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摘 要：本文就是通过探讨在数学课堂教学中，教师应该怎样根据学生的特点，教学需要从不同的角度、层次和要求设计问题。文中结合具体的高中教学实例，根据不同的设计方法，并主要从7个方面探讨如何设计数学问题来提升数学课堂的活力。
关键词：关键词数学教学；数学问题；课堂活力
一、设计“悬念”问题
兴趣是学习的最好老师，也是每个学生自觉求知的内在动力。教师应该注重数学问题的设计对学生的培养，为学生设计好一个激发思考和创造的问题环境，设置诱人的悬念，激发学生发散思维的火花和求知的欲望。
在新授课的导入或讲解的过程中，设置一些悬念来引起学习兴趣。在新课结束时，也要适当对某一些问题做一些延伸发展，设计一些悬念问题，引发学生学习的兴趣，为学习后面的内容做好铺垫，留下悬念.让学生对数学课堂存在着神秘感。
二、设计“阶梯式”问题
对于阶梯式问题看字眼就知道这是一类条理分明，思路清晰，由浅入深具有鲜明层次性的问题，随着台阶的上升涉及的知识点逐渐增多，不断探索的问题将得到逐步地解决，设计这样一类铺垫式的问题让学生顺着清晰的思路进行自行探讨，从而解决问题。
例如这样一个类型的题目：在平面直角坐标系上有四点：A（5，0），B（-3，0），C（0，-4），D（-4，-3）现将此平面沿y轴折成直二面角（如图）。求AD与BC之间的距离。
为了帮助学生弄清空间的线面关系及其确定的条件教学中要根据解题思路设立若干个台阶进而构造出阶梯式问题。
台阶1：在平面直角坐标系内有4点A（5，0），B（-3，0），C（0，-4），D（-4，-3），求证：BC⊥OD；
台阶2：在上题中将此平面沿y轴折成直二面角（如图），求证：AO⊥平面OBC；
台阶3：根据AO⊥平面OBC，求证BC⊥平面OAD；
台阶4：根据BC⊥平面OAD做出AD与BC的公垂线段；
台阶5：在台阶2的条件下求AD与BC间的距离。
以上5个问题存在着递进与转化的关系，教学时应根据学生实际水准确定台阶数引导学生研究前后问题间的联系，让学生在思考讨论再思考中进行探索，尽可能传授给学生完整的系统的数学知识以促进学生在数学课堂上积极思考，以学生为主体的参与教育教学活动。
三、设计“反复式”问题
设计反复式问题引导学生自主联想，数学研究本身也就是一不断从实践→认识→实践的过程。教师可以在教学过程中多设计一些反复式问题，引导学生联想与回忆，建立好新旧知识间的联系，深化对知识的理解。
例如：在上每堂课前习惯性地复习一下上堂课的内容，或者在讲习题课时对涉及到的知识点作出必要的提示，引导他们的思维去联想上堂课的知识要点。
例如在上《任意角的三角函数》这节习题课时：
1.回顾三角函数线作法，再次加深理解和记忆.点明三角函数线在其他方面的应用，以及数形结合思想，便于学生在后续学习中更深入的思考，更广泛的研究。
2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础。教学过程中可以引用美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了；我看见了，就记住了；我做过了，就理解了。”要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去回顾，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程。再通过实践所得到的结论，带回到所学的知识内，反复进行复习比较，获取更多的信息，让学生在数学课上动手动脑。
四、设计“一题多解”问题
旨在引导学生从不同的角度来观察和思考，以寻求不同的解题路径，开拓学生的解题思路。并在此基础上让学生进行多次训练。因此在数学教学中，教师要注意抓住一道典型题目，努力寻求多种途径的解法，促使学生多方位、多层次的思考分析，打开学生的解题思路。
例如：等差数列﹛﹜中，前n项和为，若=100，=10，求S110；
分析：这类题目是刚接触数列时最常见的一种题型，对于学生而言，普遍采用刚学的几个基本公式，再代入题目条件给出的数值求解，这种解法是很正常的，而且是学习数列过程中不可避免的第一步，下面的方法一就是上面提到的“第一步解法”
方法一：设等差数列﹛an﹜的首项为a1，公差为d，则
可以解得，
∴=110+
=110×。
通过实际操作同学们会发现这种解法计算量很大，而且对于等差数列要求求解出数列的首项和公差！学习了数列一段时间之后我们发现对于等差数列，对于任意的三个正整数m，n，p只要m+p=2n就有
方法二：∵，
∴…+=，
∴
∴又，
∴。
分析：会介绍等差数列求和的又一个特性，就是等差数列{}的任意连续m项的和构成的数列、
……仍为等差数列。
方法三：∵，，，……，，，……成等差数列，设公差为d，该数列前10项和为，d=-22，
∴前11项和
分析：对于我们最先掌握的求和公式，可以对其做一个简单的转换，两边同时除以项数n，得到另一个数列，它是以首项为，公差为的等差數列，
方法四：设数列的公差为d，
由于，则，
∴数列是等差数列，公差为，
∴，且，代入已知数值，消去d，就可得。
这道例题虽然只考察了两个公式，但却可以用4种不同的方法来解。
总之，在设计“一题多解”问题时，不仅要让学生多掌握解题方法，更重要的是培养学生求异性的解题思维，同时要重视引导学生对多种方法进行比较，优化解题方法，提高解题速度并注意找出同一问题存在各种解法的条件与原因，挖掘其内在规律。这样将能很好的达到教学双赢了，提高了教学质量又培养了思维能力，何乐而不为呢？ 五、设计“类比式”问题
在问题设计时，可通过设计类比式的问题，引导学生抓住问题的实质，进行多角度、多层次的思考与研究。
例如：已知x、y、z满足方程，则的最大值是多少？
解析：解决本题可以类比圆的知识、两点之间的距离公式求解，根据题意已知方程表示的曲线为空间中以（0，2，-2）为球心，以为半径的球，而表示球面上的点到坐标原点的距离，其最大值为点到球心的距离与球的半径的和，利用空间两点间的距离公式可得最大值即为。
本题是全新的情境问题，已知方程类比圆的方程可知表示球面，类比两点之间的距离公式表示空间点到原点的距离，在空间几何一些题目中，通过类比平面几何的知识，大胆猜想，得出在空间中的一些类似结论，或通过平面与空间的类比。
通过解决陷阱式问题使学生善于识别真伪分清主次积累经验吸取教训提高思維的辨否性。在解决问题时能对某一错误的想法和做法迅速作出判断，并及时修正。在课堂上让学生积极主动思考提高警惕。
六、设计“陷阱式”问题
设计陷阱式问题是为了让学生在“落入”和“走出”陷阱的过程中，吃一堑，长一智，学会合理的调整思维，少走弯路。在教学中，当然教师也可把自己思考某一问题时走过的弯路及错误过程暴露给学生，使学生知道老师与自己一样也犯思维错误，从而使学生充满信心，自愿建立错题改正本，强化纠正错误思维。
例如：（数列公式成立的条件问题）在数列中，=1，=，n，求数列的通项公式.
错解：不清楚公式成立条件的人就会这样马虎的处理问题：因为=，所以.
两式相减得，
于是，.
点评：公式体现了数列的通项与其前n项和间的关系，它是贯穿于数列知识的一条主线，应用很广，然而公式成立的条件则成为了学生做题的一个陷阱，要牢记“n”和对“”的情况的讨论，否则极易产生错误。这里忽视了（*）式在n时成立，误认为.其实，由得，.因此数列仅在时成等比数列.因此当时，.于是，因此对于这样一个陷阱还是关键要掌握数列公式成立的条件。
七、设计“典型性”问题
现前的中学生在数学学习中多数采用题海战术，盲目地做大量的题目，看似掌握和巩固了解题方法，然而实际上却浪费了很多时间，在这里我们要强调数学学习中思维灵活性的培养，抓住题目的本质特性，从不同类型题目中探求统一解法。
例如：当为何值时，对于任意实数，二次三项式的值总是正的？
变式1（方程题）：若方程没有实数根，求的取值范围。
变式2（不等式题）：当为何值时，对任意实数，不等式恒成立。
变式3（函数题）：对于任意实数，二次函数的图像总在上方，求的取值范围。
以上四题，都是转化成求“不等式的解集。”
具体的做法就是通过上面所述的一系列的不同的设计问题的方式，精心设计每节课，使之形象生动，有意创造动人的情景，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望。让他们在实际生活中了解到数学的作用，在探索知识的过程中解决实际的问题。
参考文献：
[1]李长春.浅谈如何通过数学问题设计培养学生的思维能力.牡丹江教育学院学报[J]，2003，2（81）：P62-63.
[2]朱国旗.设计数学问题培养思维能力.中学生数理化.教与学[J]，2006，（07）：P10—11.
[3]陈靖晓.数学问题的设计与创造性思维能力的培养.教育与教学研究[J]，2001，（3）
（作者单位：淮安市新马高级中学）
关键词：关键词数学教学；数学问题；课堂活力
一、设计“悬念”问题
兴趣是学习的最好老师，也是每个学生自觉求知的内在动力。教师应该注重数学问题的设计对学生的培养，为学生设计好一个激发思考和创造的问题环境，设置诱人的悬念，激发学生发散思维的火花和求知的欲望。
在新授课的导入或讲解的过程中，设置一些悬念来引起学习兴趣。在新课结束时，也要适当对某一些问题做一些延伸发展，设计一些悬念问题，引发学生学习的兴趣，为学习后面的内容做好铺垫，留下悬念.让学生对数学课堂存在着神秘感。
二、设计“阶梯式”问题
对于阶梯式问题看字眼就知道这是一类条理分明，思路清晰，由浅入深具有鲜明层次性的问题，随着台阶的上升涉及的知识点逐渐增多，不断探索的问题将得到逐步地解决，设计这样一类铺垫式的问题让学生顺着清晰的思路进行自行探讨，从而解决问题。
例如这样一个类型的题目：在平面直角坐标系上有四点：A（5，0），B（-3，0），C（0，-4），D（-4，-3）现将此平面沿y轴折成直二面角（如图）。求AD与BC之间的距离。
为了帮助学生弄清空间的线面关系及其确定的条件教学中要根据解题思路设立若干个台阶进而构造出阶梯式问题。
台阶1：在平面直角坐标系内有4点A（5，0），B（-3，0），C（0，-4），D（-4，-3），求证：BC⊥OD；
台阶2：在上题中将此平面沿y轴折成直二面角（如图），求证：AO⊥平面OBC；
台阶3：根据AO⊥平面OBC，求证BC⊥平面OAD；
台阶4：根据BC⊥平面OAD做出AD与BC的公垂线段；
台阶5：在台阶2的条件下求AD与BC间的距离。
以上5个问题存在着递进与转化的关系，教学时应根据学生实际水准确定台阶数引导学生研究前后问题间的联系，让学生在思考讨论再思考中进行探索，尽可能传授给学生完整的系统的数学知识以促进学生在数学课堂上积极思考，以学生为主体的参与教育教学活动。
三、设计“反复式”问题
设计反复式问题引导学生自主联想，数学研究本身也就是一不断从实践→认识→实践的过程。教师可以在教学过程中多设计一些反复式问题，引导学生联想与回忆，建立好新旧知识间的联系，深化对知识的理解。
例如：在上每堂课前习惯性地复习一下上堂课的内容，或者在讲习题课时对涉及到的知识点作出必要的提示，引导他们的思维去联想上堂课的知识要点。
例如在上《任意角的三角函数》这节习题课时：
1.回顾三角函数线作法，再次加深理解和记忆.点明三角函数线在其他方面的应用，以及数形结合思想，便于学生在后续学习中更深入的思考，更广泛的研究。
2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础。教学过程中可以引用美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了；我看见了，就记住了；我做过了，就理解了。”要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去回顾，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程。再通过实践所得到的结论，带回到所学的知识内，反复进行复习比较，获取更多的信息，让学生在数学课上动手动脑。
四、设计“一题多解”问题
旨在引导学生从不同的角度来观察和思考，以寻求不同的解题路径，开拓学生的解题思路。并在此基础上让学生进行多次训练。因此在数学教学中，教师要注意抓住一道典型题目，努力寻求多种途径的解法，促使学生多方位、多层次的思考分析，打开学生的解题思路。
例如：等差数列﹛﹜中，前n项和为，若=100，=10，求S110；
分析：这类题目是刚接触数列时最常见的一种题型，对于学生而言，普遍采用刚学的几个基本公式，再代入题目条件给出的数值求解，这种解法是很正常的，而且是学习数列过程中不可避免的第一步，下面的方法一就是上面提到的“第一步解法”
方法一：设等差数列﹛an﹜的首项为a1，公差为d，则
可以解得，
∴=110+
=110×。
通过实际操作同学们会发现这种解法计算量很大，而且对于等差数列要求求解出数列的首项和公差！学习了数列一段时间之后我们发现对于等差数列，对于任意的三个正整数m，n，p只要m+p=2n就有
方法二：∵，
∴…+=，
∴
∴又，
∴。
分析：会介绍等差数列求和的又一个特性，就是等差数列{}的任意连续m项的和构成的数列、
……仍为等差数列。
方法三：∵，，，……，，，……成等差数列，设公差为d，该数列前10项和为，d=-22，
∴前11项和
分析：对于我们最先掌握的求和公式，可以对其做一个简单的转换，两边同时除以项数n，得到另一个数列，它是以首项为，公差为的等差數列，
方法四：设数列的公差为d，
由于，则，
∴数列是等差数列，公差为，
∴，且，代入已知数值，消去d，就可得。
这道例题虽然只考察了两个公式，但却可以用4种不同的方法来解。
总之，在设计“一题多解”问题时，不仅要让学生多掌握解题方法，更重要的是培养学生求异性的解题思维，同时要重视引导学生对多种方法进行比较，优化解题方法，提高解题速度并注意找出同一问题存在各种解法的条件与原因，挖掘其内在规律。这样将能很好的达到教学双赢了，提高了教学质量又培养了思维能力，何乐而不为呢？ 五、设计“类比式”问题
在问题设计时，可通过设计类比式的问题，引导学生抓住问题的实质，进行多角度、多层次的思考与研究。
例如：已知x、y、z满足方程，则的最大值是多少？
解析：解决本题可以类比圆的知识、两点之间的距离公式求解，根据题意已知方程表示的曲线为空间中以（0，2，-2）为球心，以为半径的球，而表示球面上的点到坐标原点的距离，其最大值为点到球心的距离与球的半径的和，利用空间两点间的距离公式可得最大值即为。
本题是全新的情境问题，已知方程类比圆的方程可知表示球面，类比两点之间的距离公式表示空间点到原点的距离，在空间几何一些题目中，通过类比平面几何的知识，大胆猜想，得出在空间中的一些类似结论，或通过平面与空间的类比。
通过解决陷阱式问题使学生善于识别真伪分清主次积累经验吸取教训提高思維的辨否性。在解决问题时能对某一错误的想法和做法迅速作出判断，并及时修正。在课堂上让学生积极主动思考提高警惕。
六、设计“陷阱式”问题
设计陷阱式问题是为了让学生在“落入”和“走出”陷阱的过程中，吃一堑，长一智，学会合理的调整思维，少走弯路。在教学中，当然教师也可把自己思考某一问题时走过的弯路及错误过程暴露给学生，使学生知道老师与自己一样也犯思维错误，从而使学生充满信心，自愿建立错题改正本，强化纠正错误思维。
例如：（数列公式成立的条件问题）在数列中，=1，=，n，求数列的通项公式.
错解：不清楚公式成立条件的人就会这样马虎的处理问题：因为=，所以.
两式相减得，
于是，.
点评：公式体现了数列的通项与其前n项和间的关系，它是贯穿于数列知识的一条主线，应用很广，然而公式成立的条件则成为了学生做题的一个陷阱，要牢记“n”和对“”的情况的讨论，否则极易产生错误。这里忽视了（*）式在n时成立，误认为.其实，由得，.因此数列仅在时成等比数列.因此当时，.于是，因此对于这样一个陷阱还是关键要掌握数列公式成立的条件。
七、设计“典型性”问题
现前的中学生在数学学习中多数采用题海战术，盲目地做大量的题目，看似掌握和巩固了解题方法，然而实际上却浪费了很多时间，在这里我们要强调数学学习中思维灵活性的培养，抓住题目的本质特性，从不同类型题目中探求统一解法。
例如：当为何值时，对于任意实数，二次三项式的值总是正的？
变式1（方程题）：若方程没有实数根，求的取值范围。
变式2（不等式题）：当为何值时，对任意实数，不等式恒成立。
变式3（函数题）：对于任意实数，二次函数的图像总在上方，求的取值范围。
以上四题，都是转化成求“不等式的解集。”
具体的做法就是通过上面所述的一系列的不同的设计问题的方式，精心设计每节课，使之形象生动，有意创造动人的情景，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望。让他们在实际生活中了解到数学的作用，在探索知识的过程中解决实际的问题。
参考文献：
[1]李长春.浅谈如何通过数学问题设计培养学生的思维能力.牡丹江教育学院学报[J]，2003，2（81）：P62-63.
[2]朱国旗.设计数学问题培养思维能力.中学生数理化.教与学[J]，2006，（07）：P10—11.
[3]陈靖晓.数学问题的设计与创造性思维能力的培养.教育与教学研究[J]，2001，（3）
（作者单位：淮安市新马高级中学）