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[摘 要]新课标指出，推理能力的培养应贯穿整个教学过程。推理是基本的数学思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。教师应注重在数学课堂中培养学生推理能力的基本方法，即创设情境，引发合理猜想;实验验证，注重推理过程;归纳总结，导出推理结论。
[关键词]推理;圆锥;体积;猜想;验证
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）05-0077-02
新课标指出：“推理能力的培养应贯穿整个教学过程。推理是基本的数学思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。”在小学阶段，合情推理是最常用的推理方法，其进一步分为归纳推理和类比推理。在教学中，教师既应注重传授给学生基本知识和技能，也要注意培养学生的推理能力，在潜移默化中引导学生以推理的思维发现问题、分析问题和解决问题，从而为学生的长远发展打下坚实的基础。笔者以“圆锥的体积”教学为例，论述了在小学数学课堂中培養学生推理能力的基本方法，期望能给各位教师以启发。
一、创设情境，引发合理猜想
创设问题情境，引导学生积极思考、主动参与推理活动是引发合理猜想的前提。在教学中，教师应创设生动的问题情境，给予学生有趣的数学材料，通过问题引发认知冲突，为学生进行合理猜想创造条件。猜想是推理的前提，猜想为推理提供了方向。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！”新课标也明确指出：“要让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展学生的合情推理能力和初步的演绎推理能力，让他们有条理地、清晰地阐述自己的观点。”数学猜想是人的思维在探索数学本质时的一种认知策略，它是学生在已有知识储备和认知经验上运用非逻辑手段而获得的一种假设。数学猜想能缩短解题时间，为数学发现提供了更多可能，是锻炼人的数学思维的重要方式。在教学中，教师要充分利用学生已有的知识储备和认知经验，让学生去猜想、验证，并在猜想与验证中进行推理。
师：笑笑家里的小麦丰收了，小麦堆成了一座小山。这时，爷爷给笑笑出了一道难题——你知道这堆小麦的体积大约是多少立方米吗？这可让笑笑为难了。同学们，能帮笑笑解决这道难题吗？
生1：麦堆的形状近似圆锥。
生2：我们还没有学过圆锥的体积公式呢。
师：想一想，我们在推导几何图形的面积和体积公式时，最常用的方法是什么呢？
生3：我们常用到转化的方法。比如我们把圆柱转化成了长方体，从长方体体积公式推导出了圆柱的体积公式。
生4：或许我们可以把圆锥转化成圆柱。
生5：不行，它们的形状差别很大，转化起来并不容易。
师：如果把圆锥转化成长方体呢？
生6：也不行。长方体六个面都是平面，圆锥有一个曲面。
师：那我们是不是应该转换一下思路呢？
（学生讨论）
师：为什么把圆柱转化成长方体，能够顺利地推导出圆柱的体积公式呢？
生7：因为转化前后圆柱的体积和长方体的体积相同，而且圆柱和长方体等底等高。
师：那我们是不是也可以找一个和圆锥等底等高的圆柱（如右图所示），来找出二者之间的关系呢？
生8：可以，这样就间接地实现了图形的转化。
生9：我猜圆柱的体积是与之等底等高的圆锥体积的2倍。
生10：我猜圆柱的体积是与之等底等高的圆锥体积的3倍。
生11：我猜圆柱的体积是与之等底等高的圆锥体积的4倍。
在教学中，教师结合生活实际，创设了“计算麦堆的体积”的情境，激发了学生的学习兴趣，学生在思考中意识到现有的知识无法解决新的问题，进而引发了认知冲突，为下一步探索奠定了基调。如何引导学生进行合理猜想是教学的关键，尤其是教师怎样引导学生将圆锥和与其等底等高的圆柱的体积进行比较更是关键中的关键。在教学中，教师从学生已有的探究经验出发，启发学生根据把圆柱转化成长方体的经验，找出一个与圆锥等底等高的圆柱，然后猜想二者之间的体积关系。如此，学生对于“‘等底等高’是怎样想到的？”“为什么要把圆锥和等底等高的圆柱体积相比较？”等问题就了然于胸，同时，在此基础上，学生自然会猜想圆柱体积是与之等底等高的圆锥体积的几倍。
二、实验验证，注重推理过程
数学知识具有抽象性，而小学生的思维以形象思维为主，要找到把抽象知识转化为形象知识的媒介，实验操作是不二选择，而且实验活动可以有效激发学生的求知欲。在数学实验中，学生亲自动手操作，从直观动作出发，历经观察、分析等过程，最终获得真知、提升能力。实验本身具有较强的严谨性，这就要求学生在做实验时要从细节处着手，关注实验的每一个环节，尽量减小实验误差。在实验过程中学生可以培养严谨细致的习惯。
在实验中，教师可把学生分为四大组，每一组都有等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个，其中，第一、第二组以大豆为实验材料，第三、第四组以沙子为实验材料。学生往圆锥形容器里装满大豆或沙子，然后把大豆或沙子倒进圆柱形容器里，看看倒几次能把圆柱形容器装满，以此来判定二者之间的体积关系。
第一组学生：我们发现倒了两次的时候圆柱形容器还没满，但是倒第三次时，圆锥形容器里就会剩下一些大豆，因此我们认为圆柱体积是与之等底等高的圆锥体积的2.5倍。
第三组学生：我们倒了三次刚好把圆柱形容器倒满，因此我们得出“圆柱体积是与之等底等高的圆锥体积的3倍”的结论。
师：为什么不同组的实验会得出不同的结论呢？
生1：因为与沙子相比，大豆的颗粒更大些，所以大豆与大豆之间的空隙也比较大，影响了实验的精度，这样实验的误差就增大了度。
生2：而沙子与沙子之间比较“紧实”，所以用沙子做实验材料更加准确。 师：做实验时我们应该如何减小误差呢？
生3：应该选择合理的实验材料。
生4：如果条件允许，我们应该多做几次实验，这样就能得出比较准确的数据。
生5：实验操作一定要细心，比如倒沙子在圆锥形容器时要倒满，但也不能溢出，与圆锥的“口”持平即可，不要把沙子撒到容器外。
通过数学实验验证猜想是获得数学结论、实现数学推理的重要手段。教学中，教师引导学生采取了对比实验法，使学生通过对比意识到科学选择实验工具和材料的重要性。有了对比，学生才真正了解了实验当中有哪些需要注意的地方，怎样做才能最大限度地减小实验误差。在实验中，学生经历了实验设计、实验操作、实验反思的完整过程，最终得出了科学的结论，并在这个过程中培养了严谨求实的品质。
三、归纳总结，导出推理结论
通过合理猜想和实验验证两个环节，学生距离最终的结论越来越近。教师要及时引导学生总结实验结果，并通过归纳推理得出最终结论，由此完成推理过程。在这个过程中，教师要注意引导学生分析实验结果是否具有普遍性，只有经历了这样的分析和思考过程，学生才能对推理结论更加信服。
师：通过实验，我们得出“圆柱体积是与之等底等高的圆锥体积的3倍”的结论，换句话说就是，圆锥的体积是与之等底等高的圆柱体积的[13]。如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，你能写出圆锥体积的公式吗？
生1：V=[13]Sh。
师：要计算圆锥的体积，需要知道哪些条件？
生2：要知道圓锥的底面半径或直径和高。
师：让我们回到笑笑爷爷出的问题，现在，你能帮助笑笑解决这个问题了吗？
生3：可以用缠绕法量出麦堆底面的周长，然后求出其半径，进一步求得底面积，再量麦堆的高，这样就能求出麦堆的体积了。
有了前面实验分析的铺垫，学生理解“圆锥的体积是与之等底等高的圆柱体积的[13]”这一结论并非难事，学生也就水到渠成地据此推导出圆锥的体积公式了。在这一环节中，教师发挥了学生的主体作用，让学生自己得出结论，从而使学生体验了合理猜想、实验验证、归纳推理的完整过程。
推理能力是数学核心素养的重要组成部分。然而，推理的过程是环环相扣的，猜想、验证、归纳都是推理不可或缺的重要环节。因此，教师要在教学中融入推理活动的各环节，引导学生在原有认知上大胆猜想，进行验证，并在这个过程中发展学生的推理能力。
（责编 黄 露）
[关键词]推理;圆锥;体积;猜想;验证
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）05-0077-02
新课标指出：“推理能力的培养应贯穿整个教学过程。推理是基本的数学思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。”在小学阶段，合情推理是最常用的推理方法，其进一步分为归纳推理和类比推理。在教学中，教师既应注重传授给学生基本知识和技能，也要注意培养学生的推理能力，在潜移默化中引导学生以推理的思维发现问题、分析问题和解决问题，从而为学生的长远发展打下坚实的基础。笔者以“圆锥的体积”教学为例，论述了在小学数学课堂中培養学生推理能力的基本方法，期望能给各位教师以启发。
一、创设情境，引发合理猜想
创设问题情境，引导学生积极思考、主动参与推理活动是引发合理猜想的前提。在教学中，教师应创设生动的问题情境，给予学生有趣的数学材料，通过问题引发认知冲突，为学生进行合理猜想创造条件。猜想是推理的前提，猜想为推理提供了方向。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！”新课标也明确指出：“要让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展学生的合情推理能力和初步的演绎推理能力，让他们有条理地、清晰地阐述自己的观点。”数学猜想是人的思维在探索数学本质时的一种认知策略，它是学生在已有知识储备和认知经验上运用非逻辑手段而获得的一种假设。数学猜想能缩短解题时间，为数学发现提供了更多可能，是锻炼人的数学思维的重要方式。在教学中，教师要充分利用学生已有的知识储备和认知经验，让学生去猜想、验证，并在猜想与验证中进行推理。
师：笑笑家里的小麦丰收了，小麦堆成了一座小山。这时，爷爷给笑笑出了一道难题——你知道这堆小麦的体积大约是多少立方米吗？这可让笑笑为难了。同学们，能帮笑笑解决这道难题吗？
生1：麦堆的形状近似圆锥。
生2：我们还没有学过圆锥的体积公式呢。
师：想一想，我们在推导几何图形的面积和体积公式时，最常用的方法是什么呢？
生3：我们常用到转化的方法。比如我们把圆柱转化成了长方体，从长方体体积公式推导出了圆柱的体积公式。
生4：或许我们可以把圆锥转化成圆柱。
生5：不行，它们的形状差别很大，转化起来并不容易。
师：如果把圆锥转化成长方体呢？
生6：也不行。长方体六个面都是平面，圆锥有一个曲面。
师：那我们是不是应该转换一下思路呢？
（学生讨论）
师：为什么把圆柱转化成长方体，能够顺利地推导出圆柱的体积公式呢？
生7：因为转化前后圆柱的体积和长方体的体积相同，而且圆柱和长方体等底等高。
师：那我们是不是也可以找一个和圆锥等底等高的圆柱（如右图所示），来找出二者之间的关系呢？
生8：可以，这样就间接地实现了图形的转化。
生9：我猜圆柱的体积是与之等底等高的圆锥体积的2倍。
生10：我猜圆柱的体积是与之等底等高的圆锥体积的3倍。
生11：我猜圆柱的体积是与之等底等高的圆锥体积的4倍。
在教学中，教师结合生活实际，创设了“计算麦堆的体积”的情境，激发了学生的学习兴趣，学生在思考中意识到现有的知识无法解决新的问题，进而引发了认知冲突，为下一步探索奠定了基调。如何引导学生进行合理猜想是教学的关键，尤其是教师怎样引导学生将圆锥和与其等底等高的圆柱的体积进行比较更是关键中的关键。在教学中，教师从学生已有的探究经验出发，启发学生根据把圆柱转化成长方体的经验，找出一个与圆锥等底等高的圆柱，然后猜想二者之间的体积关系。如此，学生对于“‘等底等高’是怎样想到的？”“为什么要把圆锥和等底等高的圆柱体积相比较？”等问题就了然于胸，同时，在此基础上，学生自然会猜想圆柱体积是与之等底等高的圆锥体积的几倍。
二、实验验证，注重推理过程
数学知识具有抽象性，而小学生的思维以形象思维为主，要找到把抽象知识转化为形象知识的媒介，实验操作是不二选择，而且实验活动可以有效激发学生的求知欲。在数学实验中，学生亲自动手操作，从直观动作出发，历经观察、分析等过程，最终获得真知、提升能力。实验本身具有较强的严谨性，这就要求学生在做实验时要从细节处着手，关注实验的每一个环节，尽量减小实验误差。在实验过程中学生可以培养严谨细致的习惯。
在实验中，教师可把学生分为四大组，每一组都有等底等高的圆柱形和圆锥形容器各一个，其中，第一、第二组以大豆为实验材料，第三、第四组以沙子为实验材料。学生往圆锥形容器里装满大豆或沙子，然后把大豆或沙子倒进圆柱形容器里，看看倒几次能把圆柱形容器装满，以此来判定二者之间的体积关系。
第一组学生：我们发现倒了两次的时候圆柱形容器还没满，但是倒第三次时，圆锥形容器里就会剩下一些大豆，因此我们认为圆柱体积是与之等底等高的圆锥体积的2.5倍。
第三组学生：我们倒了三次刚好把圆柱形容器倒满，因此我们得出“圆柱体积是与之等底等高的圆锥体积的3倍”的结论。
师：为什么不同组的实验会得出不同的结论呢？
生1：因为与沙子相比，大豆的颗粒更大些，所以大豆与大豆之间的空隙也比较大，影响了实验的精度，这样实验的误差就增大了度。
生2：而沙子与沙子之间比较“紧实”，所以用沙子做实验材料更加准确。 师：做实验时我们应该如何减小误差呢？
生3：应该选择合理的实验材料。
生4：如果条件允许，我们应该多做几次实验，这样就能得出比较准确的数据。
生5：实验操作一定要细心，比如倒沙子在圆锥形容器时要倒满，但也不能溢出，与圆锥的“口”持平即可，不要把沙子撒到容器外。
通过数学实验验证猜想是获得数学结论、实现数学推理的重要手段。教学中，教师引导学生采取了对比实验法，使学生通过对比意识到科学选择实验工具和材料的重要性。有了对比，学生才真正了解了实验当中有哪些需要注意的地方，怎样做才能最大限度地减小实验误差。在实验中，学生经历了实验设计、实验操作、实验反思的完整过程，最终得出了科学的结论，并在这个过程中培养了严谨求实的品质。
三、归纳总结，导出推理结论
通过合理猜想和实验验证两个环节，学生距离最终的结论越来越近。教师要及时引导学生总结实验结果，并通过归纳推理得出最终结论，由此完成推理过程。在这个过程中，教师要注意引导学生分析实验结果是否具有普遍性，只有经历了这样的分析和思考过程，学生才能对推理结论更加信服。
师：通过实验，我们得出“圆柱体积是与之等底等高的圆锥体积的3倍”的结论，换句话说就是，圆锥的体积是与之等底等高的圆柱体积的[13]。如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，你能写出圆锥体积的公式吗？
生1：V=[13]Sh。
师：要计算圆锥的体积，需要知道哪些条件？
生2：要知道圓锥的底面半径或直径和高。
师：让我们回到笑笑爷爷出的问题，现在，你能帮助笑笑解决这个问题了吗？
生3：可以用缠绕法量出麦堆底面的周长，然后求出其半径，进一步求得底面积，再量麦堆的高，这样就能求出麦堆的体积了。
有了前面实验分析的铺垫，学生理解“圆锥的体积是与之等底等高的圆柱体积的[13]”这一结论并非难事，学生也就水到渠成地据此推导出圆锥的体积公式了。在这一环节中，教师发挥了学生的主体作用，让学生自己得出结论，从而使学生体验了合理猜想、实验验证、归纳推理的完整过程。
推理能力是数学核心素养的重要组成部分。然而，推理的过程是环环相扣的，猜想、验证、归纳都是推理不可或缺的重要环节。因此，教师要在教学中融入推理活动的各环节，引导学生在原有认知上大胆猜想，进行验证，并在这个过程中发展学生的推理能力。
（责编 黄 露）