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摘要：小波变换是一种对图像进行压缩的主流算法，该算法利用小波变换的多分辨率性质对图像能量进行重新分布，进而实现对图像的压缩。本文分析了小波变换的统计特性及其分解原理，讨论了如何应用小波变换实现图像的压缩。
关键词：小波变换 图像压缩 统计特性 分解原理
图像压缩技术在很多领域有着广泛的应用，它能显著地降低对信道容量的要求，节约大量的磁盘存储空间，因此一直是研究的热点。图像压缩技术就是去掉图像数据中的各种冗余，保留下有用信息。小波变换是一种多分辨率的分析方法。它对高频信号采用小时窗，对低频信号采用大时窗进行分析。这正好与自然界中高频信号一般持续时间短，而低频信号持续时间较长的时频分布特性相吻合，非常适合于图像处理。基于小波变换的图像压缩方法通常比基于离散余弦变换（DCT）的JPEG有更好的执行效果，特别是在高压缩比的情况下。
1、图像的小波变换及其压缩特性
1.1 图像的小波域统计特性
变换本身不具有压缩性能，只能使图像的数据重新分布，使其具有某些统计特性有利于组织数据和建立模型。图像的小波变换具有如下主要统计性质：（1）时—频局部化：由定义知道，小波变换的基函数是窗函数的时间平移和尺度伸缩的结果。随着时间平移参数和尺度伸缩参数的变化，可得到信号的不同区域、不同时—频特性的表示。（2）能量聚集性（压缩性）：由于图像信号的特点，使得小波分解后信号的能量主要集中在低频频带，而高频子带的能量大部分集中在原始图像的边缘、轮廓等对应的位置，反映了图像的边缘细節。（3）重要系数的聚集性：在小波域量化过程中重要系数通常以聚集的方式分布。（4）子带之间的相似性：对应于不同尺度同一方向的小波系数可形成四叉树结构，每一个树中各结点对应于原图像中的同一块信息，其不同尺度之间具有相似性。（5）子带之间小波系数的幅度衰减性：随着尺度由大到小而小波系数的幅度递减。
1.2 小波变换和图像的多分辨率分解
小波变换可以将一个二维信号（图像）逐层分解为逼近信号和细节分量.此时的细节分量分别为水平方向、垂直方向和对角线方向的细节分量。图像经小波变换分解成四个四分之一大小的子图：水平方向、垂直方向和对角线方向的中高频细节子图和低频逼近子图，每个子图通过间隔抽样滤波得到，后续分解后逼近子图以完全相同的方式再分解为更低一级辨率下更小的子图，以此类推。
一般，人眼的视觉对图像平滑部分细节和细微变化敏感，而对图像边缘或纹理部分的微小变化不太敏感。图像经小波变换分解成小波子图后，图像得到了很好的分类，图像边缘或纹理部分信息主要集中到中高频细节子图的较大小波数值上。
1.3 波分解后图像特征
当图像实现了小波的多分辨率分解后，并不意味着图像已实现了压缩，事实上，小波变换只是给图像压缩提供了好的图像表示形式，而数据总量并未减少，为了达到高压缩比的目的，还应对变换后的系数进行分析处理，并进行适当的取舍量化和编码，通过大量对图像进行小波分层编解码实验得知：
（1）小波对图像的分解是按倍频程方式进行的，符合人眼视觉机制。
（2）由于正交性，变换域内相关性非常小，各分解系数是独立的，图像的能量主要集中在低频分量LL上，分解层数越低，其高频带的能量也越少。高频分量HL，LH，HH表征了图像的高频边缘分量，这样更便于去掉其相关性，使能量高度集中。
（3）小波变换的系数具有一定的空间取向特性，LH表征了水平方向的边缘信息（即垂直方向的高频分量），HL表征了垂直方向的边缘信息（即水平方向的高频分量），HH表征了对角线方向的边缘信息，这为利用人眼视觉系统知识进行编码提供了合适的表示。
（4）图像经小波变换后其变换系数具有“树状结构”。
2、基于小波变换的多分辨率图像压缩算法
（1）对原始图像进行小波变换。选择合适的小波基，将图像分解为两个部分，即低频平滑部分（LL）和高频细节部分（LH、HL、HH），共4个子图像。其中，LH、HL、HH分别对应于图像的水平方向、垂直方向及对角线方向的边缘和细节。这个分解过程可重复地用于分解LL部分。
（2）对变换系数进行量化。量化方法主要有标量量化、矢量量化和零树量化等。标量量化能保持较高的重建图像质量，但压缩比较低，在实际标量量化过程中，结合人眼视觉特征得到的标量量化公式。矢量量化是对矢量集合的量化，由于变换后子图像不同的分布特性和矩特征，不适宜采用统一的矢量码书进行矢量化，应对各子图分别进行矢量化，能得到较高的压缩比，但压缩时间较长且重建图像的质量较差；零树量化则是充分利用了小波变换的优秀的时频局部特性，及各方向上分解系数间的相关性，取得了很好的压缩效果。
（3）对量化后的系数进行编码。将量化后的系数转化为字符流，使所得字符流的熵尽量小。
3、总结
基于小波变换的图像压缩方法，是一种与图像压缩自身特点相适应的高效的图像压缩方法。利用小波变换的图像多分辨率分解和良好的时频分析特性，将小波变换用于图像数据的压缩处理。经过小波分解后图像的大部分能量主要集中在低频信号中，图像边缘附近的大多数能量主要集中在高频信号中，这样在视觉允许的情况下，可以适当选取小波分解的低频信号成分来表示原图像，实现图像压缩。利用小波变换实现图像数据压缩处理可以获得高的压缩比，压缩速度快，图像数据量小，压缩后能够保持信号与图像特征基本不变，具有很好的压缩效果。
参考文献
[1] 吴晓光，谭云兰，柳志新.基于小波多分辨率分解的图像压缩技术及分析[J].计算机与现代化，2004（4）
[2] 刘杰.医学图像压缩算法研究及进展[J].北京生物医学工程，2006，25（3）
[3] 李永忠.可变深度嵌入小波图像压缩算法[J].江苏科技大学学报（自然科学版），2006，20（5）
[4] 谭毅华，王振华，田金文，柳健.率失真最优的多分辨率小波图像压缩方法[J].中国图象图形学报A辑，2004，9（8）
关键词：小波变换 图像压缩 统计特性 分解原理
图像压缩技术在很多领域有着广泛的应用，它能显著地降低对信道容量的要求，节约大量的磁盘存储空间，因此一直是研究的热点。图像压缩技术就是去掉图像数据中的各种冗余，保留下有用信息。小波变换是一种多分辨率的分析方法。它对高频信号采用小时窗，对低频信号采用大时窗进行分析。这正好与自然界中高频信号一般持续时间短，而低频信号持续时间较长的时频分布特性相吻合，非常适合于图像处理。基于小波变换的图像压缩方法通常比基于离散余弦变换（DCT）的JPEG有更好的执行效果，特别是在高压缩比的情况下。
1、图像的小波变换及其压缩特性
1.1 图像的小波域统计特性
变换本身不具有压缩性能，只能使图像的数据重新分布，使其具有某些统计特性有利于组织数据和建立模型。图像的小波变换具有如下主要统计性质：（1）时—频局部化：由定义知道，小波变换的基函数是窗函数的时间平移和尺度伸缩的结果。随着时间平移参数和尺度伸缩参数的变化，可得到信号的不同区域、不同时—频特性的表示。（2）能量聚集性（压缩性）：由于图像信号的特点，使得小波分解后信号的能量主要集中在低频频带，而高频子带的能量大部分集中在原始图像的边缘、轮廓等对应的位置，反映了图像的边缘细節。（3）重要系数的聚集性：在小波域量化过程中重要系数通常以聚集的方式分布。（4）子带之间的相似性：对应于不同尺度同一方向的小波系数可形成四叉树结构，每一个树中各结点对应于原图像中的同一块信息，其不同尺度之间具有相似性。（5）子带之间小波系数的幅度衰减性：随着尺度由大到小而小波系数的幅度递减。
1.2 小波变换和图像的多分辨率分解
小波变换可以将一个二维信号（图像）逐层分解为逼近信号和细节分量.此时的细节分量分别为水平方向、垂直方向和对角线方向的细节分量。图像经小波变换分解成四个四分之一大小的子图：水平方向、垂直方向和对角线方向的中高频细节子图和低频逼近子图，每个子图通过间隔抽样滤波得到，后续分解后逼近子图以完全相同的方式再分解为更低一级辨率下更小的子图，以此类推。
一般，人眼的视觉对图像平滑部分细节和细微变化敏感，而对图像边缘或纹理部分的微小变化不太敏感。图像经小波变换分解成小波子图后，图像得到了很好的分类，图像边缘或纹理部分信息主要集中到中高频细节子图的较大小波数值上。
1.3 波分解后图像特征
当图像实现了小波的多分辨率分解后，并不意味着图像已实现了压缩，事实上，小波变换只是给图像压缩提供了好的图像表示形式，而数据总量并未减少，为了达到高压缩比的目的，还应对变换后的系数进行分析处理，并进行适当的取舍量化和编码，通过大量对图像进行小波分层编解码实验得知：
（1）小波对图像的分解是按倍频程方式进行的，符合人眼视觉机制。
（2）由于正交性，变换域内相关性非常小，各分解系数是独立的，图像的能量主要集中在低频分量LL上，分解层数越低，其高频带的能量也越少。高频分量HL，LH，HH表征了图像的高频边缘分量，这样更便于去掉其相关性，使能量高度集中。
（3）小波变换的系数具有一定的空间取向特性，LH表征了水平方向的边缘信息（即垂直方向的高频分量），HL表征了垂直方向的边缘信息（即水平方向的高频分量），HH表征了对角线方向的边缘信息，这为利用人眼视觉系统知识进行编码提供了合适的表示。
（4）图像经小波变换后其变换系数具有“树状结构”。
2、基于小波变换的多分辨率图像压缩算法
（1）对原始图像进行小波变换。选择合适的小波基，将图像分解为两个部分，即低频平滑部分（LL）和高频细节部分（LH、HL、HH），共4个子图像。其中，LH、HL、HH分别对应于图像的水平方向、垂直方向及对角线方向的边缘和细节。这个分解过程可重复地用于分解LL部分。
（2）对变换系数进行量化。量化方法主要有标量量化、矢量量化和零树量化等。标量量化能保持较高的重建图像质量，但压缩比较低，在实际标量量化过程中，结合人眼视觉特征得到的标量量化公式。矢量量化是对矢量集合的量化，由于变换后子图像不同的分布特性和矩特征，不适宜采用统一的矢量码书进行矢量化，应对各子图分别进行矢量化，能得到较高的压缩比，但压缩时间较长且重建图像的质量较差；零树量化则是充分利用了小波变换的优秀的时频局部特性，及各方向上分解系数间的相关性，取得了很好的压缩效果。
（3）对量化后的系数进行编码。将量化后的系数转化为字符流，使所得字符流的熵尽量小。
3、总结
基于小波变换的图像压缩方法，是一种与图像压缩自身特点相适应的高效的图像压缩方法。利用小波变换的图像多分辨率分解和良好的时频分析特性，将小波变换用于图像数据的压缩处理。经过小波分解后图像的大部分能量主要集中在低频信号中，图像边缘附近的大多数能量主要集中在高频信号中，这样在视觉允许的情况下，可以适当选取小波分解的低频信号成分来表示原图像，实现图像压缩。利用小波变换实现图像数据压缩处理可以获得高的压缩比，压缩速度快，图像数据量小，压缩后能够保持信号与图像特征基本不变，具有很好的压缩效果。
参考文献
[1] 吴晓光，谭云兰，柳志新.基于小波多分辨率分解的图像压缩技术及分析[J].计算机与现代化，2004（4）
[2] 刘杰.医学图像压缩算法研究及进展[J].北京生物医学工程，2006，25（3）
[3] 李永忠.可变深度嵌入小波图像压缩算法[J].江苏科技大学学报（自然科学版），2006，20（5）
[4] 谭毅华，王振华，田金文，柳健.率失真最优的多分辨率小波图像压缩方法[J].中国图象图形学报A辑，2004，9（8）