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[摘 要] 教师应针对低、中、高年级学生学习的不同特点，采用不同的教学策略：教师可以投石击水，不可拖泥带水；可以顺水推舟，不可逆水行舟；可以随波逐流，不可放任自流；可以推波助澜，不可力挽狂澜.
[关键词] 简约；投石击水；顺水推舟；随波逐流；推波助澜
小学阶段的学生属于童年期，从发展心理学的角度来看，这一时期儿童的生活从以游戏为主导转为以学习为主导，其主要任务是通过学校教学，系统地掌握学习方法和学习态度，学会学习.
在整个小学时期，学生的学习兴趣表现出三个特点：一是最初对学习的外部活动更感兴趣，以后逐步对学习的内容更感兴趣；二是最初的学习兴趣是不分化的，以后才逐渐产生对不同学科内容有不同的兴趣；三是游戏因素在低年级儿童的学习兴趣上起着一定的作用，中年级以后，这种作用就逐渐降低. 因此，教师应针对低、中、高不同年级学生学习兴趣的特点，在课堂教学中实施不同的教学策略，以达到最有效的教学效果.
近几年来，笔者在小学高年级数学的课堂实践中，对数与代数领域教学有效性的策略进行了一些研究，也形成了一些不成熟的想法.
投石击水——不可拖泥带水
案例1 苏教版五年级上册“小数的性质”一课的导入.
课件出示：周末，小红和小明走进了商店，来到了文化用品区，分别买了一支铅笔和一块橡皮. （课件播放超市里琳琅满目的物品，用时3分钟左右）
师：从超市摆放的物品中，你们看到了什么？
有学生语言流利地运用了几个优美的词语说看到了某某商品，老师不予否定，接着问：还看到了什么？学生们积极性很高，纷纷举手把自己所观察到的物品都做了回答，教师又接着引导，待老师把学生从琳琅满目的商品引到价格时整节课已经过了10分钟.
德国一位学者曾这样比喻情境在学生学习中的作用：将15克盐放在你的面前，无论如何你都难以下咽. 但将这15克盐放入一碗美味可口的汤中，你早就在享用佳肴时，将15克盐全部吸收了. 可见，知识如盐一样，盐溶入汤才能被吸收，而知识只有融入情境中，才能更好地激发学生的学习兴趣和欲望，帮助学生掌握新知.
然而，从上面的案例中我们可以看出，这位教师创设的情境内容完整、生动有趣，但耗时太长，迟迟不能切入主题，学生绕了半天不知道观察点在哪里，造成本末倒置、事倍功半.
其实，在教学这一课时，教师可以直接出示商店情境，然后应该尽快把教学重点落实到“哪些物品的价格相同？”“你是怎样知道的？”“这两个小数的末尾有什么变化？小数的大小有什么变化？”等数学问题上来，而不是把时间花费在发现商店卖了哪些物品等与数学内容无关的生活问题上，这样，就可以避免在数学课上花费时间在现实情境中漫游却迟迟无法进入数学课题的现象.
进入高年级以后，教师更应认识到，只要能引發学生的数学思考，激发学生的求知欲望，三言两语的情境未必不是一个好情境. 因为高年级学生已经有了一定的生活经验，他们学习数学完全可以从已有的生活体验出发. 例如，教学六年级上册“认识百分数”之时，可以拿出学生经常见到的牛奶盒子，让学生看盒子上标明的“脂肪2.3%，钙2.5%，蛋白质1.5%”，这都表示什么意思呢？挑逗性的问题一下子就可以打开学生思维的闸门，起到投石击水的作用，为教学百分数的认识打下坚实的基础.
所以，在创设情境时，教师怎样在有限的数学课堂时间内尽快实现从生活原型到数学模型的过渡，怎样剔除生活原型中与数学无关的因素，对于有效的数学课堂教学非常关键.
顺水推舟——不可逆水行舟
案例2 苏教版五年级上册P93例题：已知鸡蛋每千克4.2元，妈妈买鸡蛋用去7.98元，求妈妈买了多少千克鸡蛋.
师：读了上述例题，你认为该怎样列式呢？
生：7.98÷4.2.
师：我们已经学会了“除数是整数的小数除法”，利用已经掌握的知识，请你们讨论一下，这题怎样计算？
生1：把7.98元改写成79.8角，4.2元改写成42角，这样就变成了我们会计算的79.8÷42.
师：他这样算，是利用“1元=10角”的知识进行换算，把“一个数除以小数”转变为“除数是整数的小数除法”来计算，很好. 你们还有其他的方法吗？
生2：利用“商不变的性质”，我们还可以把除数和被除数都乘10，再计算.
师：为什么要同时乘10呢？
生2：因为除数乘10就是整数了，根据商不变的性质，被除数也要乘10.
师正准备请同学们尝试着计算——
生3：老师，我们还可以把7.98和4.2同时乘100，这样7.98÷4.2就变成了798÷420，这样也可以计算.
师听后稍顿了一下：这样计算，结果也是正确的，但是把被除数和除数同时乘100是“画蛇添足”，这样反而使计算复杂化了，应该像第二位同学那样计算才对.
学生们表情复杂地点头认可老师的说法. 生3不服气地小声说：“既然计算方法和结果都是正确的，凭什么说我‘画蛇添足’？”一节课再也没有看见这个学生举手发言.
在这个案例中，学生3的计算方法遵循了“商不变的规律”，也符合“把小数除法转化成整数除法来计算”的思想，只是计算方法没有达到最优化. 这里，教师的问题是，忽视了学生解决问题过程中不同的思维方式和不同解决策略的探索，当学生用自己过去的经验与本领来面对新知识时，没有尊重学生不同的认知方式. 更重要的是，教师在没有对学生的方法进行一定的分析、归纳、交流的基础上，就否定了学生，造成“一节课再也没有看见这个学生举手发言”的后果，这直接挫伤了该生的自尊心，打击了该生的积极性.
其实，学生对于新知的认知方式本身没有优劣之分，只是表现为学生对新信息加工方式的某种偏爱. 要优化他们的认知方式就需要一个过程，这一过程不是教师强加的，它应该是学生们自己体验和感悟的过程. 因此，在本案例中，当学生3提出自己的计算方法时，教师应该顺水推舟，先给予充分肯定，因为对于一位初学“一个数除以小数”的孩子来说，能够运用已学的知识解决新问题，本身就应该得到肯定，这样必然能激发孩子的学习热情，对该生的自信心、创新意识和创新精神的形成也将产生积极的影响. 对于学生计算中没有优化算法的问题，教师可以设计一组针对性练习，如，比比看谁算得又对又快：
35.136÷0.36=61.8÷0.03=
1.44÷1.8= 87.5÷1.25=
让学生在带有比赛情境的计算过程中感悟到小数除法的核心：只有根据除数的小数位数来确定乘的倍数，计算才比较简便.
总之，当课堂上出现学生不同的声音时，一定要给学生提供交流的平台，给他们充分的时间经历冲突、思考、反思的过程，最终实现自我优化，万不可逆水行舟地直接否定孩子，尤其是孩子并没有错误的思维，这样教学才能更有效.
随波逐流——不可放任自流
案例3 苏教版五年级下册P80“异分母分数加减法”教学描述.
教师在复习旧知、引入课题后，出示例题：“明桥小学有一块长方形试验田，其中种黄瓜，种番茄. 种黄瓜和番茄的面积一共占这块地的几分之几？”然后要求学生用小组讨论的方式，自主探究异分母分数加减法的计算方法. 接下来，学生们开始翻书、画图、计算……看似场面十分热烈，但细细观察，却可以看到，有的小组只是一个人在发言，其他学生则是听众；有的小组虽然人人参与，但人人手里都玩着别的东西，随意与放任可见一斑；还有的小组从学生的表情就可看出是利用这个机会悄悄地说笑. 而教师则是先在讲台上站着，看看教案，过了一会看了下手表，稍后走下讲台，象征性地巡视一圈，接着指名汇报探究成果. 学生每汇报一种方法，教师即进行板书，但并不进行任何评价，而是让其他组成绩优秀的学生进行点评.
在这个案例中，教师看似把课堂还给了学生，让学生通过小组讨论的形式自主探究新知，但这样的探究已异化成了自学，不仅没有发挥学生的主体性，反而放弃了教师在教学中的主导作用，使课堂教学处于无序状态. 而且，课堂放羊式的盲目自主，忽视了教师在课堂中的引导、组织、激励、调控作用，使得学生自主、合作、探究的学习流于形式.
其实，教师是实施探究学习不可或缺的条件. 在这一案例中，教师首先应对学生的探究情况予以关注，避免出现案例中有的小组一人发言，有的小组随意玩东西，有的小组偷偷说笑这样放任自流的现象发生. 其次，在学生自主探究的过程中，教师应走到学生中去，对学生进行学法指导，因为并不是每一个学生都知道如何探究或从何处入手，教师要关注到不同层次学生的体验，使得每个学生都能真正参与到探究活动中，这样才能让学生不仅喜欢数学，而且善于学数学. 另外，在汇报时应为学生的探究困惑指点迷津，一定要对学生的探究成果进行贴切的评价，不论是对的还是错的，不论是合理的还是不够完善的，都要有合理的带有尊重的评价，这样才能使学生的思维有序地追随学生的操作活动展开，达到“随波逐流”的效果，从而形成对数学积极的情感、态度和价值观，帮助孩子认识自我、树立信心，促进学生探究质量的提升.
可见，有效的探究活动是一个师生互动的行为，虽然学生有很大的探究空间，但仍需要教师适时、必要、谨慎、有效地指导，尤其是学生们在探究活动中遇到困难时，教师要正确地引导，发生争议时，教师要耐心地倾听，出现错误时，教师要及时地纠正，获得成功时，教师要真诚地赞赏，这样才能最大限度地发挥探究作用，拓展学生的思维，真正成为学生学习的组织者、引导者与合作者.
推波助澜——不可力挽狂澜
案例4 六年级“按比例分配”一课片断.
师：最近，老师从网络上了解到这样一条信息：
师：从这个表格中你想到了什么？
生1：男、女人数之间的差距20年来变大了.
生2：男、女人数不平衡.
师：为了了解20年来中国男、女人数的增长情况，老师想请同学们算出20年前和现在中国的男、女各有多少人？能算吗？
生3：（脱口而出）能！
生4：（思考了一下）不能！
师：还需要知道什么？
生4：20年前和现在的中國总人口.
（根据学生的回答，教师板书：11亿 13亿）
师：现在能算了吗？请四个小组分别计算中国20年前男性和女性的人数以及现在的男性和女性人数.
分工计算，指名板演，校对答案.
师：通过计算，我们对中国20年来男、女人数的增长情况有了更深刻的了解！你能否结合计算得出的这些数据谈谈自己的想法？
生：……
师：分析得很有道理！那么大家有没有想过，为什么男性人口增长得如此之快？
生5：会不会是运气好，生出来的都是男孩？
生6：不可能是运气好，因为这么长时间里都是男性人数增长快，这应该有必然原因！
师：好一个必然原因！是什么呢？
生7：重男轻女！
（教室里笑声一片. 随后，教师向学生简要介绍了从网络上摘录的“中国男、女比例失调原因分析”的材料）
师：假如我们能多用学到的数学知识去分析身边存在的一些生活现象，那么，数学学习可能会变得更有滋味和价值！
在这一案例中，我们看到学生既运用所学知识解决了常规性的数学问题（计算人数），又凭借所学知识充分参与了“人口”问题发生、发展过程的大讨论. 在基础性练习的基础上，教师围绕“20年前和现在中国男、女人口比例情况”推动学生在信息解读、数学计算、背景分析等方面展开真实的对话，使得练习活动既关注了双基的落实，又将所学知识融入生活世界，助学生掀起最后的“巨澜”.
《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律. 它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系”. 可见，我们的数学课堂要实现由重结果、重结论向重过程、重发展相结合的转变. 在本案例中，如果教师按传统的教学设计，先出示题目，学生计算，再根据计算结果谈谈想法，就极有可能造成学生谈想法的环节形同虚设，毫无深度可言，即使教师想“力挽狂澜”也会“力不从心”. 而案例中的教师设计正好相反，先鼓励学生运用原有的知识经验经历计算过程，再结合计算结果及一些相关资料，适时地引领调控，使学生水到渠成地做出合理的综合和推论，分析、解释当前的问题，遵循了学生的身心发展规律和数学学习规律，使数学知识真正地为学生未来的生活、工作和学习奠定了重要的基础.
[关键词] 简约；投石击水；顺水推舟；随波逐流；推波助澜
小学阶段的学生属于童年期，从发展心理学的角度来看，这一时期儿童的生活从以游戏为主导转为以学习为主导，其主要任务是通过学校教学，系统地掌握学习方法和学习态度，学会学习.
在整个小学时期，学生的学习兴趣表现出三个特点：一是最初对学习的外部活动更感兴趣，以后逐步对学习的内容更感兴趣；二是最初的学习兴趣是不分化的，以后才逐渐产生对不同学科内容有不同的兴趣；三是游戏因素在低年级儿童的学习兴趣上起着一定的作用，中年级以后，这种作用就逐渐降低. 因此，教师应针对低、中、高不同年级学生学习兴趣的特点，在课堂教学中实施不同的教学策略，以达到最有效的教学效果.
近几年来，笔者在小学高年级数学的课堂实践中，对数与代数领域教学有效性的策略进行了一些研究，也形成了一些不成熟的想法.
投石击水——不可拖泥带水
案例1 苏教版五年级上册“小数的性质”一课的导入.
课件出示：周末，小红和小明走进了商店，来到了文化用品区，分别买了一支铅笔和一块橡皮. （课件播放超市里琳琅满目的物品，用时3分钟左右）
师：从超市摆放的物品中，你们看到了什么？
有学生语言流利地运用了几个优美的词语说看到了某某商品，老师不予否定，接着问：还看到了什么？学生们积极性很高，纷纷举手把自己所观察到的物品都做了回答，教师又接着引导，待老师把学生从琳琅满目的商品引到价格时整节课已经过了10分钟.
德国一位学者曾这样比喻情境在学生学习中的作用：将15克盐放在你的面前，无论如何你都难以下咽. 但将这15克盐放入一碗美味可口的汤中，你早就在享用佳肴时，将15克盐全部吸收了. 可见，知识如盐一样，盐溶入汤才能被吸收，而知识只有融入情境中，才能更好地激发学生的学习兴趣和欲望，帮助学生掌握新知.
然而，从上面的案例中我们可以看出，这位教师创设的情境内容完整、生动有趣，但耗时太长，迟迟不能切入主题，学生绕了半天不知道观察点在哪里，造成本末倒置、事倍功半.
其实，在教学这一课时，教师可以直接出示商店情境，然后应该尽快把教学重点落实到“哪些物品的价格相同？”“你是怎样知道的？”“这两个小数的末尾有什么变化？小数的大小有什么变化？”等数学问题上来，而不是把时间花费在发现商店卖了哪些物品等与数学内容无关的生活问题上，这样，就可以避免在数学课上花费时间在现实情境中漫游却迟迟无法进入数学课题的现象.
进入高年级以后，教师更应认识到，只要能引發学生的数学思考，激发学生的求知欲望，三言两语的情境未必不是一个好情境. 因为高年级学生已经有了一定的生活经验，他们学习数学完全可以从已有的生活体验出发. 例如，教学六年级上册“认识百分数”之时，可以拿出学生经常见到的牛奶盒子，让学生看盒子上标明的“脂肪2.3%，钙2.5%，蛋白质1.5%”，这都表示什么意思呢？挑逗性的问题一下子就可以打开学生思维的闸门，起到投石击水的作用，为教学百分数的认识打下坚实的基础.
所以，在创设情境时，教师怎样在有限的数学课堂时间内尽快实现从生活原型到数学模型的过渡，怎样剔除生活原型中与数学无关的因素，对于有效的数学课堂教学非常关键.
顺水推舟——不可逆水行舟
案例2 苏教版五年级上册P93例题：已知鸡蛋每千克4.2元，妈妈买鸡蛋用去7.98元，求妈妈买了多少千克鸡蛋.
师：读了上述例题，你认为该怎样列式呢？
生：7.98÷4.2.
师：我们已经学会了“除数是整数的小数除法”，利用已经掌握的知识，请你们讨论一下，这题怎样计算？
生1：把7.98元改写成79.8角，4.2元改写成42角，这样就变成了我们会计算的79.8÷42.
师：他这样算，是利用“1元=10角”的知识进行换算，把“一个数除以小数”转变为“除数是整数的小数除法”来计算，很好. 你们还有其他的方法吗？
生2：利用“商不变的性质”，我们还可以把除数和被除数都乘10，再计算.
师：为什么要同时乘10呢？
生2：因为除数乘10就是整数了，根据商不变的性质，被除数也要乘10.
师正准备请同学们尝试着计算——
生3：老师，我们还可以把7.98和4.2同时乘100，这样7.98÷4.2就变成了798÷420，这样也可以计算.
师听后稍顿了一下：这样计算，结果也是正确的，但是把被除数和除数同时乘100是“画蛇添足”，这样反而使计算复杂化了，应该像第二位同学那样计算才对.
学生们表情复杂地点头认可老师的说法. 生3不服气地小声说：“既然计算方法和结果都是正确的，凭什么说我‘画蛇添足’？”一节课再也没有看见这个学生举手发言.
在这个案例中，学生3的计算方法遵循了“商不变的规律”，也符合“把小数除法转化成整数除法来计算”的思想，只是计算方法没有达到最优化. 这里，教师的问题是，忽视了学生解决问题过程中不同的思维方式和不同解决策略的探索，当学生用自己过去的经验与本领来面对新知识时，没有尊重学生不同的认知方式. 更重要的是，教师在没有对学生的方法进行一定的分析、归纳、交流的基础上，就否定了学生，造成“一节课再也没有看见这个学生举手发言”的后果，这直接挫伤了该生的自尊心，打击了该生的积极性.
其实，学生对于新知的认知方式本身没有优劣之分，只是表现为学生对新信息加工方式的某种偏爱. 要优化他们的认知方式就需要一个过程，这一过程不是教师强加的，它应该是学生们自己体验和感悟的过程. 因此，在本案例中，当学生3提出自己的计算方法时，教师应该顺水推舟，先给予充分肯定，因为对于一位初学“一个数除以小数”的孩子来说，能够运用已学的知识解决新问题，本身就应该得到肯定，这样必然能激发孩子的学习热情，对该生的自信心、创新意识和创新精神的形成也将产生积极的影响. 对于学生计算中没有优化算法的问题，教师可以设计一组针对性练习，如，比比看谁算得又对又快：
35.136÷0.36=61.8÷0.03=
1.44÷1.8= 87.5÷1.25=
让学生在带有比赛情境的计算过程中感悟到小数除法的核心：只有根据除数的小数位数来确定乘的倍数，计算才比较简便.
总之，当课堂上出现学生不同的声音时，一定要给学生提供交流的平台，给他们充分的时间经历冲突、思考、反思的过程，最终实现自我优化，万不可逆水行舟地直接否定孩子，尤其是孩子并没有错误的思维，这样教学才能更有效.
随波逐流——不可放任自流
案例3 苏教版五年级下册P80“异分母分数加减法”教学描述.
教师在复习旧知、引入课题后，出示例题：“明桥小学有一块长方形试验田，其中种黄瓜，种番茄. 种黄瓜和番茄的面积一共占这块地的几分之几？”然后要求学生用小组讨论的方式，自主探究异分母分数加减法的计算方法. 接下来，学生们开始翻书、画图、计算……看似场面十分热烈，但细细观察，却可以看到，有的小组只是一个人在发言，其他学生则是听众；有的小组虽然人人参与，但人人手里都玩着别的东西，随意与放任可见一斑；还有的小组从学生的表情就可看出是利用这个机会悄悄地说笑. 而教师则是先在讲台上站着，看看教案，过了一会看了下手表，稍后走下讲台，象征性地巡视一圈，接着指名汇报探究成果. 学生每汇报一种方法，教师即进行板书，但并不进行任何评价，而是让其他组成绩优秀的学生进行点评.
在这个案例中，教师看似把课堂还给了学生，让学生通过小组讨论的形式自主探究新知，但这样的探究已异化成了自学，不仅没有发挥学生的主体性，反而放弃了教师在教学中的主导作用，使课堂教学处于无序状态. 而且，课堂放羊式的盲目自主，忽视了教师在课堂中的引导、组织、激励、调控作用，使得学生自主、合作、探究的学习流于形式.
其实，教师是实施探究学习不可或缺的条件. 在这一案例中，教师首先应对学生的探究情况予以关注，避免出现案例中有的小组一人发言，有的小组随意玩东西，有的小组偷偷说笑这样放任自流的现象发生. 其次，在学生自主探究的过程中，教师应走到学生中去，对学生进行学法指导，因为并不是每一个学生都知道如何探究或从何处入手，教师要关注到不同层次学生的体验，使得每个学生都能真正参与到探究活动中，这样才能让学生不仅喜欢数学，而且善于学数学. 另外，在汇报时应为学生的探究困惑指点迷津，一定要对学生的探究成果进行贴切的评价，不论是对的还是错的，不论是合理的还是不够完善的，都要有合理的带有尊重的评价，这样才能使学生的思维有序地追随学生的操作活动展开，达到“随波逐流”的效果，从而形成对数学积极的情感、态度和价值观，帮助孩子认识自我、树立信心，促进学生探究质量的提升.
可见，有效的探究活动是一个师生互动的行为，虽然学生有很大的探究空间，但仍需要教师适时、必要、谨慎、有效地指导，尤其是学生们在探究活动中遇到困难时，教师要正确地引导，发生争议时，教师要耐心地倾听，出现错误时，教师要及时地纠正，获得成功时，教师要真诚地赞赏，这样才能最大限度地发挥探究作用，拓展学生的思维，真正成为学生学习的组织者、引导者与合作者.
推波助澜——不可力挽狂澜
案例4 六年级“按比例分配”一课片断.
师：最近，老师从网络上了解到这样一条信息：
师：从这个表格中你想到了什么？
生1：男、女人数之间的差距20年来变大了.
生2：男、女人数不平衡.
师：为了了解20年来中国男、女人数的增长情况，老师想请同学们算出20年前和现在中国的男、女各有多少人？能算吗？
生3：（脱口而出）能！
生4：（思考了一下）不能！
师：还需要知道什么？
生4：20年前和现在的中國总人口.
（根据学生的回答，教师板书：11亿 13亿）
师：现在能算了吗？请四个小组分别计算中国20年前男性和女性的人数以及现在的男性和女性人数.
分工计算，指名板演，校对答案.
师：通过计算，我们对中国20年来男、女人数的增长情况有了更深刻的了解！你能否结合计算得出的这些数据谈谈自己的想法？
生：……
师：分析得很有道理！那么大家有没有想过，为什么男性人口增长得如此之快？
生5：会不会是运气好，生出来的都是男孩？
生6：不可能是运气好，因为这么长时间里都是男性人数增长快，这应该有必然原因！
师：好一个必然原因！是什么呢？
生7：重男轻女！
（教室里笑声一片. 随后，教师向学生简要介绍了从网络上摘录的“中国男、女比例失调原因分析”的材料）
师：假如我们能多用学到的数学知识去分析身边存在的一些生活现象，那么，数学学习可能会变得更有滋味和价值！
在这一案例中，我们看到学生既运用所学知识解决了常规性的数学问题（计算人数），又凭借所学知识充分参与了“人口”问题发生、发展过程的大讨论. 在基础性练习的基础上，教师围绕“20年前和现在中国男、女人口比例情况”推动学生在信息解读、数学计算、背景分析等方面展开真实的对话，使得练习活动既关注了双基的落实，又将所学知识融入生活世界，助学生掀起最后的“巨澜”.
《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律. 它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系”. 可见，我们的数学课堂要实现由重结果、重结论向重过程、重发展相结合的转变. 在本案例中，如果教师按传统的教学设计，先出示题目，学生计算，再根据计算结果谈谈想法，就极有可能造成学生谈想法的环节形同虚设，毫无深度可言，即使教师想“力挽狂澜”也会“力不从心”. 而案例中的教师设计正好相反，先鼓励学生运用原有的知识经验经历计算过程，再结合计算结果及一些相关资料，适时地引领调控，使学生水到渠成地做出合理的综合和推论，分析、解释当前的问题，遵循了学生的身心发展规律和数学学习规律，使数学知识真正地为学生未来的生活、工作和学习奠定了重要的基础.