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[摘 要]“程序化水平”是指学生按顺序熟练地处理数学问题的能力，“结构化水平”是指学生按原理灵活地处理数学问题的能力。以“三位数除以一位数”教学内容为例分析了引导学生由“程序化水平”升华为“结构化水平”的基本路径。
[关键词]程序化水平 结构化水平 算理 算法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）05-013
先对题目中的两个词做一个解释：“程序化水平”和“结构化水平”，这两个看上去非常专业的名词，是基于我自己在教学实践中产生的真切感受，并结合个人对相关词语的理解而自行杜撰出来的，旨在用它们来描述和区分学生对于相关知识的理解已经达到的不同的水平层次。
“程序化水平”是指学生能够运用概念和规则，按照正常的操作步骤正确处理问题的能力；“结构化水平”是指学生能够凭借概念和规则，在打乱正常操作顺序的情况下，依然能够正确而灵活地处理问题的能力。很明显，“结构化水平”高出“程序化水平”一个层次。
举个例子帮助理解。如“三位数除以一位数”的计算，达到“程序化水平”的标志是学生能够按照计算法则所设定的步骤实施相关的操作，并且表现出相对流畅熟练的状态；达到“结构化水平”的标志是学生能够适时地摆脱计算法则既定的操作顺序的束缚，而进入相对自如而灵活的境界。更直观和直接地说，“程序化水平”的学生只能计算图1的题，而结构化水平的学生则不仅能计算图1的题，而且能探索图2的题。
也许有人认为，可能是学生熟练程度还不够吧。可是，在经过长达一个月的“除法”单元学习和训练后，几乎所有的学生都能达到熟练的程序化水平，但是能自然达到“结构化水平”的学生依然是十之二、三。这是为什么呢？原因就是达到“程序化水平”和“结构化水平”的基础和路径不是完全一致，有些情况下还可能背道而驰。
具体来说，学生完全可能在不理解除法算理的前提下，仅是依靠多次模仿和强行记忆来实施相应的算法操作，从而达成“程序化水平”。而“结构化水平”恰是建立在理解算理，明晰每一步计算中被除数、除数、商、积、余数之间关系的基础上。只有这样的学生才能通过适当的练习首先达到“程序化水平”，再伴随着算法熟练程度的提高，升华为“结构化水平”。相反，如果一个学生属于前一种情况，多加练习只会使他（她）每一步的操作更加游离于有意识思维的监控之外，从而演变成一种纯粹机械的下意识活动。要想他（她）能够从“程序化水平”上升至“结构化水平”，就必须回头补上“算理”这一课。只有在算理和算法的“双轮驱动”下，才能帮助学生实现既定的目标。
如此分析，促进学生结构化水平达成的方法也就慢慢浮现——
一是要加强算理教学。
算理教学最好是在对比中进行，以题组的形式出现。
例如：（1）在口算300÷3时，可以把它看成是（ ）个（ ）除以3，商是（ ）个（ ），就是（ ）。
（2）在口算300÷5时，可以把它看成是（ ）个（ ）除以5，商是（ ）个（ ），就是（ ）。
再如：（1）在口算84÷7时，应该先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ） （ ）=（ ）。
（2）在口算84÷6时，应该先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ） （ ）=（ ）。
（3）在口算84÷4时，应该先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ） （ ）=（ ）。
这样的题组既可以让学生理解算理，又可以培养学生思维的灵活性。
二是要培养整体观念。
在学生掌握基本的算法程序后，要能及时地让学生从具体的计算题的背景中跳出来，观察、欣赏竖式计算的整体样貌。如，可以出现竖式除法的标准框架（如图3），并提出一些问题：（1）这道除法可分成几步？（2）每步的上面一个数与下面一个数分别是怎么来的？表示什么意思？帮助学生建立对于除法的整体观念，促进学生理解算理，掌握算法。
在学完这个单元后，还可以要求学生按照三位数除以一位数的不同情况，画出不同的竖式框架，帮助学生区分各种情况的不同之处，寻找各种情况的内在联系，整体构建关于这一类除法的认知结构。（图略）
三是要经常双向思维。
要让学生在顺向思维的基础上，有较多的机会开展逆向思维，让学生的思维在双向操作中自由穿梭。
如，可设计这样的习题让学生展开思考：请根据有余数除法的横式记录情况，（ ）÷6=54……2，填写类似于图3的除法竖式框架图。（图略）
这样的练习无疑能指引学生更好地把握除法竖式中数与数之间的相互关联，逐步摆脱除法法则规定的运算顺序的束缚，朝着更加灵活机动的方向迈进。
（责编 金 铃）
[关键词]程序化水平 结构化水平 算理 算法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）05-013
先对题目中的两个词做一个解释：“程序化水平”和“结构化水平”，这两个看上去非常专业的名词，是基于我自己在教学实践中产生的真切感受，并结合个人对相关词语的理解而自行杜撰出来的，旨在用它们来描述和区分学生对于相关知识的理解已经达到的不同的水平层次。
“程序化水平”是指学生能够运用概念和规则，按照正常的操作步骤正确处理问题的能力；“结构化水平”是指学生能够凭借概念和规则，在打乱正常操作顺序的情况下，依然能够正确而灵活地处理问题的能力。很明显，“结构化水平”高出“程序化水平”一个层次。
举个例子帮助理解。如“三位数除以一位数”的计算，达到“程序化水平”的标志是学生能够按照计算法则所设定的步骤实施相关的操作，并且表现出相对流畅熟练的状态；达到“结构化水平”的标志是学生能够适时地摆脱计算法则既定的操作顺序的束缚，而进入相对自如而灵活的境界。更直观和直接地说，“程序化水平”的学生只能计算图1的题，而结构化水平的学生则不仅能计算图1的题，而且能探索图2的题。
也许有人认为，可能是学生熟练程度还不够吧。可是，在经过长达一个月的“除法”单元学习和训练后，几乎所有的学生都能达到熟练的程序化水平，但是能自然达到“结构化水平”的学生依然是十之二、三。这是为什么呢？原因就是达到“程序化水平”和“结构化水平”的基础和路径不是完全一致，有些情况下还可能背道而驰。
具体来说，学生完全可能在不理解除法算理的前提下，仅是依靠多次模仿和强行记忆来实施相应的算法操作，从而达成“程序化水平”。而“结构化水平”恰是建立在理解算理，明晰每一步计算中被除数、除数、商、积、余数之间关系的基础上。只有这样的学生才能通过适当的练习首先达到“程序化水平”，再伴随着算法熟练程度的提高，升华为“结构化水平”。相反，如果一个学生属于前一种情况，多加练习只会使他（她）每一步的操作更加游离于有意识思维的监控之外，从而演变成一种纯粹机械的下意识活动。要想他（她）能够从“程序化水平”上升至“结构化水平”，就必须回头补上“算理”这一课。只有在算理和算法的“双轮驱动”下，才能帮助学生实现既定的目标。
如此分析，促进学生结构化水平达成的方法也就慢慢浮现——
一是要加强算理教学。
算理教学最好是在对比中进行，以题组的形式出现。
例如：（1）在口算300÷3时，可以把它看成是（ ）个（ ）除以3，商是（ ）个（ ），就是（ ）。
（2）在口算300÷5时，可以把它看成是（ ）个（ ）除以5，商是（ ）个（ ），就是（ ）。
再如：（1）在口算84÷7时，应该先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ） （ ）=（ ）。
（2）在口算84÷6时，应该先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ） （ ）=（ ）。
（3）在口算84÷4时，应该先算（ ）÷（ ）=（ ），再算（ ）÷（ ）=（ ），最后算（ ） （ ）=（ ）。
这样的题组既可以让学生理解算理，又可以培养学生思维的灵活性。
二是要培养整体观念。
在学生掌握基本的算法程序后，要能及时地让学生从具体的计算题的背景中跳出来，观察、欣赏竖式计算的整体样貌。如，可以出现竖式除法的标准框架（如图3），并提出一些问题：（1）这道除法可分成几步？（2）每步的上面一个数与下面一个数分别是怎么来的？表示什么意思？帮助学生建立对于除法的整体观念，促进学生理解算理，掌握算法。
在学完这个单元后，还可以要求学生按照三位数除以一位数的不同情况，画出不同的竖式框架，帮助学生区分各种情况的不同之处，寻找各种情况的内在联系，整体构建关于这一类除法的认知结构。（图略）
三是要经常双向思维。
要让学生在顺向思维的基础上，有较多的机会开展逆向思维，让学生的思维在双向操作中自由穿梭。
如，可设计这样的习题让学生展开思考：请根据有余数除法的横式记录情况，（ ）÷6=54……2，填写类似于图3的除法竖式框架图。（图略）
这样的练习无疑能指引学生更好地把握除法竖式中数与数之间的相互关联，逐步摆脱除法法则规定的运算顺序的束缚，朝着更加灵活机动的方向迈进。
（责编 金 铃）