【摘要】对于正整数a,设S(a)是Smarandache函数.证明了:方程S(12)+S(22)+…+S(x2)=S[]仅有正整数解x=1,2.
　　【关键词】线性Diophantine方程 正整数解 Smarandaehe函数.
　　【中图分类号】O156 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0157-01
　　
　　设N是全体正整数的集合.对于正整数a,Smarandaehe[1]引入了一类新的数论函数S(a),称为Smarandaehe函数,它等于适合
　　n!≡0(mod a)(1)
　　的最小正整数n.对此,Beneze[2]提出了以下问题,方程
　　S(1·2)+S(2·3)+…+S[x(x+1)]=S[],x∈N
　　有哪些解x.
　　此问题乐茂华[3]已完整地解决了上述问题.那么方程
　　S(12)+S(22)+…+S(x2)]=S[],x∈N(2)
　　有哪些解x.
　　本文完整地解决了上述问题,即证明了:
　　定理方程(2)仅有解x=1,2.
　　证根据Smarandaehe函数的基本性质[4],可知:
　　S(1)=l,S(4)=4,S(5)=5,S(9)=6,S(n)≥4,n≥10(3)
　　从(3)可知方程(2)显然有解x=1,2.
　　设x是方程(3)适合x>2的解.从(2)和(3)可知
　　S(12)+s(22)+…+S(x2)≥1+4+6+4(x-3)=4x-1(4)
　　以及
　　S[]≥4x-1(5)
　　另一方面,由于
　　2x+1)!≡0(mod) (6)
　　故从定义(1)和(6)可知
　　S[]≤2x+1(7)
　　结合(5)和(7)立得
　　2x+1≥4x-1(8)
　　从(8)可得2< x ≤1这一矛盾.由此可知:方程(2)仅有解x = l,2,定理证完.
　　
　　参考文献
　　[1] Smarandache F．A function in the nutnbcr theory[J]．Ann Timisoam Univ Set Math,1980,28(1):79-88
　　 [2] Bcncz~M．Open question forthe Smarandaehe function[J]．Smarandache Notions J,2001,12:201～2o3.
　　[3]乐茂华关于Diophantine方程的解 [J] 湛江海洋大学学报2004(8).
　　[4] Dumitreseu C,Seleaeu V．Some notions and questions in number theory[M]．Phoenix:Xiquan Pub House,1994.