知识的学习有很多途径，不同的学生在学习时有着不同的学习起点、迥异的思维过程，所以他们经历了同样的学习环节之后，对知识的理解和领悟也可能是千差万别的。鉴于此，在实际教学中教师不能仅仅关注学习内容本身，以内容和体系来决定课堂教学，而是要进行细致的学习路径分析，针对学生的学习现状作一个全面的梳理，预设好学生学习的环节，并关注学生学习的过程，尽量让他们的学习过程丰盈起来，从而提升学生的学习效果。
　　一、突出学生主体地位，让学习更充分
　　教师在预设课堂教学的时候要从几个不同的角度来作出预设，包括对课程内容的把握，对学生已有基础的把握等等。之所以要将学生的知识基础纳入备课的环节，其出发点就是尊重学生，尊重学生在课堂学习中的主体地位。试想一下，如果教师的教学着眼点只在知识本身，那么课堂教学必定是照本宣科，这样的学习会忽略学生的已有知识经验和学生的主体感受，从而失去了知识建构的过程，起不到提升学生思维的作用。从这个角度来看，在教学中做好学习路径分析工作，可以突出学生学习的主体性，充分尊重学生的认知规律，让学生的学习更加丰富、更加多元。
　　例如，在《用数对确定位置》的教学中，我首先创设一个大头儿子向小头爸爸介绍自己在教室中的位置的情境，让学生根据教师提供的情境图，用自己的方法表示出大头儿子的位置，然后引导学生交流自己的表示方法。在学生竞相走上讲台展示自己的表示方法之后，大家发现这些方法五花八门，其中有些还难以理解，但是在展示学生的解释之下，大家勉强可以接受这些方法。在这个环节之后，我组织学生来比较这些不同的确定位置的方法。学生提出，一个根本的矛盾就是在表示位置的时候，有的学生是从坐在位置上的角度来描述的，有的学生是站在讲台上来确定位置的，发现这个矛盾之后，我引导大家聚焦在确定位置时的第一个矛盾：观察角度不统一怎么办？并和学生一起确定了“站在观察者位置”的前提，之后我们一起筛选出一些站在观察者位置来定位的方法，发现有的学生先确定左右，有的学生先确定前后，而且左右和前后的名称也比较乱，用行、用列、用排、用组的都有。因此，第二个工作就是统一名称。之后再引导学生统一了方法，即先列后行，这样学生对于确定位置的方法就没有什么疑问了。在化解了这些矛盾之后，我再提出进一步要求：能不能使位置的表述方法更简单些？学生根据自己的想法给出了不同的简写方法，这些方法大同小异，在最后揭示了数对之后，学生不仅对数对表示的含义深有体会，对于为什么用数对表示位置也有了独到的认识。
　　在这个学习案例中，学生的主体性被充分体现出来，教师借助情境让学生先去尝试，用各种各样的方法表示出同一个位置，然后在交流中教师推动学生体会到这些表示方法太杂乱，需要统一方法、统一标准，沿着这样的主线，学生对数对的作用和数对的含义就有了深入的认识，这样的建构过程带给学生的不仅仅是知识，还有数学的思维过程。
　　二、推动学生课堂交流，让思维有进展
　　推动学生思维能力的提升是数学教学的重要目标。在实际教学中，只有通过学习路径分析，关注学生学习的过程，学生才能在尝试、观察、对比和交流的过程中有更深入的体会，收获知识以外的东西。从这个角度出发，在实际教学中教师要引导学生将自己内心真实的想法表达出来，并通过交流促成学生思维的共鸣，让学生从别人的想法中得到启发，增长一定的学习经验，开阔数学视野。
　　例如，在《用字母表示数》的教学中，笔者创设出一個找座位与桌子数关系的情境（如上图），让学生先通过列表得出几组数据，再想办法用字母表示出桌子数，并用含有字母的式子表示出座位数。在交流过程中，学生展示出不同的想法：有学生从数据出发，发现每一幅图都比前一幅图的座位数多了4，所以他们用6+4×（a-1）来表示座位数;有学生发现每张桌子都应该有6个座位，只是在桌子和桌子相接处少了座位，所以可以用6a-2×（a-1）来表示;还有学生发现每增加一张桌子其实就增加上下两面的4个座位，如果将第一张桌子也看成4+2，那么每幅图中左右两边是2个座位，可以用2+4a来表示。在学生交流之后，我引导他们用学习过的相关运算律将不同的表示方法化简，学生发现尽管思路不同，但是最后呈现的结果相同，都和最后一个式子是一致的。经过这样的比较，大家发现尽管不同的思路都有依据，有不同的思维切入点，但是显然最后一种方法是最巧妙的，也最容易理解，所以在经历了这样的思考和交流之后有了更多的体会，有学生就总结;在用字母表示数的时候，需要结合图示来发现规律，而不是单纯地进行数据分析。
　　我想，这样的学习过程带给学生的不仅是单个问题的解决，还带给学生有效的学习经验，这些经验也会在今后的学习中起到作用。从这个案例可以看出，在数学教学中教师需要进行学习路径分析，要立足学生学习基础的不同和思维能力的差异来组织教学，让学生经历真实的丰富的学习过程，有自己的发现，有自己的理解，这样才能让学生真正学有所得，推动学生思维能力的提升。
　　三、突出学生不同表征方式，促进知识的内化
　　学生对于相同事物或者规律的不同表征方法凸显了学生的真实思维状态，体现了学生内在的想法。在数学教学中，我们要提供给学生充足的机会让学生去做出不同的表征，并引导学生进行展示和交流，在这样的过程中让学生将真实的想法表示出来，并提炼出重点，促进学生知识的内化。其实接触同样的知识，不同的学生有不同的理解，所以他们在概念或者规律的表征中必然会有着自己的想法，教师就是要善于抓住这些不同表征来教学。
　　例如，在《认识三角形》的教学中，有一个关于三角形的高的知识点，我在教学时给了学生几个例图，然后演示了三角形的高，并揭示了三角形高的概念：从一个顶点向对边画出的垂直线段是三角形的高。在学生建立了初步的高的概念之后，我将问题作了一些变化，先是改变了三角形的底，另外确定一条边为三角形的底，让学生指出三角形的高，然后将三角形旋转一个角度，使得原先垂直位置的高倾斜一定的角度，再请学生找出三角形的高。每个环节我都请不同的学生展示，将其中有代表性的问题凸显出来引发学生的交流。经过这样几个环节的学习，我再组织学生说一说什么是三角形的高，学生就突破了原先认为的三角形的高都是竖直位置的想法，知道了三角形的每一条边都可以作为底，所以三角形有三条底，有三条高，并且这些底和高是一一对应的，在确定三角形的高的时候，只需要确定这一条线是不是从三角形的一个顶点出发，并与对边垂直就可以了。这样的认识帮助学生深化了对三角形高的理解，让学生准确把握了概念。
　　总之，学习路径的分析对于学生的实际学习有着重要的意义，教师在教学过程中要立足学生学习基础的差异、学习经验的不同和学习能力的差异来组织教学，要让学生经过不同的学习路径，体会更多，领悟更多，收获更多，从而提升学生的数学学习效果。
　　（作者单位：江苏省南通经济技术开发区实验小学）
　　（责任编辑 张妤）