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【摘要】在近几年中考中，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、相似三角形等存在性问题经常出现在各地的中考题甚至是压轴题中，这类题型往往涉及相关几何的定义、性质、判定以外，往往又综合在函数背景下结合方程、不等式等代数模型，运用分类讨论、数形结合等数学思想，考查学生空间想象、几何模型、作图能力等基本技能，需要学生全面的数学知识和数学素养，成为近几年来热门的考题类型.以下是“直角三角形的存在性问题”的课堂实录.
【关键词】初中数学；复习；直角三角形
【导语】之前我们已经学过了两类特殊三角形——等腰三角形和直角三角形，今天我们就来共同探索直角三角形的存在性问题.
探索1如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，其中点A、点B的位置如图所示，若Rt△ABC的顶点都在格点上，则点C可能的位置共有（）.
A.9个B.8个
C.7个D.6个
分析此题的难点在于不重不漏地找到满足条件的点C，学生如果只关注直角本身散漫找寻，不仅很花时间，而且不容易找全.找寻的关键在于，首先，直角三角形要按角或边进行分类，若按直角顶点分，分别以点A，B，C为直角顶点可分成三类；其次，确定直角顶点画出直角，分别过点A，B作线段AB的垂线，及作以AB为直径的圆，利用直径所对的圆周角是直角，找到相应的格点C；最后，需要通过计算来验证点C符合题意，将感性认知上升至理性思考.
【教学过程】
师：同学们找到了几个点C？
生：4个…6个…7个…9个.
师：你是如何思考找到这些点的？
生1：我是尝试找几个点，连接起来判断是否是直角三角形.
师：你有良好的图形感知，但直观的感知容易缺乏严谨性，也容易遗漏或重复.有没有改进的方法？
生2：我是借助直角三角尺来找直角的.
生3：我是借助画圆，利用直径所对圆周角是直角的性质找直角的.
师：你们想到了用两种不同的作图方法找到直角，一种是作垂线，一种是作圆.那么具体什么情况下要作垂线或作圆呢？
生4：当以A或B为直角顶点时，分别过点A或B作AB的垂线；当以C为直角顶点时，作以AB为直径的圆.
师：在这个作图过程中，你很好地融入了分类讨论，这样使得作图变得更加有的放矢，直观而有序.
生4：老师，通过作图我发现能找到9个点C，但是这些点C一定就落在格点上吗？
师：你的问题正好也是大家的疑惑，作图直观但不精确，它有助于我们发现猜想结论，但严谨的数学思维還需要通过验证证明这些点C落在格点上.你有什么方法判断直角三角形？
生1：我以一个格点C为例，通过计算三角形三边长，验证是否满足勾股定理逆定理，以此判定直角三角形.
生2：我通过一线三直角模型，证明两个直角三角形相似，转化为角的关系后可证明直角.
师：同学们想到了两个证明直角的方法，通过计算验证了猜想，证明了结论.请同学们自行归纳出解决直角三角形存在问题的一般步骤.
生：找直角三角形，可按照这样的步骤进行：1.分类（依据角或边）；2.作图（作垂线和作圆）；3.计算（验证猜想）.
师：（书写板书）很好，用这三个步骤我们自己来尝试解决练习1的问题.
评析题目出示后，学生先自主探索，由于起点较低，每名学生都能动手找到几个满足条件的点C，提高了学生快速进入课堂的注意力，也激发学生思考，并产生疑惑如何才能找全而不重不漏.这为进一步引出解题策略，寻找通法解法，让学生做了充分的思想准备和心理期待.紧接着提出本节课解决直角三角形存在性问题的3个基本步骤变得顺理成章，水到渠成.
练习1在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，若以点A，B，C为顶点的三角形是直角三角形时，则满足条件的点C有个.此时，点C的坐标为.
分析首先，“点C到直线AB的距离为4”的条件转化为“C点是落在距离AB为4的直线上，且这样的直线有两条”；其次，通过分类、作图直观找到点C.本题的难点在于判断落在以AB为直径的圆上的点C的个数及相应的坐标，需要通过计算获得.
评析本题的目的是对引例解题步骤的及时巩固，尤其是条件转化过程中的分类讨论，以及验证点的个数需要通过进一步计算等环节，加深对难点的突破和提升.而方程思想、模型思想的运用，使学生更加明晰解题的一般策略，也加深了对“数形结合万般好”的理解.
练习2如图，矩形ABCG和矩形CDEF全等，点B，C，D在同一直线上.已知BC=a，AB=b（a≥b），点P是线段BD上的动点，使∠APE为直角的点P个数是个.此时，线段BP的长为（用含a，b的代数式表示）.
分析本题明确了直角顶点P，因此，作以AP为直径的圆与BD的交点即为点P.但由于矩形的边长不定，线段BD与圆的位置关系也不能只简单通过作图来确定，需要进一步通过计算加以确定点P的个数.线段BP长的计算可通过建立方程加以解决，同时，解决了在相应条件下点P个数的问题.
评析此题的重点突出计算在验证交点个数的必要性，难点在于点P个数的不同情形讨论，学生如果单纯通过作图容易忽略点P只有1个时的情形.比起直接分情形作图，建立方程讨论根的情况，由此分类，自然就能想到两种不同情形及相应的条件，再作图也就显得更加有理有据.学生经历了分类—作图—计算—再分类—再作图这样一个过程，充分体现了数形结合的优越性和互补性，在这个过程中也培养了学生回顾的习惯，树立严谨的数学思维方式.
探索2如图，在平面直角坐标系中，点A（-4，0），B（2，0）.若直线l经过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式. 分析“所作的直角三角形有且只有三个”明确了各个顶点作为直角顶点的情形有且只有一种，解题的突破口在于当M为直角顶点唯一时，作以AB为直径的圆与直线l相切，此时过点E的切线l有两条.
【教学过程】
师：条件“所作的直角三角形有且只有三个”如何理解和转化？
生：存在直角三角形，且只有三种情况.根据直角三角形分类，每个顶点作为直角顶点的情形各有一种.
师：那直线l的位置能大致确定了吗？
生：能，直角顶点M唯一时，说明以AB为直径的圆与直线l相切.
师：多数同学都作了一条经过第一、二、四象限的直線l.该如何求解析式呢？
生1：除了点E外，再求一个点M的坐标，用待定系数法求解析式.连圆心、切点作半径，利用△EBM3∽△EM2I∽△EAM1（A形相似）求出点M1或M2坐标.
生2：除了相似三角形，也可用∠M2EA的正切值做等量关系求点M坐标.
师：只有这一条k<0的切线吗？
生：还有一条k>0，且关于x轴对称的切线.
师：确实，需要注意圆的轴对称性或者直线的k的正负性，这样的切线能作两条.所以，解题要注意反思，分类情况是否齐全.
评析本题的意图在于锻炼学生对题目关键条件的理解与转化，寻找突破口；思维方式与探索1形成逆向关系，由之前分类引导作图找寻交点个数，转变为已知交点个数结合分类引导作图，使学生对解题步骤的掌握上有理有序，又不失灵活.本题还意图培养学生回顾反思的习惯，避免受惯性思维影响而忽略当k>0时切线l的情形.
【本课总评】整节课紧扣主题，以分类、作图、计算三个基本技能为主线，将分散的题目与知识点串联起来，由浅入深将分类讨论、化归类比、数形结合、方程思想、模型思想等数学的思想方法贯穿其中.让学生学知识重听讲，画图形可操作，练计算活思维，常回顾勤反思.培养学生的感性认知与理性思考，按照步骤有据可循，条理清晰触类旁通，使学生有效掌握直角三角形的存在性问题通法的同时，自然地将解题触角延伸到其他几何的存在性问题，形成方法上的类比与思维方式的提升，引导学生课后自行研究，激发独立探索的欲望，将兴趣点从课堂延伸至课后，对于初三学生在总复习阶段良好自学氛围的形成也有一定促进作用.
【关键词】初中数学；复习；直角三角形
【导语】之前我们已经学过了两类特殊三角形——等腰三角形和直角三角形，今天我们就来共同探索直角三角形的存在性问题.
探索1如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，其中点A、点B的位置如图所示，若Rt△ABC的顶点都在格点上，则点C可能的位置共有（）.
A.9个B.8个
C.7个D.6个
分析此题的难点在于不重不漏地找到满足条件的点C，学生如果只关注直角本身散漫找寻，不仅很花时间，而且不容易找全.找寻的关键在于，首先，直角三角形要按角或边进行分类，若按直角顶点分，分别以点A，B，C为直角顶点可分成三类；其次，确定直角顶点画出直角，分别过点A，B作线段AB的垂线，及作以AB为直径的圆，利用直径所对的圆周角是直角，找到相应的格点C；最后，需要通过计算来验证点C符合题意，将感性认知上升至理性思考.
【教学过程】
师：同学们找到了几个点C？
生：4个…6个…7个…9个.
师：你是如何思考找到这些点的？
生1：我是尝试找几个点，连接起来判断是否是直角三角形.
师：你有良好的图形感知，但直观的感知容易缺乏严谨性，也容易遗漏或重复.有没有改进的方法？
生2：我是借助直角三角尺来找直角的.
生3：我是借助画圆，利用直径所对圆周角是直角的性质找直角的.
师：你们想到了用两种不同的作图方法找到直角，一种是作垂线，一种是作圆.那么具体什么情况下要作垂线或作圆呢？
生4：当以A或B为直角顶点时，分别过点A或B作AB的垂线；当以C为直角顶点时，作以AB为直径的圆.
师：在这个作图过程中，你很好地融入了分类讨论，这样使得作图变得更加有的放矢，直观而有序.
生4：老师，通过作图我发现能找到9个点C，但是这些点C一定就落在格点上吗？
师：你的问题正好也是大家的疑惑，作图直观但不精确，它有助于我们发现猜想结论，但严谨的数学思维還需要通过验证证明这些点C落在格点上.你有什么方法判断直角三角形？
生1：我以一个格点C为例，通过计算三角形三边长，验证是否满足勾股定理逆定理，以此判定直角三角形.
生2：我通过一线三直角模型，证明两个直角三角形相似，转化为角的关系后可证明直角.
师：同学们想到了两个证明直角的方法，通过计算验证了猜想，证明了结论.请同学们自行归纳出解决直角三角形存在问题的一般步骤.
生：找直角三角形，可按照这样的步骤进行：1.分类（依据角或边）；2.作图（作垂线和作圆）；3.计算（验证猜想）.
师：（书写板书）很好，用这三个步骤我们自己来尝试解决练习1的问题.
评析题目出示后，学生先自主探索，由于起点较低，每名学生都能动手找到几个满足条件的点C，提高了学生快速进入课堂的注意力，也激发学生思考，并产生疑惑如何才能找全而不重不漏.这为进一步引出解题策略，寻找通法解法，让学生做了充分的思想准备和心理期待.紧接着提出本节课解决直角三角形存在性问题的3个基本步骤变得顺理成章，水到渠成.
练习1在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，若以点A，B，C为顶点的三角形是直角三角形时，则满足条件的点C有个.此时，点C的坐标为.
分析首先，“点C到直线AB的距离为4”的条件转化为“C点是落在距离AB为4的直线上，且这样的直线有两条”；其次，通过分类、作图直观找到点C.本题的难点在于判断落在以AB为直径的圆上的点C的个数及相应的坐标，需要通过计算获得.
评析本题的目的是对引例解题步骤的及时巩固，尤其是条件转化过程中的分类讨论，以及验证点的个数需要通过进一步计算等环节，加深对难点的突破和提升.而方程思想、模型思想的运用，使学生更加明晰解题的一般策略，也加深了对“数形结合万般好”的理解.
练习2如图，矩形ABCG和矩形CDEF全等，点B，C，D在同一直线上.已知BC=a，AB=b（a≥b），点P是线段BD上的动点，使∠APE为直角的点P个数是个.此时，线段BP的长为（用含a，b的代数式表示）.
分析本题明确了直角顶点P，因此，作以AP为直径的圆与BD的交点即为点P.但由于矩形的边长不定，线段BD与圆的位置关系也不能只简单通过作图来确定，需要进一步通过计算加以确定点P的个数.线段BP长的计算可通过建立方程加以解决，同时，解决了在相应条件下点P个数的问题.
评析此题的重点突出计算在验证交点个数的必要性，难点在于点P个数的不同情形讨论，学生如果单纯通过作图容易忽略点P只有1个时的情形.比起直接分情形作图，建立方程讨论根的情况，由此分类，自然就能想到两种不同情形及相应的条件，再作图也就显得更加有理有据.学生经历了分类—作图—计算—再分类—再作图这样一个过程，充分体现了数形结合的优越性和互补性，在这个过程中也培养了学生回顾的习惯，树立严谨的数学思维方式.
探索2如图，在平面直角坐标系中，点A（-4，0），B（2，0）.若直线l经过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式. 分析“所作的直角三角形有且只有三个”明确了各个顶点作为直角顶点的情形有且只有一种，解题的突破口在于当M为直角顶点唯一时，作以AB为直径的圆与直线l相切，此时过点E的切线l有两条.
【教学过程】
师：条件“所作的直角三角形有且只有三个”如何理解和转化？
生：存在直角三角形，且只有三种情况.根据直角三角形分类，每个顶点作为直角顶点的情形各有一种.
师：那直线l的位置能大致确定了吗？
生：能，直角顶点M唯一时，说明以AB为直径的圆与直线l相切.
师：多数同学都作了一条经过第一、二、四象限的直線l.该如何求解析式呢？
生1：除了点E外，再求一个点M的坐标，用待定系数法求解析式.连圆心、切点作半径，利用△EBM3∽△EM2I∽△EAM1（A形相似）求出点M1或M2坐标.
生2：除了相似三角形，也可用∠M2EA的正切值做等量关系求点M坐标.
师：只有这一条k<0的切线吗？
生：还有一条k>0，且关于x轴对称的切线.
师：确实，需要注意圆的轴对称性或者直线的k的正负性，这样的切线能作两条.所以，解题要注意反思，分类情况是否齐全.
评析本题的意图在于锻炼学生对题目关键条件的理解与转化，寻找突破口；思维方式与探索1形成逆向关系，由之前分类引导作图找寻交点个数，转变为已知交点个数结合分类引导作图，使学生对解题步骤的掌握上有理有序，又不失灵活.本题还意图培养学生回顾反思的习惯，避免受惯性思维影响而忽略当k>0时切线l的情形.
【本课总评】整节课紧扣主题，以分类、作图、计算三个基本技能为主线，将分散的题目与知识点串联起来，由浅入深将分类讨论、化归类比、数形结合、方程思想、模型思想等数学的思想方法贯穿其中.让学生学知识重听讲，画图形可操作，练计算活思维，常回顾勤反思.培养学生的感性认知与理性思考，按照步骤有据可循，条理清晰触类旁通，使学生有效掌握直角三角形的存在性问题通法的同时，自然地将解题触角延伸到其他几何的存在性问题，形成方法上的类比与思维方式的提升，引导学生课后自行研究，激发独立探索的欲望，将兴趣点从课堂延伸至课后，对于初三学生在总复习阶段良好自学氛围的形成也有一定促进作用.