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【摘要】绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念,在学习如何解含绝对值不等式时,有的同学被各种各样的方法弄得无所适从． 解含绝对值不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,而后,其解法与一般不等式的解法相同. 因此,掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键．本文通过例子谈谈含绝对值不等式的几种常见解法．
【关键词】例谈 数学思想 绝对值不等式 解法
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-8585(2011)05-0-04
对含有绝对值特别是含有两个或两个以上绝对值不等式的题目,学生常感到难做、且易错.其实,解决此类问题,还是有规律可循的. 现试举例谈谈绝对值不等式的几种常用解法.
1 引言
要掌握“含绝对值不等式的解法”,掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键．如何才能去掉绝对值符号呢？首先要理解实数的绝对值的概念和性质,还要理解和掌握绝对值不等式的基本性质．关于实数的绝对值的概念和性质以及绝对值不等式的基本性质,我们容易得到以下结论:
(1)若x∈R,则有:;
(2)若x∈R,则有:;
(3)若x, a∈R,且a>0, 则有:1)|x| 即不等式的解集是;
2)|x|>ax2>a2x>a或x<-a;
即不等式的解集是
可推广为:
(4)若a,b∈R,则有:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
(5)若a,b∈R,则有:当a≥b时,|a-b|=|b-a|=a-b;
当a 即有口诀:无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值后,结果都是大减小．
(6)若a,b∈R,则有:|a-b|的几何意义是表示实(数)轴上点a与点b之间的
距离;|a|的几何意义:数轴上表示数a的点离开原点的距离
(7)推论:
(8)当
根据以上绝对值和绝对值不等式的性质,结合多年教学实践,我们归纳出下列关于含绝对值不等式的几种常用解法,分别是:平方法、公式法、定义法、零点分区间(段)法、几何法等.下面分别举例说明:
2 用“平方法”解含绝对值不等式
例1:解不等式
解:由于|x－1|≥0,|x+a|≥0,所以两边平方后有:
即有,整理得
当2a+2>0即a>－1时,不等式的解为;
当2a+2=0即a=-1时,不等式无解;
当2a+2<0即a<-1时,不等式的解为.
例2:解不等式
解:利用平方法,
原不等式可化为:两边平方得
解得,所以原不等式的解集为
例3:解不等式||x+3|-|x-3||>3.
解:(用平方法脱去绝对值符号)对原不等式两边平方,得
两边再平方得
∴原不等式的解集为.
例4:解不等式|x+1|>2-x.
解:(用平方法脱去绝对值符号)对原不等式两边平方,得
∴不等式的解为;
注意:上述对原不等式两边平方需要前提条件:x<2,所以得出结果后要检验．
检验:当x>2 时,即2-x<0 ,此时|x+1|>2-x 恒成立,
∴当x>2时不等式仍成立;
当x=2 时,得3>0即|x+1|>2-x恒成立,
∴当x=2时不等式仍成立;
综合上述,知不等式的解为.
[小结]解含有绝对值的不等式的关键是把含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式,然后再求解,但这种转化必须是等价转化,尤其是在用平方法去掉绝对值符号时,一定要注意两边非负这一条件,否则就会扩大或缩小解集的范围． 例如对上述例4作如下修改:解不等式|x+1|>x-2.我们仍用平方法解,对原不等式两边平方,得
此时,如果直接下结论说不等式的解为,就出错了．
事实上,经检验知:当x>2时,原不等式|x+1|>x-2成立;当x<2时,x-2<0,而0≤|x+1|,所以|x+1|>x-2成立;当x=2时,|x+1|>x-2显然成立．
综合上述,知不等式|x+1|>x-2的解集应为R(而不是)．
3 用“公式法”解含绝对值不等式
例5:解不等式.
解:原不等式等价于:或.
整理,得,或.
∴原不等式的解集是.
例6:解不等式1≤| 2x-1 | < 5.
分析:怎么转化？怎么去掉绝对值？
解法一:原不等式等价于
解①得:1≤x<3 ;解②得:-2 ∴原不等式的解集为 {x|-2 解法二:原不等式等价于1≤2x-1<5或-5<2x-1≤-1
即2≤2x<6 或-4<2x≤0.
解得 1≤x<3 或2 ∴原不等式的解集为{x|-2 小结:比较两种解法,第二种解法比较简单,在解法二中,去掉绝对值符号的依据是:
a≤| x |≤ba≤x≤b或a≤-x≤ba≤x≤b或-b≤x≤-a (b>a>0)．
例7:解不等式:|4x-3|>2x+1.
解:(用公式法)分析:把右边看成常数c,就同一样
∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1)x>2 或x<,
∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.
例8:解不等式｜x-x2-2｜>x2-3x-4;
解:分析:可按不等式性质公式来解.
原不等式等价于:
x-x2-2>x2-3x-4①
或x-x2-2<-(x2-3x-4) ②
解①得:1- 解②得:x>-3
故原不等式解集为｛x｜x>-3｝
[注意] ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜
而x2-x+2＝(x-)2+>0
所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4
解得:x>-3
∴原不等式解集为｛x>-3｝.
例9:解关于x的不等式.
解:原不等式化为:,在求解时由于a+1的正负不确定,需分情况讨论.
①当a+1≤0即a≤－1时,由于任何实数的绝对值非负,∴解集为.
②当a+1>0即a>－1时,不等式变为:－(a+1)<2x+3< a+1 =>< x <.
综上得:①
②
4 用“定义法”解含绝对值不等式
例10:解不等式:|4x-3|>2x+1.
解:分析:关键是去掉绝对值,用绝对值定义得
原不等式等价于,
即, ∴x>2或x<,
∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.
例11:用“定义法”来解上述例２:解不等式
解:利用绝对值的定义
原不等式等价于(I)或(II)
解(I)得
解(II)得
综合上述,原不等式的解集为.
5 用“零点分区间(段)法”解含绝对值不等式
所谓零点分区间(段)法是指:若数x1,x2,……,xn分别使含有|x－x1|,|x－x2|,……,|x－xn|的代数式中相应绝对值为零,称x1,x2,……,xn为相应绝对值的零点,零点x1,x2,……,xn将数轴分为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后求出分区间解集的并集作为所求的绝对值不等式的解．零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化.
例12:解不等式:|x-3|-|x+1|<1.
解:分析:关键是去掉绝对值．
用零点分区间(段)讨论法,绝对值|x-3|和|x+1|的零点分别是x=3和x=－1,它们将实轴分为三段:A=、B=和C=,
①在A中,即当时,
∴不等式变为:∴4<1,解集为
②在B中,即当时,
∴不等式变为:,
∴解集为
③在C中,即当时,
不等式变为:-4<1∴解集为
综合上述,原不等式的解集为上述①②③解集的并集,即
∴原不等式的解集为{x|x>}.
例13:用“零点分段法”解例２:解不等式.
解:分析:原不等式等价于．
用零点分段讨论法,绝对值|2x+1|和|2x-4|的零点分别是x=-和x=2,它们将实轴分为三段:
A=、B=和C=,
①在A中,即当时,
∴不等式变为:∴－5<0∴解集为
②在B中,即当时,
∴不等式变为:
∴解集为
③在C中,即当时,
不等式变为:5<0,解集为
综合上述,原不等式的解集为上述①②③解集的并集,即
∴原不等式的解集为.
例14:解不等式:| x+2 | + | x | >4.
解:分析:用零点分段讨论法 共有二个零点-2、0,将实轴分成三段:
①当x≤-2时,不等式化为-(x+2)-x>4即x<-3;
②当-2x即2>4.;
③当x≥0时,不等式化为x+2+x>4即x>1
综上,原不等式的解集为{x | x<-3或x>1}.
例15:解不等式|x-2|+|x+3|>5.
解:分析:用零点分段讨论法 共有二个零点-3、2,将实轴分成三段讨论:
当x≤-3时,原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3;
当-355>5,无解;
当x≥2时,原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.
综合上述得:原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝.
6 用“几何(数形结合)法”解含绝对值不等式
所谓“几何法”即利用绝对值的几何意义将不等式(代数知识)转化为几何知识来求解．
例16:解不等式|x-3|-|x+1|<1
解:分析:用“数形结合(几何)”法解.
从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点.
从上面示意图可看出,数轴上点到3和-1两点的距离之差等于1,所以容易知道:
当x>时,数轴上点x到3和-1两点的距离之差小于1,
∴原不等式的解集为{x|x>}.
例17:用“几何(图象)法”解例２:解不等式.
解:分析:原不等式等价于,即
在同一直角坐标系中分别画的图象(如下图):
由图可知,当时,,
∴原不等式的解集为.
例18:对任意实数x,若不等式|x+1|－|x－2|>k恒成立,求k的取值范围．
解:分析:要使|x+1|-|x-2|>k对任意实数x恒成立,只要|x+1|-|x-2|的最小值大于k．因|x+1|的几何意义为数轴上点x到－1的距离,|x-2|的几何意义为数轴上点x到2的距离,|x+1|-|x-2|的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差,其最小值可求．
根据绝对值的几何意义,设数x,－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B,则原不等式|x+1|-|x-2|>k变为:|PA|-|PB|>k.
∵|AB|=3,即对任意实数x,|x+1|-|x-2|≥-3,
即 |x+1|-|x－2|的最小值为-3,
故当k<-3时,原不等式恒成立,所以k的取值范围为:k<-3.
同理1:从形的方面考虑,要解不等式|x+2|+|x|>4,注意到|x+2|+|x|>4的解就是表示数轴上到-2和0两点的距离之和大于4的点
从数轴可以看出:取数轴上点1右边的点或取点-3左边的点到点-2、0的距离之和均大于4
∴原不等式的解集为 {x|x<-3或 x>1}.
同理2:从形的方面考虑,要求|x-1|+|x-2|的最小值,只要注意到:|x-1|+|x-2|的几何意义是:表示数轴上到1和2两点的距离之和．
从数轴容易看出:若x[1、2],则x到1和2两点的距离之和等于1是最小值;若x>2或x<1,x到1和2两点的距离之和均大于1,所以|x-1|+|x-2|的最小值为1.
总之,含绝对值不等式的解法是数学中很重要的内容,也是学生感到难学的一部分内容. 解含有绝对值的不等式的关键是把含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式,然后再求解,但这种转化必须是等价转化. 学生要学会灵活运用分类讨论思想、数形结合思想、等价转化与化归思想方法来处理绝对值不等式的问题．对数学思想的灵活应用,是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方向．
参考文献
[1]刘明星.例谈含绝对值不等式的解法.中学数学研究.2010,3.
[2]王正杰.例谈一类含绝对值不等式的解法.教育与教学研究.2008,1.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】例谈 数学思想 绝对值不等式 解法
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-8585(2011)05-0-04
对含有绝对值特别是含有两个或两个以上绝对值不等式的题目,学生常感到难做、且易错.其实,解决此类问题,还是有规律可循的. 现试举例谈谈绝对值不等式的几种常用解法.
1 引言
要掌握“含绝对值不等式的解法”,掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键．如何才能去掉绝对值符号呢？首先要理解实数的绝对值的概念和性质,还要理解和掌握绝对值不等式的基本性质．关于实数的绝对值的概念和性质以及绝对值不等式的基本性质,我们容易得到以下结论:
(1)若x∈R,则有:;
(2)若x∈R,则有:;
(3)若x, a∈R,且a>0, 则有:1)|x|
2)|x|>ax2>a2x>a或x<-a;
即不等式的解集是
可推广为:
(4)若a,b∈R,则有:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
(5)若a,b∈R,则有:当a≥b时,|a-b|=|b-a|=a-b;
当a
(6)若a,b∈R,则有:|a-b|的几何意义是表示实(数)轴上点a与点b之间的
距离;|a|的几何意义:数轴上表示数a的点离开原点的距离
(7)推论:
(8)当
根据以上绝对值和绝对值不等式的性质,结合多年教学实践,我们归纳出下列关于含绝对值不等式的几种常用解法,分别是:平方法、公式法、定义法、零点分区间(段)法、几何法等.下面分别举例说明:
2 用“平方法”解含绝对值不等式
例1:解不等式
解:由于|x－1|≥0,|x+a|≥0,所以两边平方后有:
即有,整理得
当2a+2>0即a>－1时,不等式的解为;
当2a+2=0即a=-1时,不等式无解;
当2a+2<0即a<-1时,不等式的解为.
例2:解不等式
解:利用平方法,
原不等式可化为:两边平方得
解得,所以原不等式的解集为
例3:解不等式||x+3|-|x-3||>3.
解:(用平方法脱去绝对值符号)对原不等式两边平方,得
两边再平方得
∴原不等式的解集为.
例4:解不等式|x+1|>2-x.
解:(用平方法脱去绝对值符号)对原不等式两边平方,得
∴不等式的解为;
注意:上述对原不等式两边平方需要前提条件:x<2,所以得出结果后要检验．
检验:当x>2 时,即2-x<0 ,此时|x+1|>2-x 恒成立,
∴当x>2时不等式仍成立;
当x=2 时,得3>0即|x+1|>2-x恒成立,
∴当x=2时不等式仍成立;
综合上述,知不等式的解为.
[小结]解含有绝对值的不等式的关键是把含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式,然后再求解,但这种转化必须是等价转化,尤其是在用平方法去掉绝对值符号时,一定要注意两边非负这一条件,否则就会扩大或缩小解集的范围． 例如对上述例4作如下修改:解不等式|x+1|>x-2.我们仍用平方法解,对原不等式两边平方,得
此时,如果直接下结论说不等式的解为,就出错了．
事实上,经检验知:当x>2时,原不等式|x+1|>x-2成立;当x<2时,x-2<0,而0≤|x+1|,所以|x+1|>x-2成立;当x=2时,|x+1|>x-2显然成立．
综合上述,知不等式|x+1|>x-2的解集应为R(而不是)．
3 用“公式法”解含绝对值不等式
例5:解不等式.
解:原不等式等价于:或.
整理,得,或.
∴原不等式的解集是.
例6:解不等式1≤| 2x-1 | < 5.
分析:怎么转化？怎么去掉绝对值？
解法一:原不等式等价于
解①得:1≤x<3 ;解②得:-2
即2≤2x<6 或-4<2x≤0.
解得 1≤x<3 或2
a≤| x |≤ba≤x≤b或a≤-x≤ba≤x≤b或-b≤x≤-a (b>a>0)．
例7:解不等式:|4x-3|>2x+1.
解:(用公式法)分析:把右边看成常数c,就同一样
∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1)x>2 或x<,
∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.
例8:解不等式｜x-x2-2｜>x2-3x-4;
解:分析:可按不等式性质公式来解.
原不等式等价于:
x-x2-2>x2-3x-4①
或x-x2-2<-(x2-3x-4) ②
解①得:1-
故原不等式解集为｛x｜x>-3｝
[注意] ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜
而x2-x+2＝(x-)2+>0
所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4
解得:x>-3
∴原不等式解集为｛x>-3｝.
例9:解关于x的不等式.
解:原不等式化为:,在求解时由于a+1的正负不确定,需分情况讨论.
①当a+1≤0即a≤－1时,由于任何实数的绝对值非负,∴解集为.
②当a+1>0即a>－1时,不等式变为:－(a+1)<2x+3< a+1 =>< x <.
综上得:①
②
4 用“定义法”解含绝对值不等式
例10:解不等式:|4x-3|>2x+1.
解:分析:关键是去掉绝对值,用绝对值定义得
原不等式等价于,
即, ∴x>2或x<,
∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.
例11:用“定义法”来解上述例２:解不等式
解:利用绝对值的定义
原不等式等价于(I)或(II)
解(I)得
解(II)得
综合上述,原不等式的解集为.
5 用“零点分区间(段)法”解含绝对值不等式
所谓零点分区间(段)法是指:若数x1,x2,……,xn分别使含有|x－x1|,|x－x2|,……,|x－xn|的代数式中相应绝对值为零,称x1,x2,……,xn为相应绝对值的零点,零点x1,x2,……,xn将数轴分为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后求出分区间解集的并集作为所求的绝对值不等式的解．零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化.
例12:解不等式:|x-3|-|x+1|<1.
解:分析:关键是去掉绝对值．
用零点分区间(段)讨论法,绝对值|x-3|和|x+1|的零点分别是x=3和x=－1,它们将实轴分为三段:A=、B=和C=,
①在A中,即当时,
∴不等式变为:∴4<1,解集为
②在B中,即当时,
∴不等式变为:,
∴解集为
③在C中,即当时,
不等式变为:-4<1∴解集为
综合上述,原不等式的解集为上述①②③解集的并集,即
∴原不等式的解集为{x|x>}.
例13:用“零点分段法”解例２:解不等式.
解:分析:原不等式等价于．
用零点分段讨论法,绝对值|2x+1|和|2x-4|的零点分别是x=-和x=2,它们将实轴分为三段:
A=、B=和C=,
①在A中,即当时,
∴不等式变为:∴－5<0∴解集为
②在B中,即当时,
∴不等式变为:
∴解集为
③在C中,即当时,
不等式变为:5<0,解集为
综合上述,原不等式的解集为上述①②③解集的并集,即
∴原不等式的解集为.
例14:解不等式:| x+2 | + | x | >4.
解:分析:用零点分段讨论法 共有二个零点-2、0,将实轴分成三段:
①当x≤-2时,不等式化为-(x+2)-x>4即x<-3;
②当-2
③当x≥0时,不等式化为x+2+x>4即x>1
综上,原不等式的解集为{x | x<-3或x>1}.
例15:解不等式|x-2|+|x+3|>5.
解:分析:用零点分段讨论法 共有二个零点-3、2,将实轴分成三段讨论:
当x≤-3时,原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3;
当-3
当x≥2时,原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.
综合上述得:原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝.
6 用“几何(数形结合)法”解含绝对值不等式
所谓“几何法”即利用绝对值的几何意义将不等式(代数知识)转化为几何知识来求解．
例16:解不等式|x-3|-|x+1|<1
解:分析:用“数形结合(几何)”法解.
从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点.
从上面示意图可看出,数轴上点到3和-1两点的距离之差等于1,所以容易知道:
当x>时,数轴上点x到3和-1两点的距离之差小于1,
∴原不等式的解集为{x|x>}.
例17:用“几何(图象)法”解例２:解不等式.
解:分析:原不等式等价于,即
在同一直角坐标系中分别画的图象(如下图):
由图可知,当时,,
∴原不等式的解集为.
例18:对任意实数x,若不等式|x+1|－|x－2|>k恒成立,求k的取值范围．
解:分析:要使|x+1|-|x-2|>k对任意实数x恒成立,只要|x+1|-|x-2|的最小值大于k．因|x+1|的几何意义为数轴上点x到－1的距离,|x-2|的几何意义为数轴上点x到2的距离,|x+1|-|x-2|的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差,其最小值可求．
根据绝对值的几何意义,设数x,－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B,则原不等式|x+1|-|x-2|>k变为:|PA|-|PB|>k.
∵|AB|=3,即对任意实数x,|x+1|-|x-2|≥-3,
即 |x+1|-|x－2|的最小值为-3,
故当k<-3时,原不等式恒成立,所以k的取值范围为:k<-3.
同理1:从形的方面考虑,要解不等式|x+2|+|x|>4,注意到|x+2|+|x|>4的解就是表示数轴上到-2和0两点的距离之和大于4的点
从数轴可以看出:取数轴上点1右边的点或取点-3左边的点到点-2、0的距离之和均大于4
∴原不等式的解集为 {x|x<-3或 x>1}.
同理2:从形的方面考虑,要求|x-1|+|x-2|的最小值,只要注意到:|x-1|+|x-2|的几何意义是:表示数轴上到1和2两点的距离之和．
从数轴容易看出:若x[1、2],则x到1和2两点的距离之和等于1是最小值;若x>2或x<1,x到1和2两点的距离之和均大于1,所以|x-1|+|x-2|的最小值为1.
总之,含绝对值不等式的解法是数学中很重要的内容,也是学生感到难学的一部分内容. 解含有绝对值的不等式的关键是把含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式,然后再求解,但这种转化必须是等价转化. 学生要学会灵活运用分类讨论思想、数形结合思想、等价转化与化归思想方法来处理绝对值不等式的问题．对数学思想的灵活应用,是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方向．
参考文献
[1]刘明星.例谈含绝对值不等式的解法.中学数学研究.2010,3.
[2]王正杰.例谈一类含绝对值不等式的解法.教育与教学研究.2008,1.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文