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摘 要：对比、归纳、总结思想方法在数学学习中具有十分重要的作用，本文着重介绍在数学教学中如何培养学生的这三种基本的数学素养。
关键词：对比；归纳；总结；数学素养
中图分类号：G642 文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2012）08-0013-03
美国著名心理学家布鲁纳曾指出：“学习是一种能力的建构过程，应着重培养学生的学习能力，使整个教学过程中学生成为一个积极的探索者。”如何使数学教学科学化，最优化，使其既能达到提高学生基本素养的要求，又能让学生产生一种极大的内趋力去主动探索数学的奥秘，体验解决数学问题过程中创造和挖掘不同的思路，而让学生感受成功和喜悦的体验是作为教学组织者的重要课题。所以教师在教学中应合理巧妙地创设教学情境，把对比，归纳，总结这三种思想方法融入到整个教学过程中，引导学生自主学习，来亲近数学，体验数学，“再创造”数学和应用数学，真正成为数学学习的主人。
要做到这一点，看似容易但真正操作起来却较难，在数学教学中，引导学生在对比，归纳，总结中发现问题是很重要的，然后再是不断思考怎样解决问题，有疑才会有问，有问才有所思，有思才能促进学习能力的升华。通过对比，归纳，总结去促进数学思维能力的提高。这三种基本思想方法不仅具有一般学科思维能力的特征，同时还具有数学学科的特征，根据它的特征我们在教学活动中如何主动，自觉地着重培养学生的对比逻辑思维和归纳总结数学思维能力？下面结合例子作简要的叙述。
一、对比
对比是比较确定对象之间的相同点与相异点的一种逻辑方法。它可以在相同与相异的对象之间进行，也可以在同类对象的不同方面进行。在数学学习中，它可以帮助学生找出概念，数学命题之间的区别与联系，澄清一些易于混淆的概念，从而对数学的概念，原理及数学解题方法的深入理解。同时，对比既是形成概念的方法，也是发现规律的方法，正如莱布尼兹所言：“比较同一个量的两种不同表达式时，可以求得某个未知量；比较同一个结果的两种不同推导方法时，可以发现一个新的思路。”在教学中，引导学生对于相同点的比较要注意发现它们相异之处；对于相异点的比较要注意发现它们相同之处。通过对比，可以培养学生的数学辨证思维能力，下面我们结合实际例子说明对比在学习概念，解题中的重要性。
例1：我们在研究组合数学Ckn的数值时,有以下数值表
仔细观察这个数值表,对比大家所熟悉的杨辉三角形式：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … … … …
不难发现组合数的数值表与杨辉三角的形式几乎完全一样，数值大小是完全相等。通过对比我们可以积累丰富的知识，形成较为完备的数学知识理论体系，其实数学中许多知识都是相互联系的，通过对比则会思路清晰许多,请看下面的例子：
例2：在组合数学中的组合计数有个牛顿公式
(1）En=(△+I)n=∑nj=0(nj)△j (n=0,1,2,3…)
(2）△n=(E-I)n=∑nj=0(-1)n-j(nj)Ej (n=0,1,2,3…)
仔细对比一下与我们高中所学的二项式定理从形式上讲，是完全一致的，二项式定理的形式为：
(I）(a+b)n=∑nk=0(nk)akbn－k (n为正整数a，b为任意实数)
(II）(a－b)n=∑nk=0(nk)(－1)n－kakbn－k (n为正整数a，b为任意实数)
而在牛顿公式中I为恒等算子,于是我们写出与二项式相同的形式有：
(1）En=(△+I)n=∑nj=0(nj)△jIn-jI为恒等算子=∑nj=0(nj)△j (n=0,1,2,3 …)
(2)△n=(E-I)n=∑（-1）n-j（nj）EjIn-jI为恒等算子=∑nj=0（-1）n-j(nj)Ej (n=0,1,2…)
通过这样的对比将两个公式完全联系在了一起，记忆起来就十分简单。类似的例子在数学在中有很多，应用对比的方法有助于提高我们的学习效率。
二、归纳
所谓归纳，是指通过分析部分特殊的事例概括得出普通的结论，它是一种由特殊到一般的推理方法，不过需注意的是，并非所有推出的结果都为真，除了完全归纳可以用作证明外，归纳法只能作为一种发现“似真”结果的方法，也正因为它可帮助我们发现新的结果，所以它在数学发现中具有十分重要的作用。许多的数学家都是靠归纳法去发现新定理的。
归纳是以观察为基础，以发现为特色，无论是建立在类比的基础上还是建立在抽象分析上的归纳都离不开观察。这是归纳的主要特征，所以我们在教学中，要善于运用各种对象之间的联系进行比较观察，引导学生主动分析各对象的构成和已有的归纳结果，根据前人归纳结论中，领悟归纳思想，从而提高归纳能力。
例3：哥德巴赫猜想。1742年德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach1690～1764）根据大奇数的观察：21=11+7+3;
39=31+5+3;
77=53+17+7;
461=449+7+5=257+199+5;
… … … …
归纳出了一个规律：所有大于5的奇数都可以分解为三个质数之和,他把这一猜想告诉了著名数学家欧拉,欧拉肯定了他的猜想,并以一个更简单的命题提出：4以后的每个偶数都可以分解为两个质数之和, 其实欧拉也是从观察入手的,因为：
6=3+3; 8=5+3; 10=7+3;
12=7+5; 14=11+3; 16=13+3;
18=11+7; 20=13+7; 24=17+7;
36=31+5; 70=53+17
… … … …
由于欧拉提出的命题可以推出哥德巴赫提出的命题,于是后人便把这两个命题合成一个,并称之为“哥德巴赫猜想”，由于这一猜想使用的是不完全归纳法，因而不能成为命题的证明。至今，两个世纪都过去了，这个难题象一座未征服的高峰，吸引着许多数学家为它的证明而奋斗。我国数学家陈景润1966年证明了：“每一个充分大的偶数都能表示为一个质数及一个不超过两个质数的积的和”(简称2+1),1973年发表了全部详细的论证,把证明猜想逼近了一大步,但仍未能得出猜想的证明,由此可以看出归纳法的第二个特征：归纳法结果“似真”,尚需严格证明。由于归纳法结果“似真”，难免出现假的结论，就连一些大数学家也曾出现过归纳错误的情况。 例4：费尔马数。法国大数学家费尔马曾依据
221+1=5
222+1=17
223+1=257
224+1=65537
都是质数的事实,提出过如下的猜想：“任何形如22n+1(其中n为自然数)的数都是质数,称为‘费尔马数’记为Fn”,然而,事隔半个多世纪，欧拉于1732年却发现第5个费尔马数就不是质数：
F5=225+1=4294967297=641×6700417
费尔马数出现错误说明，归纳法所得的结论是“似真”的,它的正确性必须经过严格的证明后才能承认。
在这里，需要指出的是本文中说的归纳法和数学归纳法是有所不同的，数学归纳法是一种论证推理，是用来证明同自然数有关的猜想的一种方法，而这种猜想通常是我们用某种归纳法推理所获得的。所以在教学过程中给学生演示归纳时一定要保证结论的正确性，同时注意分开数学归纳法与归纳法之间的相互关系：归纳法是数学归纳法的必要前提，数学归纳法是归纳法的自然发展；在归纳的过程中往往又为应用数学归纳法的证明打下基础，证明的过程则又可深化我们对原来归纳出来的结论的理解和作出必要的改进。当然在解决实际问题时，要注意多种方法的密切配合，特别是在分析，比较的基础上进行的归纳，以提高归纳的正确度。
三、总结
所谓总结，就是将所研究的对象的每个部分，各个因素和层次综合起来形成对它的一个整体认识性的结论。不过，总结数学思想方法是有前提条件的，并不是单纯的将一个事物汇总一下，是建立在具体数学现象或数学问题的认真分析，积极思考的前提下，再发现其中所具备的共同规律或相互联系。总结对于数学学习中具有十分重要的作用，我们在教学中应多注重培养学生的总结能力，它不是属于真正什么“创造性”的东西，而是对于一组数据，一组概念的加深理解形成自己的思维方法和知识体系，有着十分重要的作用。请看下面的例子：
例5：对于点，线，面，空间概念的理解，我们可以总结如下：
“点是位置的单位元素。”这是毕达哥拉斯派的几何概念，在这句华丽的文辞背后，我们可以看出一种质朴的概念：线是由无穷多个点(原子级别)次第连接而成的，放大以后可以看作是项链是由一串珠子组成一样。同理，无穷多条线组成一个平面；无穷多个平面组成一个空间。
另一方面：两点决定一条直线，这是直线公理；至少要两条直线才能决定一个平面(无论是平面直线还是相交直线均可以)；至少要两个平面才可以决定一个空间。如果我们用点来描述这些概念的话，那么我们可以总结成：至少两点才能决定一条直线；至少需要不在同一条直线上的三点才能决定一个平面；至少需要不在同一平面上的四点才能决定一个空间。
经过这样的总结以后，学生在学习中掌握的不仅仅是这些知识，而更重要的是学会了一种学习的方法，在以后的学习中倍感轻松。
例6：看一个有趣的算式：
1＋2＋1 = 4 = 22 (1)
1＋2＋3＋2＋1 = 9 = 32 (2)
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1 = 16 = 42 (3)
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1 = 25 = 52 (4)
… … … … … … … …
于是,我们可总结成：1＋2＋3＋4+…＋(n－1)＋n＋…＋2＋1 = n2 (※)
而且,我们对它的证明可以简单的总结为两种方法：
（一）代数方法
左边=(1＋2＋3＋4+……＋n－1＋n)＋(n－1＋n-2+…＋3＋2＋1)
=n(n+1)2+(n－1)(n－1+1)2
=n2
即得证。
（二）几何方法
由图I加图II即为(1),可以构成二行二列的点图,从而为22
由图II加图III即为(2),可以构成三行三列的点图,从而为32
… … … …
可以得证(※)式,即1＋2＋3＋4+……＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1 = n2
类似上面的例子有很多,由于篇幅的关系，不必一一列举出来。通过以上的实例我们可以发现在数学的学习过程中用到的方法有许多，可以说是“条条大路通罗马”，而且每一种方法都有它的奇妙之处。同时还相互联系，相互渗透。如文中所述的对比，归纳，总结这三种基本的方法也不是单独的形式存在的：对比中可以归纳总结；总结时也有不断地对比相近或相似的结论的特征。当一种方法失效时要迅速地换用其它方法或改变思考方式转变到其它的途径上去，而不能拘泥于一种方法。在教学中则需不停的挖掘新思路，新方法，引导学生积极思考，发挥主观能动性，运用对比，归纳，总结这三种最基本的学习方法积极地探究学习。从而达到举一反三，融会贯通的水平和能力，形成较为完整的知识体系。
总之，在具体的教学过程中，主要是教师的灵活把握，采取可行的有效的方式方法，可以抛砖引玉；也可以引而不发。让学生发挥主体作用，学会思考，学会学习，不断提高其对比，归纳，总结的能力，以达到培养学生良好的数学素养的目的。
参考文献：
［1］王子兴.数学方法论——问题解决的理论［M］.长沙：中南大学出版社,2002.
［2］T.丹齐克.数：科学的语言［M］.上海：上海教育出版社,2000.
［3］施鸿瑜.让学生成为数学学习的主人［J］.教育艺术,2004,(5).
［4］李文林.数学史概论［M］.北京：高等教育出版社,2002.
［5］曹汝成.组合数学［M］.广州：华南理工出版社,2000.
关键词：对比；归纳；总结；数学素养
中图分类号：G642 文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2012）08-0013-03
美国著名心理学家布鲁纳曾指出：“学习是一种能力的建构过程，应着重培养学生的学习能力，使整个教学过程中学生成为一个积极的探索者。”如何使数学教学科学化，最优化，使其既能达到提高学生基本素养的要求，又能让学生产生一种极大的内趋力去主动探索数学的奥秘，体验解决数学问题过程中创造和挖掘不同的思路，而让学生感受成功和喜悦的体验是作为教学组织者的重要课题。所以教师在教学中应合理巧妙地创设教学情境，把对比，归纳，总结这三种思想方法融入到整个教学过程中，引导学生自主学习，来亲近数学，体验数学，“再创造”数学和应用数学，真正成为数学学习的主人。
要做到这一点，看似容易但真正操作起来却较难，在数学教学中，引导学生在对比，归纳，总结中发现问题是很重要的，然后再是不断思考怎样解决问题，有疑才会有问，有问才有所思，有思才能促进学习能力的升华。通过对比，归纳，总结去促进数学思维能力的提高。这三种基本思想方法不仅具有一般学科思维能力的特征，同时还具有数学学科的特征，根据它的特征我们在教学活动中如何主动，自觉地着重培养学生的对比逻辑思维和归纳总结数学思维能力？下面结合例子作简要的叙述。
一、对比
对比是比较确定对象之间的相同点与相异点的一种逻辑方法。它可以在相同与相异的对象之间进行，也可以在同类对象的不同方面进行。在数学学习中，它可以帮助学生找出概念，数学命题之间的区别与联系，澄清一些易于混淆的概念，从而对数学的概念，原理及数学解题方法的深入理解。同时，对比既是形成概念的方法，也是发现规律的方法，正如莱布尼兹所言：“比较同一个量的两种不同表达式时，可以求得某个未知量；比较同一个结果的两种不同推导方法时，可以发现一个新的思路。”在教学中，引导学生对于相同点的比较要注意发现它们相异之处；对于相异点的比较要注意发现它们相同之处。通过对比，可以培养学生的数学辨证思维能力，下面我们结合实际例子说明对比在学习概念，解题中的重要性。
例1：我们在研究组合数学Ckn的数值时,有以下数值表
仔细观察这个数值表,对比大家所熟悉的杨辉三角形式：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … … … …
不难发现组合数的数值表与杨辉三角的形式几乎完全一样，数值大小是完全相等。通过对比我们可以积累丰富的知识，形成较为完备的数学知识理论体系，其实数学中许多知识都是相互联系的，通过对比则会思路清晰许多,请看下面的例子：
例2：在组合数学中的组合计数有个牛顿公式
(1）En=(△+I)n=∑nj=0(nj)△j (n=0,1,2,3…)
(2）△n=(E-I)n=∑nj=0(-1)n-j(nj)Ej (n=0,1,2,3…)
仔细对比一下与我们高中所学的二项式定理从形式上讲，是完全一致的，二项式定理的形式为：
(I）(a+b)n=∑nk=0(nk)akbn－k (n为正整数a，b为任意实数)
(II）(a－b)n=∑nk=0(nk)(－1)n－kakbn－k (n为正整数a，b为任意实数)
而在牛顿公式中I为恒等算子,于是我们写出与二项式相同的形式有：
(1）En=(△+I)n=∑nj=0(nj)△jIn-jI为恒等算子=∑nj=0(nj)△j (n=0,1,2,3 …)
(2)△n=(E-I)n=∑（-1）n-j（nj）EjIn-jI为恒等算子=∑nj=0（-1）n-j(nj)Ej (n=0,1,2…)
通过这样的对比将两个公式完全联系在了一起，记忆起来就十分简单。类似的例子在数学在中有很多，应用对比的方法有助于提高我们的学习效率。
二、归纳
所谓归纳，是指通过分析部分特殊的事例概括得出普通的结论，它是一种由特殊到一般的推理方法，不过需注意的是，并非所有推出的结果都为真，除了完全归纳可以用作证明外，归纳法只能作为一种发现“似真”结果的方法，也正因为它可帮助我们发现新的结果，所以它在数学发现中具有十分重要的作用。许多的数学家都是靠归纳法去发现新定理的。
归纳是以观察为基础，以发现为特色，无论是建立在类比的基础上还是建立在抽象分析上的归纳都离不开观察。这是归纳的主要特征，所以我们在教学中，要善于运用各种对象之间的联系进行比较观察，引导学生主动分析各对象的构成和已有的归纳结果，根据前人归纳结论中，领悟归纳思想，从而提高归纳能力。
例3：哥德巴赫猜想。1742年德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach1690～1764）根据大奇数的观察：21=11+7+3;
39=31+5+3;
77=53+17+7;
461=449+7+5=257+199+5;
… … … …
归纳出了一个规律：所有大于5的奇数都可以分解为三个质数之和,他把这一猜想告诉了著名数学家欧拉,欧拉肯定了他的猜想,并以一个更简单的命题提出：4以后的每个偶数都可以分解为两个质数之和, 其实欧拉也是从观察入手的,因为：
6=3+3; 8=5+3; 10=7+3;
12=7+5; 14=11+3; 16=13+3;
18=11+7; 20=13+7; 24=17+7;
36=31+5; 70=53+17
… … … …
由于欧拉提出的命题可以推出哥德巴赫提出的命题,于是后人便把这两个命题合成一个,并称之为“哥德巴赫猜想”，由于这一猜想使用的是不完全归纳法，因而不能成为命题的证明。至今，两个世纪都过去了，这个难题象一座未征服的高峰，吸引着许多数学家为它的证明而奋斗。我国数学家陈景润1966年证明了：“每一个充分大的偶数都能表示为一个质数及一个不超过两个质数的积的和”(简称2+1),1973年发表了全部详细的论证,把证明猜想逼近了一大步,但仍未能得出猜想的证明,由此可以看出归纳法的第二个特征：归纳法结果“似真”,尚需严格证明。由于归纳法结果“似真”，难免出现假的结论，就连一些大数学家也曾出现过归纳错误的情况。 例4：费尔马数。法国大数学家费尔马曾依据
221+1=5
222+1=17
223+1=257
224+1=65537
都是质数的事实,提出过如下的猜想：“任何形如22n+1(其中n为自然数)的数都是质数,称为‘费尔马数’记为Fn”,然而,事隔半个多世纪，欧拉于1732年却发现第5个费尔马数就不是质数：
F5=225+1=4294967297=641×6700417
费尔马数出现错误说明，归纳法所得的结论是“似真”的,它的正确性必须经过严格的证明后才能承认。
在这里，需要指出的是本文中说的归纳法和数学归纳法是有所不同的，数学归纳法是一种论证推理，是用来证明同自然数有关的猜想的一种方法，而这种猜想通常是我们用某种归纳法推理所获得的。所以在教学过程中给学生演示归纳时一定要保证结论的正确性，同时注意分开数学归纳法与归纳法之间的相互关系：归纳法是数学归纳法的必要前提，数学归纳法是归纳法的自然发展；在归纳的过程中往往又为应用数学归纳法的证明打下基础，证明的过程则又可深化我们对原来归纳出来的结论的理解和作出必要的改进。当然在解决实际问题时，要注意多种方法的密切配合，特别是在分析，比较的基础上进行的归纳，以提高归纳的正确度。
三、总结
所谓总结，就是将所研究的对象的每个部分，各个因素和层次综合起来形成对它的一个整体认识性的结论。不过，总结数学思想方法是有前提条件的，并不是单纯的将一个事物汇总一下，是建立在具体数学现象或数学问题的认真分析，积极思考的前提下，再发现其中所具备的共同规律或相互联系。总结对于数学学习中具有十分重要的作用，我们在教学中应多注重培养学生的总结能力，它不是属于真正什么“创造性”的东西，而是对于一组数据，一组概念的加深理解形成自己的思维方法和知识体系，有着十分重要的作用。请看下面的例子：
例5：对于点，线，面，空间概念的理解，我们可以总结如下：
“点是位置的单位元素。”这是毕达哥拉斯派的几何概念，在这句华丽的文辞背后，我们可以看出一种质朴的概念：线是由无穷多个点(原子级别)次第连接而成的，放大以后可以看作是项链是由一串珠子组成一样。同理，无穷多条线组成一个平面；无穷多个平面组成一个空间。
另一方面：两点决定一条直线，这是直线公理；至少要两条直线才能决定一个平面(无论是平面直线还是相交直线均可以)；至少要两个平面才可以决定一个空间。如果我们用点来描述这些概念的话，那么我们可以总结成：至少两点才能决定一条直线；至少需要不在同一条直线上的三点才能决定一个平面；至少需要不在同一平面上的四点才能决定一个空间。
经过这样的总结以后，学生在学习中掌握的不仅仅是这些知识，而更重要的是学会了一种学习的方法，在以后的学习中倍感轻松。
例6：看一个有趣的算式：
1＋2＋1 = 4 = 22 (1)
1＋2＋3＋2＋1 = 9 = 32 (2)
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1 = 16 = 42 (3)
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1 = 25 = 52 (4)
… … … … … … … …
于是,我们可总结成：1＋2＋3＋4+…＋(n－1)＋n＋…＋2＋1 = n2 (※)
而且,我们对它的证明可以简单的总结为两种方法：
（一）代数方法
左边=(1＋2＋3＋4+……＋n－1＋n)＋(n－1＋n-2+…＋3＋2＋1)
=n(n+1)2+(n－1)(n－1+1)2
=n2
即得证。
（二）几何方法
由图I加图II即为(1),可以构成二行二列的点图,从而为22
由图II加图III即为(2),可以构成三行三列的点图,从而为32
… … … …
可以得证(※)式,即1＋2＋3＋4+……＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1 = n2
类似上面的例子有很多,由于篇幅的关系，不必一一列举出来。通过以上的实例我们可以发现在数学的学习过程中用到的方法有许多，可以说是“条条大路通罗马”，而且每一种方法都有它的奇妙之处。同时还相互联系，相互渗透。如文中所述的对比，归纳，总结这三种基本的方法也不是单独的形式存在的：对比中可以归纳总结；总结时也有不断地对比相近或相似的结论的特征。当一种方法失效时要迅速地换用其它方法或改变思考方式转变到其它的途径上去，而不能拘泥于一种方法。在教学中则需不停的挖掘新思路，新方法，引导学生积极思考，发挥主观能动性，运用对比，归纳，总结这三种最基本的学习方法积极地探究学习。从而达到举一反三，融会贯通的水平和能力，形成较为完整的知识体系。
总之，在具体的教学过程中，主要是教师的灵活把握，采取可行的有效的方式方法，可以抛砖引玉；也可以引而不发。让学生发挥主体作用，学会思考，学会学习，不断提高其对比，归纳，总结的能力，以达到培养学生良好的数学素养的目的。
参考文献：
［1］王子兴.数学方法论——问题解决的理论［M］.长沙：中南大学出版社,2002.
［2］T.丹齐克.数：科学的语言［M］.上海：上海教育出版社,2000.
［3］施鸿瑜.让学生成为数学学习的主人［J］.教育艺术,2004,(5).
［4］李文林.数学史概论［M］.北京：高等教育出版社,2002.
［5］曹汝成.组合数学［M］.广州：华南理工出版社,2000.