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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）06-0135-01
2011年湖北省随州市中考压轴题是一道构思巧妙、设计独特、由易到难的好题目.它着重考查了学生的综合数学知识、解题技巧和数学思维品质，涉及到了多个中学数学的典型知识点，全面考查了学生的思维能力，值得深究……
如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1<0，x2>0）。
（1）求b的值。
（2）求x1·x2的值。
（3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是 M1和N1.判断△M1FN1的形状，并证明你的结论。
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切，如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。
这是一道代数几何综合题。
分析：（1）待定系数法：把点F的坐标代入直线可以确定b的值：
∵直线y=kx+b过点F（0，1），∴b=1；
（2）数形结合：联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1·x2的值：
∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，
∴可以得出：kx+b=x2，
整理得：x2-kx-1=0，
x1·x2==-4；
（3）先猜想，再验证，推理：可以算出FF12=M1F1·F1N1，证明△M1FF1相似于△FN1F1，从而证明出直角。方法二：确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状：
△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）.
理由如下：设直线l与y轴的交点是F1，
FM12=FF12+M1F12=x12+4，
FN12=FF12+F1N12=x22+4，
M1N12=（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8，
∴FM12+FN12=M1N12，
∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形。
（4）先用特殊值法，当MN平行于x轴时，很容易看出以MN为直径的圆与直线y=-1相切，再由特殊到一般可知y=-1总与该圆相切，此时要用以算代证得出结论.大多数学生问：“圆在动，直线也未知，从何下手呀？”，我调查了一下，我校八九百人考试只有一人做出：
符合条件的定直线m即为直线l：y=-1.
过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2
=（x1-x2）2+[（kx1+1）-（kx2+1）]2
=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2
=（k2+1）（x1-x2）2
=（k2+1）（16k2+16）
=16（k2+1）2
∴MN=4（k2+1），
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1= （MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2）+1=k（x1+x1）+2=2k2+2，
∴PP1=MN
即线段MN的中点到直线m的距离等于MN长度的一半。
∴以MN为直径的圆与m相切。
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F的坐标求出b的值。有些学生死板的认为：求直线解析式需要两个条件，这里只有一个条件，看到这里就放弃了！没注意本题只要你求截距b。
（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值。
（3）可用几何方法也可以用代数方法以算代证，用两点间的距离公式，判断三角形的形状。
（4）特殊值法：特殊到一般，先让看特殊位置的圆与那条直线相切，从而想到思路，再根据点与圆的位置判断直线与圆的位置。此法解决开放性问题真可谓化难为易！
我从分析这道压轴题入手，对其所涉及的知识点进行简要分析，可见在素质教育时代加强对学生思维品质培养的重要性，教学中如何培养学生的思维品质，以期能更好地帮助学生学好数学：“数学是思维的体操.”然而有一些学生学习数学时，不善于灵活运用数学思维方法，常有“题海无边，找不到岸”之感.由此可见对初中生数学思维能力的培养尤为重要！
2011年湖北省随州市中考压轴题是一道构思巧妙、设计独特、由易到难的好题目.它着重考查了学生的综合数学知识、解题技巧和数学思维品质，涉及到了多个中学数学的典型知识点，全面考查了学生的思维能力，值得深究……
如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1<0，x2>0）。
（1）求b的值。
（2）求x1·x2的值。
（3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是 M1和N1.判断△M1FN1的形状，并证明你的结论。
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切，如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。
这是一道代数几何综合题。
分析：（1）待定系数法：把点F的坐标代入直线可以确定b的值：
∵直线y=kx+b过点F（0，1），∴b=1；
（2）数形结合：联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1·x2的值：
∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，
∴可以得出：kx+b=x2，
整理得：x2-kx-1=0，
x1·x2==-4；
（3）先猜想，再验证，推理：可以算出FF12=M1F1·F1N1，证明△M1FF1相似于△FN1F1，从而证明出直角。方法二：确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状：
△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）.
理由如下：设直线l与y轴的交点是F1，
FM12=FF12+M1F12=x12+4，
FN12=FF12+F1N12=x22+4，
M1N12=（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8，
∴FM12+FN12=M1N12，
∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形。
（4）先用特殊值法，当MN平行于x轴时，很容易看出以MN为直径的圆与直线y=-1相切，再由特殊到一般可知y=-1总与该圆相切，此时要用以算代证得出结论.大多数学生问：“圆在动，直线也未知，从何下手呀？”，我调查了一下，我校八九百人考试只有一人做出：
符合条件的定直线m即为直线l：y=-1.
过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2
=（x1-x2）2+[（kx1+1）-（kx2+1）]2
=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2
=（k2+1）（x1-x2）2
=（k2+1）（16k2+16）
=16（k2+1）2
∴MN=4（k2+1），
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1= （MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2）+1=k（x1+x1）+2=2k2+2，
∴PP1=MN
即线段MN的中点到直线m的距离等于MN长度的一半。
∴以MN为直径的圆与m相切。
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F的坐标求出b的值。有些学生死板的认为：求直线解析式需要两个条件，这里只有一个条件，看到这里就放弃了！没注意本题只要你求截距b。
（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值。
（3）可用几何方法也可以用代数方法以算代证，用两点间的距离公式，判断三角形的形状。
（4）特殊值法：特殊到一般，先让看特殊位置的圆与那条直线相切，从而想到思路，再根据点与圆的位置判断直线与圆的位置。此法解决开放性问题真可谓化难为易！
我从分析这道压轴题入手，对其所涉及的知识点进行简要分析，可见在素质教育时代加强对学生思维品质培养的重要性，教学中如何培养学生的思维品质，以期能更好地帮助学生学好数学：“数学是思维的体操.”然而有一些学生学习数学时，不善于灵活运用数学思维方法，常有“题海无边，找不到岸”之感.由此可见对初中生数学思维能力的培养尤为重要！