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【摘要】对于正整数a,设S(a)是Smarandache函数.证明了:方程S(12)+S(22)+…+S(x2)=S[]仅有正整数解x=1,2.
【关键词】线性Diophantine方程 正整数解 Smarandaehe函数.
【中图分类号】O156 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0157-01
设N是全体正整数的集合.对于正整数a,Smarandaehe[1]引入了一类新的数论函数S(a),称为Smarandaehe函数,它等于适合
n!≡0(mod a)(1)
的最小正整数n.对此,Beneze[2]提出了以下问题,方程
S(1·2)+S(2·3)+…+S[x(x+1)]=S[],x∈N
有哪些解x.
此问题乐茂华[3]已完整地解决了上述问题.那么方程
S(12)+S(22)+…+S(x2)]=S[],x∈N(2)
有哪些解x.
本文完整地解决了上述问题,即证明了:
定理方程(2)仅有解x=1,2.
证根据Smarandaehe函数的基本性质[4],可知:
S(1)=l,S(4)=4,S(5)=5,S(9)=6,S(n)≥4,n≥10(3)
从(3)可知方程(2)显然有解x=1,2.
设x是方程(3)适合x>2的解.从(2)和(3)可知
S(12)+s(22)+…+S(x2)≥1+4+6+4(x-3)=4x-1(4)
以及
S[]≥4x-1(5)
另一方面,由于
2x+1)!≡0(mod) (6)
故从定义(1)和(6)可知
S[]≤2x+1(7)
结合(5)和(7)立得
2x+1≥4x-1(8)
从(8)可得2< x ≤1这一矛盾.由此可知:方程(2)仅有解x = l,2,定理证完.
参考文献
[1] Smarandache F.A function in the nutnbcr theory[J].Ann Timisoam Univ Set Math,1980,28(1):79-88
[2] Bcncz~M.Open question forthe Smarandaehe function[J].Smarandache Notions J,2001,12:201~2o3.
[3]乐茂华关于Diophantine方程的解 [J] 湛江海洋大学学报2004(8).
[4] Dumitreseu C,Seleaeu V.Some notions and questions in number theory[M].Phoenix:Xiquan Pub House,1994.
【关键词】线性Diophantine方程 正整数解 Smarandaehe函数.
【中图分类号】O156 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0157-01
设N是全体正整数的集合.对于正整数a,Smarandaehe[1]引入了一类新的数论函数S(a),称为Smarandaehe函数,它等于适合
n!≡0(mod a)(1)
的最小正整数n.对此,Beneze[2]提出了以下问题,方程
S(1·2)+S(2·3)+…+S[x(x+1)]=S[],x∈N
有哪些解x.
此问题乐茂华[3]已完整地解决了上述问题.那么方程
S(12)+S(22)+…+S(x2)]=S[],x∈N(2)
有哪些解x.
本文完整地解决了上述问题,即证明了:
定理方程(2)仅有解x=1,2.
证根据Smarandaehe函数的基本性质[4],可知:
S(1)=l,S(4)=4,S(5)=5,S(9)=6,S(n)≥4,n≥10(3)
从(3)可知方程(2)显然有解x=1,2.
设x是方程(3)适合x>2的解.从(2)和(3)可知
S(12)+s(22)+…+S(x2)≥1+4+6+4(x-3)=4x-1(4)
以及
S[]≥4x-1(5)
另一方面,由于
2x+1)!≡0(mod) (6)
故从定义(1)和(6)可知
S[]≤2x+1(7)
结合(5)和(7)立得
2x+1≥4x-1(8)
从(8)可得2< x ≤1这一矛盾.由此可知:方程(2)仅有解x = l,2,定理证完.
参考文献
[1] Smarandache F.A function in the nutnbcr theory[J].Ann Timisoam Univ Set Math,1980,28(1):79-88
[2] Bcncz~M.Open question forthe Smarandaehe function[J].Smarandache Notions J,2001,12:201~2o3.
[3]乐茂华关于Diophantine方程的解 [J] 湛江海洋大学学报2004(8).
[4] Dumitreseu C,Seleaeu V.Some notions and questions in number theory[M].Phoenix:Xiquan Pub House,1994.