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【案例】
在一次数学练习课中，老师出了如下一题：一块长1米20厘米、宽90厘米的长方形铝片，剪成直径为30厘米的圆片，最多可以剪几块？
学生列式为120×90÷[3.14×（30／2）²]≈15（块）
大家都以为这样列式是对的。原因是学生从已有知识出发，按常规的解题思路，用长方形面积除以圆的面积。
师：这个算式是错误的。请同学们想一想为什么错了呢？到底应该怎样解？
同学们陷入了沉思：我们认为是对的，为什么老师说是错误的呢？ 究竟应该怎样解呢？
当学生经过苦苦思索，不得其解时，正是老师启发诱导的极好时机。
这时教师予以点拨：请同学们联系生活实际进行思考，看看有没有不同的解法？
这一诱导掀起了学生的思维浪潮，大家七嘴八舌，议论纷纷。几分钟后，一个学生举手发言：（120÷30）×（90÷30）=12（块）
于是老师请这位学生说说是怎样想的，他上讲台在黑板上边画图边说算理，说得思路清晰、算理明白。最后该生小结：解决此类问题，最好应用数形结合的方法，这题算理是长方形的长120厘米是这个圆的直径30厘米的4倍，宽90厘米是这个圆直径30厘米的3倍，也就是在这个长方形里，横着剪，一排只能剪4个圆；竖着剪，一列只能剪3个圆，这个长方形最多只能剪3×4=12（个）这样的圆。
在整个交流过程中，“数”借助“形”轻而易举地解除了学生的困惑，使大家实实在在体验到了数形结合方法的魔力。接着老师又出了一题：把长和宽分别增加10厘米，圆的直径不变，最多可以剪几块这样的圆？
学生很快列出算式（130÷30）×（100÷30）。由于130÷30和100÷30得不到整数商，学生争论不休，课堂气氛异常热烈，同学们你一言，我一语，相互启发，相互争论，相互修正，并在老师的诱导点拨下运用画图与推理，讨论与操作（有的还拿出剪刀在纸上剪），最终形成了这样的结论：这块铝皮的长和宽增加10厘米后，最多也只能剪12个圆片……
接着老师又出了两题：（1）长和宽分别增加20厘米。（2）长和宽分别增加30厘米，其余条件和问题不变。
有些学生是这样解的（1）(140÷30)×(110÷30)≈3×4=12（块）
（2）（150÷30）×（120÷30）=5×4=20（块）
另一些同学却用数形结合的解法验证了这两题的解法是正确的。
【评析】
一、主动探究，使学生获得成功
此案例中，高潮迭起，充分体现了教学民主。教师循循善诱，学生个个主动学习，师生群体合作研讨。在讨论中，通过互相启发与争辩，学生的思维步步深入，对问题的认识更加清晰，从正反两方面深化了对“联系实际学习数学”这一思考方法的理解，学会了数形结合的分析方法，本案例妙就妙在教学程序的安排和开放题的设计，亮点了教师的教学机智，营造了主动探究的氛围。练习过程中，学生试一试、想一想、看一看、画一画、剪一剪……交流时学生乐于把自己想到的、发现的告诉大家。交流的形式既有小组的、大组的，也有整班的。学生在想方设法的用“形”来表达“数”，通过“形”与“数”的相互对应向同伴传递自己的数学思维。这种群体对个体的影响和个体之间的影响，使每个学生达到了“既竭我才，欲罢不能”的地步，在主动探索中意识和感觉到自己的智慧和力量。课堂上师生间、生生间的数学交流精彩纷呈，表述能力、调控能力与评价能力得到了真正提高。
二、尊重人格，使学生享受成功
教师的成功不一定是学生的成功，而学生的成功一定是教师的成功。要使学生享受成功，必须充分发扬教学民主、尊重学生人格，把他们作为课堂教学的主体，给他们以鼓励、以方法、以胆量、以热情，使他们获得应有的尊严，享受到成功的快乐，教师也因此而分享快乐。在此案例中，学生的形象思维与抽象思维交相辉映，学生群体智慧的潜能得到了充分发挥，甚至出现了创造性的互相影响。同学们的合作学习，增加了信息交流的量，提高了自己的见解被同伴认可的机会。一次认可也就是一次成功，成功可使学生产生自信、自我肯定等一系列良好的情感体验。学生主体地位得到体现的同时，不断享受到交流和成功所带来的快乐，这种良好体验的不断实现将是推动他们进一步学习与探索的巨大动力，将会极大地激励学生的的创造性思维，学生的创新能力也一定能在这片沃土上生根、发芽，结出硕果。
三、倾听发言，欣赏每一个孩子
本案例中，教师很少讲解，而是提出问题，激发学生思考。当学生发言时，教师认真倾听学生的发言，从不插嘴打断学生的表述；学生回答问题不拘正确与否，一律表示欢迎。教师欣赏每一个孩子，心态平和地用心灵和学生对话，必要时展开讨论，肯定成绩，鼓舞信心，纠正错误， “笑着当老师，蹲着看学生，乐着对同伴”，童心回归，创造和谐的课堂氛围，调动学生学习的主动性，学生的创造潜能便能获得更好地发挥。
总之，这个案例创设了一个有利于学生积极思考、合作探索的学习情趣，使每一个学生都参与到学习活动中来，让学生体验数学学习的全过程，真正做到：给孩子一些权力，让他自己去选择;给孩子一些机会，让他自己去体验；给孩子一些困难，让他自己去尝试；给孩子一个问题，让他自己去解决；给孩子一片天空，让他自己去发挥，实现了学生知识和能力的双向发展。
在一次数学练习课中，老师出了如下一题：一块长1米20厘米、宽90厘米的长方形铝片，剪成直径为30厘米的圆片，最多可以剪几块？
学生列式为120×90÷[3.14×（30／2）²]≈15（块）
大家都以为这样列式是对的。原因是学生从已有知识出发，按常规的解题思路，用长方形面积除以圆的面积。
师：这个算式是错误的。请同学们想一想为什么错了呢？到底应该怎样解？
同学们陷入了沉思：我们认为是对的，为什么老师说是错误的呢？ 究竟应该怎样解呢？
当学生经过苦苦思索，不得其解时，正是老师启发诱导的极好时机。
这时教师予以点拨：请同学们联系生活实际进行思考，看看有没有不同的解法？
这一诱导掀起了学生的思维浪潮，大家七嘴八舌，议论纷纷。几分钟后，一个学生举手发言：（120÷30）×（90÷30）=12（块）
于是老师请这位学生说说是怎样想的，他上讲台在黑板上边画图边说算理，说得思路清晰、算理明白。最后该生小结：解决此类问题，最好应用数形结合的方法，这题算理是长方形的长120厘米是这个圆的直径30厘米的4倍，宽90厘米是这个圆直径30厘米的3倍，也就是在这个长方形里，横着剪，一排只能剪4个圆；竖着剪，一列只能剪3个圆，这个长方形最多只能剪3×4=12（个）这样的圆。
在整个交流过程中，“数”借助“形”轻而易举地解除了学生的困惑，使大家实实在在体验到了数形结合方法的魔力。接着老师又出了一题：把长和宽分别增加10厘米，圆的直径不变，最多可以剪几块这样的圆？
学生很快列出算式（130÷30）×（100÷30）。由于130÷30和100÷30得不到整数商，学生争论不休，课堂气氛异常热烈，同学们你一言，我一语，相互启发，相互争论，相互修正，并在老师的诱导点拨下运用画图与推理，讨论与操作（有的还拿出剪刀在纸上剪），最终形成了这样的结论：这块铝皮的长和宽增加10厘米后，最多也只能剪12个圆片……
接着老师又出了两题：（1）长和宽分别增加20厘米。（2）长和宽分别增加30厘米，其余条件和问题不变。
有些学生是这样解的（1）(140÷30)×(110÷30)≈3×4=12（块）
（2）（150÷30）×（120÷30）=5×4=20（块）
另一些同学却用数形结合的解法验证了这两题的解法是正确的。
【评析】
一、主动探究，使学生获得成功
此案例中，高潮迭起，充分体现了教学民主。教师循循善诱，学生个个主动学习，师生群体合作研讨。在讨论中，通过互相启发与争辩，学生的思维步步深入，对问题的认识更加清晰，从正反两方面深化了对“联系实际学习数学”这一思考方法的理解，学会了数形结合的分析方法，本案例妙就妙在教学程序的安排和开放题的设计，亮点了教师的教学机智，营造了主动探究的氛围。练习过程中，学生试一试、想一想、看一看、画一画、剪一剪……交流时学生乐于把自己想到的、发现的告诉大家。交流的形式既有小组的、大组的，也有整班的。学生在想方设法的用“形”来表达“数”，通过“形”与“数”的相互对应向同伴传递自己的数学思维。这种群体对个体的影响和个体之间的影响，使每个学生达到了“既竭我才，欲罢不能”的地步，在主动探索中意识和感觉到自己的智慧和力量。课堂上师生间、生生间的数学交流精彩纷呈，表述能力、调控能力与评价能力得到了真正提高。
二、尊重人格，使学生享受成功
教师的成功不一定是学生的成功，而学生的成功一定是教师的成功。要使学生享受成功，必须充分发扬教学民主、尊重学生人格，把他们作为课堂教学的主体，给他们以鼓励、以方法、以胆量、以热情，使他们获得应有的尊严，享受到成功的快乐，教师也因此而分享快乐。在此案例中，学生的形象思维与抽象思维交相辉映，学生群体智慧的潜能得到了充分发挥，甚至出现了创造性的互相影响。同学们的合作学习，增加了信息交流的量，提高了自己的见解被同伴认可的机会。一次认可也就是一次成功，成功可使学生产生自信、自我肯定等一系列良好的情感体验。学生主体地位得到体现的同时，不断享受到交流和成功所带来的快乐，这种良好体验的不断实现将是推动他们进一步学习与探索的巨大动力，将会极大地激励学生的的创造性思维，学生的创新能力也一定能在这片沃土上生根、发芽，结出硕果。
三、倾听发言，欣赏每一个孩子
本案例中，教师很少讲解，而是提出问题，激发学生思考。当学生发言时，教师认真倾听学生的发言，从不插嘴打断学生的表述；学生回答问题不拘正确与否，一律表示欢迎。教师欣赏每一个孩子，心态平和地用心灵和学生对话，必要时展开讨论，肯定成绩，鼓舞信心，纠正错误， “笑着当老师，蹲着看学生，乐着对同伴”，童心回归，创造和谐的课堂氛围，调动学生学习的主动性，学生的创造潜能便能获得更好地发挥。
总之，这个案例创设了一个有利于学生积极思考、合作探索的学习情趣，使每一个学生都参与到学习活动中来，让学生体验数学学习的全过程，真正做到：给孩子一些权力，让他自己去选择;给孩子一些机会，让他自己去体验；给孩子一些困难，让他自己去尝试；给孩子一个问题，让他自己去解决；给孩子一片天空，让他自己去发挥，实现了学生知识和能力的双向发展。