的运算能力。
三、借分层内化促进正确，培养运算能力
有效的练习能提高学生运算的正确率。在片段三中，教师设计的“看图填空”，利用数形结合，通过在反馈时的追问“用了什么知识？为什么？”，促使学生对异分母分数加减法“先通分再计算”道理的再次理解，为正确计算打好基础。第二题的五道计算，既有新知，又有旧知。在反馈“1- ”时，教师的设问“在三年级计算1减几分之几时，我们都是根据减数的分母把1化成相应的分数，这实际上是用了什么知识”，帮助学生进行知识的同化。在反馈“ - ”时，通过追问“除了用通分的知识，还有没有其他的知识来解决”，让学生知道要使计数单位相同，不一定通分，特殊情况还可以约分，这主要是考虑到以后的混合运算中有可能会出现这种情况，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。“ ”是开放性题目，目的再次强调同分母分数和异分母分数加减法算法上的区别。这五道计算题各有各的功能，帮助学生对算法的内化，渗透计算技巧，为正确计算夯实基础，从而培养学生的运算能力。
片段一：
师： 等于多少？可以动手操作大小一样的圆片学具，也可以运用学过的知识来解决。
学生独立操作或试算。
师：谁来汇报一下你是怎样想的？
生1：我用圆片学具来拼，结果是 。（生在投影仪上拼： ）
师：在图中，你还能看到 这个算式中的哪个分数？另外一个呢？变成多少？
生1：（指）这是 。另外一个 变成了 ，所以合起来是 。
师：用圆片学具操作的同学，你们拼出的结果是这样吗？（生同意）我们用学具操作，结果看到有3个 ，就是 。
师：还有其他的方法吗？
生2：我先把 和 进行通分， 等于 ， 等于 ，所以 加 等于 。
师：为什么要通分？
生2：因为分数单位不同，不能直接相加。
师：有没有同学把通分这种思路用等式表示出来？
生3：我是这样写的： = = 。
师指着图 ，追问：如果不拼，怎样在图中画一画，让大家看到 ？
生4：把左边那个圆平均分成4份，也就是横着画一笔， 就变成了 。
师：这个动作实际上就是在干什么？
生齐答：通分。
师：对。刚才用圆片操作，或者是通过通分进行计算，目的都是一样，都是把 转化成 ，再和 直接相加。分数单位相同就能直接相加。
生5：我还有一种方法，把分数转化成小数来计算。也就是 =0.5 0.25=0.75= 。
师：这位同学用了小数加法的知识來解决新问题非常好。在进行小数加减法时，也要计数单位相同才能直接相加减。同学们真厉害，用了不同的方法去解决异分母分数加法，这些方法有什么共同的地方？
生6：相同计数单位上的数才能直接相加。
生7：把新知识转化为旧知识来解决。
……
片段二：
师：用你喜欢的方法来计算 和 。
学生独立计算，汇报订正（略）。
师：刚才你们想到了那么多种方法，为什么都用通分的方法来计算？
生1：用画图折纸的方法很难平均分成3份、6份或9份。
生2：有些分数不能化成有限小数。
生3：我觉得在计算异分母分数加法时，用通分的方法最好，变成同分母分数加法，分数单位相同了就能直接相加。
师：看来大家都有同感，计算异分母分数加法时，一般先通分，转化为同分母分数加法，也就是使分数单位统一，再计算。如果我出异分母分数减法的题目给你们，会不会算？
生纷纷答到：会，先通分，再计算。
……
片段三：
师：下面检查一下自己对这节课的内容是否真的懂，有信心吗？看图填空。（两道题，异分母分数加法和减法各一道，计算的每一步都有图和对应要填的式子。）
师指着中间通分的那一步，追问：这里用了什么知识？为什么？
生1：用了通分的知识，使分数单位相同。
师：对，分数单位相同，才能直接相加减。下面看谁能把这些题算准确，做的时候想一想，除了刚才的方法外，还有没有其他的方法？
1- -
师指着“1- ”问：在三年级计算1减几分之几时，我们都是根据减数的分母把1化成相应的分数，这实际上是用了什么知识？
生2：其实就是通分。
师：对，用现在的知识来解释就是通分，目的是使分数单位相同。你们在计算 “ - ”这题时，除了用通分的知识，还有没有其他的知识来解决？
生3：我是用约分， - = - = = 。
其他同学纷纷点头称赞。
师：这题用约分也能使分数单位相同。你们怎么填“ ”？
生4：我填5，同分母分数加法，等于 。
生5：我填3，等于 。
师追问：这是异分母分数加法，能直接相加吗？
生5：不能，要先通分再计算。
师：同分母分数可以直接相加减，异分母分数要先通分，再相加减。
……
一、借多元表征理解算理，培养运算能力
在计算教学的前测中，普遍存在有部分学生知道怎样做，但没几个知道为什么可以这样做，说明了算理既是计算教学的重点，也是难点。如何让学生对“算理”这个新知识的理解，根据布鲁纳、莱什的表征理论，可以借用表征进行数学学习，有助于提升学生学习的深度和广度。在片段一中，教师引导学生进行了两个层次的学习。先是学生自主运用多元表征初悟算理，如，动作表征（生1的拼圆片操作）、语义表征（生2的口述过程）、符号表征（生3和生5把思考过程用等式表达出来）。学生不同的思维方式会选择不同的表征，但要多角度去深入理解，还需要教师适时介入，帮助学生会转化各种表征，并在不同的表征之间建立广泛的联系。因此展开了更深层次的学习，启发学生沟通不同表征深悟算理。例如，通过设问“有没有同学把通分这种思路用等式表示出来”，引导语义表征的学生学会用符号表征。又例如，通过追问“如果不拼，怎样在图中画一画，让大家看到 ”数形结合帮助学生沟通算理算法，以达到循“理”入“法”，以“理”驭“法”。最后通过反思“这些方法有什么共同的地方”，有效沟通了整数、小数、同分母分数加减法都是“相同单位的数才能相加、减”这一内在算理，初步形成知识链，培养学生的运算能力。
二、借自我体验合理选择，培养运算能力
建构主义认为世界是客观存在的，但是对于世界的理解和赋予意义却是由每个人自己决定的。因此，学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。在探索“ ”计算方法的过程中，学生根据自己的思维方式呈现了多种算法，其中“通分”的方法具有普适性，但如果要求学生生搬硬造统一用“通分”法，学生不仅被动接受知识，打击学习积极性，还会影响对知识的理解。片段二中，教师设计了“用你喜欢的方法来计算 和 ”的学习情境，让学生在活动中对自己“创造”的方法进行判断、选择，从而体验出把分数化成小数或折纸、画图等方法的局限性，感受到“先通分，再计算”的普适性。再通过教师的追问“刚才你们想到了那么多种方法，为什么都用通分的方法来计算”，推动学生再次回顾从“寻求”到“合理简洁”的“运算途径”，从而培养学生的运算能力。
三、借分层内化促进正确，培养运算能力
有效的练习能提高学生运算的正确率。在片段三中，教师设计的“看图填空”，利用数形结合，通过在反馈时的追问“用了什么知识？为什么？”，促使学生对异分母分数加减法“先通分再计算”道理的再次理解，为正确计算打好基础。第二题的五道计算，既有新知，又有旧知。在反馈“1- ”时，教师的设问“在三年级计算1减几分之几时，我们都是根据减数的分母把1化成相应的分数，这实际上是用了什么知识”，帮助学生进行知识的同化。在反馈“ - ”时，通过追问“除了用通分的知识，还有没有其他的知识来解决”，让学生知道要使计数单位相同，不一定通分，特殊情况还可以约分，这主要是考虑到以后的混合运算中有可能会出现这种情况，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。“ ”是开放性题目，目的再次强调同分母分数和异分母分数加减法算法上的区别。这五道计算题各有各的功能，帮助学生对算法的内化，渗透计算技巧，为正确计算夯实基础，从而培养学生的运算能力。