二次函数是初中代数的重点，也是难点。而二次函数的应用又是近年来中考命题的焦点。它主要以函数知识作为载体，针对社会的热点，贴近学生的生活实际设计具有时代性、创新性、开放性的问题。探索性问题、规划问题、方案、决策问题，现举例如下：
　　
　　
　　例1：(2005怀化)如图1，我们学校要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，点O恰在水面中心，OA=3米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度4米。
　　(1)你能否写出柱子OA右侧喷水形状的解析式？
　　(2)如果不计其他因素，那么水池的半径至
　　少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？
　　分析：(1)建立直角坐标系，用顶点式确立抛物线解析式。
　　(2)结合图形，使解析式y的值等于0。
　　
　　
　　解：(1)如图2，建立直角坐标系，由题意可知抛物线
　　的顶点为(1，4)，所以可设抛物线的解析式为
　　y = a(1－x)²＋4
　　又∵抛物线过点(0，3)
　　∴所求抛物线的解析式为y=－(x－1)²＋4(0≤x≤3)
　　(2) ∵点C在X轴的正半轴上，
　　∴O=－(x－1)²＋4
　　解得：x1=3，x2=－1(舍去)
　　∴水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不落到池外。
　　点评：在实际问题中如何建立直角坐标系，将实际问题转化为二次函数模型。
　　
　　
　　例2：(2004泸州)如图3，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y米² 。
　　(1)求y与x的函数关系式。
　　(2)要围成面积为45米²的花圃，AB长为多少？
　　(3)能围成比面积为45米²大的花圃吗？如果能，求出最大面积。
　　分析：(1)长方形面积=长×宽。
　　(2)只要将y用45代替，解方程即可求AB。
　　(3)求最值的问题，要习惯与图像结合起来分析问题。
　　解：(1)y=x(24－3x)=－3x²＋24x(14/3≤x＜8)
　　(2)由－3x²＋24x=45，解得：x1=5，x²=3(舍去)
　　(3)如图可知，当x=14/3时,可得最大面积为46使实际问题有意义。
　　点评：二次函数中求最值问题时，要结合图形来确立自变量的取值范围，使实际问题有意义。
　　例3：(2004吉林)如图4，已知抛物线y=x²－ax＋a＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0，8)，直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连结PQ、CB。设点P的运动时间为t秒。
　　
　　
　　(1)求a的值。
　　(2)当t为何值时，PQ平行于y轴。
　　(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值。
　　分析：(1)由抛物线上点D的坐标可求出a的值。
　　(2)利用PD=OQ，求出t的值。
　　(3)根据梯形的面积建立方程求解。
　　解：(1)∵D(0，8)在抛物线y=x²－ax＋a＋2上，
　　∴a＋2=8，∴a=6
　　(2)当a=6时，抛物线解析式为y=x²－6x＋8
　　当y=8时，x²－6x＋8=8
　　∴x1=0，x2=6，∴C(6，8)。
　　当y=0时,x²－6x＋8=0,∴x1=2，x2=4，∴A(2，0)，B(4，0)。
　　∵CP=2t，AQ=t，∴P(6－2t，8)，Q(2＋t，0)
　　由6－2t=2＋t，得t=4/3，即t=4/3秒時，PQ平行于y轴。
　　(3)SPQBC= (4－2－t＋2t)×8=4t＋8
　　由4t＋8=14，得t =3/2
　　∴当t=3/2秒时，四边形PQBC的面积等于14。
　　点评：本题是几何与函数的综合问题。难度大，解决此类题的关键是一要认真读图，从图形中获取信息，即数形结合。二要抓住的思想，找到等量式或函数式。
　　
　　(作者单位：418000湖南省怀化市实验学校)
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。