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数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的重要策略，是历年高考的重点．
一、 数形结合思想
数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合.通过数和形的相互转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题过程的目的.集合中常用的方法是数轴法和Venn图法.
1. 数轴法
【例1】 已知集合A=x－2≤x≤3，B=x2k≤x≤2k+3,k∈R，若BA，求实数k的取值范围.
分析 本题中，2k<2k+3显然恒成立，故无需考虑B=的情况.
解 因为2k<2k+3恒成立，所以B≠，由图可知，
2k≥－22k+3≤3，解之得－1≤k≤0，
综上所述，实数k的取值范围是{k|－1≤k≤0}.
点评 应用数轴法解有关的集合问题，可以借助于数轴的直观性，快捷、准确的得出结论，从而达到化难为易的目的.
2. Venn图法
解 U=xx2<50,x∈N={0,1,2,3,4,5,6,7}，利用Venn图（如图所示），可得M=2,3,4,7，L=1,4,6,7.
点评 本题涉及的集合个数、信息较多，研究其关系或运算时，用Venn图法求解比较简捷，直观.
二、 分类讨论思想
在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果解决整个问题，这一思想方法，就是我们常说的“分类讨论的思想”．集合中常见的分类讨论题型主要有以下几种：
1. 根据集合中元素的特征分类讨论
【例3】 集合M={－2,3x2+3x－4,x2+x－4}，若2∈M，则x=.
分析 利用集合元素的确定性，互异性及无序性解题.
解 由题意可知，3x2+3x－4=2,
或x2+x－4=2.
（1） 当3x2+3x－4=2时，x=－2或x=1，经检验，x=－2或1时，集合M中有两个元素都是－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；
（2） 当x2+x－4=2时，x=－3或x=2，经检验，x=－3或2时，M=－2,14,2，
均合题意；
综上所述，所求x的值是－3或2.
点评 集合中元素具有确定性，无序性及互异性三个特征，在分析集合所含元素的情况时，常常会根据集合中的元素特征进行分类讨论，求集合中字母的值时，还要注意对求出的值的结果进行检验，看其是否满足元素的三个特征以及已知条件.
2. 根据空集的特殊性分类讨论
【例4】 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，B=xp+1≤x≤2p－1，若BA，求实数p的取值范围.
分析 由BA求p的值，结合数轴便可求解，但需要分B是否为空集进行讨论.
解 A={x|x2－3x－10≤0}
={x|－2≤x≤5}.
（1） 当B=时，p+1>2p－1即p<2；
（2） 当B≠时，p+1≤2p－1,p+1≥－2,2p－1≤5.
解之得，2≤p≤3；
综上所述，实数p的取值范围pp≤3.
点评 涉及两个集合之间关系的问题，如A∩B=，A∪B=B，A∩B=A，AB等，不可忽视对所研究的集合是否为空集的讨论，否则就会出现漏解，因此，在处理集合问题时，对集合是否是空集的讨论是十分重要的.
3. 根据子集的性质分类讨论
【例5】 已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R}，B=xx2+2(a+1)x+ a2－1=0，若BA，求实数a的取值范围.
分析 先化简集合A，然后看集合A有几个子集，再对A的子集B有几种可能性进行讨论.
解 A=xx2+4x=0,x∈R={0,－4}，由BA得，B可能为以下四种情况：，0，－4，0,－4.
（1） 当B=时，Δ=4a+12－4(a2－1)=8a+8<0，即a<－1；
（2） 当B=0时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0两个相等的实数根为0，
所以有－2a+1=0,a2－1=0.解得a=－1；
（3） 当B=－4时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0两个相等的实数根为－4，
所以有－2a+1=－8,a2－1=16.解得a∈；
（4） 当B=0,－4时，可知方程
x2+2(a+1)x+a2－1=0的根为0和－4，
所以有－2a+1=－4,a2－1=0.解得a=1；
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1，或a=1}.
点评 含参数的集合问题是集合部分中最常见的分类讨论问题，本题也可以根据子集B中的元素个数（0个，1个或2个）即Δ<0,Δ=0,Δ>0进行分类讨论.
三、 等价转化思想
在解决一些集合问题时，如果一种集合的表达形式不好入手，常常通过某种变换或划归,把复杂问题转化为我们熟悉的问题、易于解决的问题.
【例6】 已知集合U=(x,y)y=3x－1，A=(x,y)y－2x－1=3，则
分析 本题集合中的元素都是“点”，但是要注意集合A不包括元素1,2点.
解 集合U表示直线y=3x－1上所有点的集合.方程y－2x－1=3可转化为y=3x－1，但x≠1，故集合A表示直线y=3x－1上所有点的集合——但要除去点1,2，即集合A表示直线y=3x－1上的除去点1,2以外的所有点的集合，从而有
瘙 綂 UA=1,2.
点评 集合中常见的数学语言有文字语言，图形语言，符号语言，学会将其进行合理的相互转化，往往能简捷迅速地得到解题思路，但是，在转化过程中一定要注意转化的等价性.另外，集合中“A是B的子集”，“AB”，“A∪B=B”，“A∩B=A”等都是同一个含义，也可以相互转化.
在奥林匹斯山上统治著的上帝，乃是永恒的数。—雅可比
四、 方程思想
方程思想就是从分析问题的数量关系入手，将变量之间的关系用方程表达出来，并通过对方程的讨论，达到解决问题的目的.
【例7】 已知集合A=2,x,y，
B={2x,2,y2}，且A=B，求x,y的值.
分析 由A=B可知，集合A与集合B中元素相同，可以得出一定的数量关系.
解 由A=B可知，集合A与集合B中元素相同，所以有x=2x,y=y2. 或x=y2,y=2x.
解之得，x=0,y=0. 或x=0,y=1. 或x=14,y=12.经检验得，x=0,y=1. 或x=14,y=12.
点评 集合相等，则两个集合含有的元素相同，但是要注意检验，防止出错，对于产生的增解要舍去.
五、 补集思想
补集思想是一种间接思考问题的方法，即在正向思维受阻时，改为逆向思维的方法，如“正难则反”这一策略就是补集思想的应用.
【例8】 已知集合A={x|x2+(2+a)x+1=0}，B=xx>0，若A∩B=，求实数a的取值范围.
分析 A∩B=，说明方程x2+(2+a)x+1=0的根有以下几种情况：①无实数根；②有两个负根；③一个负根一个零根，三种情况讨论比较麻烦，我们从问题的反面考虑，采用补集思想.
解 假设A∩B≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两个实数根x1,x2至少有一个正数，
又因为x1•x2=1>0，所以x1,x2均为正数，则有Δ=(2+a)2－4≥0,－2+a2>0.解之得a≤－4，
即A∩B≠a≤－4.因此，A∩B=时，实数a的取值范围为aa>－4.
点评 对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不很明朗，难以从正面入手的数学问题，应调整解题思路，从问题的反面入手，往往能化难为易，化隐为显，从而使问题得到灵活解决.补集的思想也是等价转化思想的一种体现.
如果没有数所制造的关於宇宙的永恒的仿造品，则人类将不能继续生存。—尼采
牛刀小试
1． 已知集合A=xx<－1或x≥1，
B=x2a 2. 已知集合A=xx2－8x+12=0，
B=xax－1=0，若BA，求实数a的取值范围.
3. 已知集合A=xx2－ax+a2－19=0，
B=xx2－5x+6=0，若A∩B=3，
则a=.
4. 已知集合A=1,b,a，B=a,a2,ab，若A=B，求实数a,b的值.
5. 已知集合A＝{x|x2－(a＋5)x＋4＞0}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.
【参考答案】
1． 因为a<1，所以2a 2. A=xx2－8x+12=0=2,6，又因为BA，所以
（1） 当a=0时，B=A，符合题意；
（2） 当a≠0时，B=1a，从而有1a=2或1a=6，即a=12或a=16；
综上所述，a=0或12或16.
3． -2
提示：由于B={x|x2－5x+6=0}
={2,3}，且A∩B=3，故3∈A，且2A.此时，a2－3a－10=0，即a=5或a=－2.当
a=5时，A=2,3，与已知条件A∩B=3矛盾，故舍去；当a=－2时，A=－5,3，满足题意；综上所述，a=－2.
4. 由A=B可知，a2=1,ab=b. 或a2=b,ab=1.
（1） 若a2=1,ab=b.则a=－1或1.经检验，a=1时，A中有两个元素都是１，与元素的互异性矛盾，故舍去.所以a=－1,b=0；
（2） 若a2=b,ab=1.则a=1,b=1. （舍）；综上所述，
a=－1,b=0.
5. ∵B＝{x|2≤x≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝时a的取值情况.令f(x)＝x2－(a＋5)x＋4，利用二次函数的图象，容易得到
A∩B＝时，f(2)≤0,f(4)≤0.解得a≥0，
∴a＜0时A∩B≠，即所求实数a的取值范围是a＜0.
一、 数形结合思想
数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合.通过数和形的相互转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题过程的目的.集合中常用的方法是数轴法和Venn图法.
1. 数轴法
【例1】 已知集合A=x－2≤x≤3，B=x2k≤x≤2k+3,k∈R，若BA，求实数k的取值范围.
分析 本题中，2k<2k+3显然恒成立，故无需考虑B=的情况.
解 因为2k<2k+3恒成立，所以B≠，由图可知，
2k≥－22k+3≤3，解之得－1≤k≤0，
综上所述，实数k的取值范围是{k|－1≤k≤0}.
点评 应用数轴法解有关的集合问题，可以借助于数轴的直观性，快捷、准确的得出结论，从而达到化难为易的目的.
2. Venn图法
解 U=xx2<50,x∈N={0,1,2,3,4,5,6,7}，利用Venn图（如图所示），可得M=2,3,4,7，L=1,4,6,7.
点评 本题涉及的集合个数、信息较多，研究其关系或运算时，用Venn图法求解比较简捷，直观.
二、 分类讨论思想
在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果解决整个问题，这一思想方法，就是我们常说的“分类讨论的思想”．集合中常见的分类讨论题型主要有以下几种：
1. 根据集合中元素的特征分类讨论
【例3】 集合M={－2,3x2+3x－4,x2+x－4}，若2∈M，则x=.
分析 利用集合元素的确定性，互异性及无序性解题.
解 由题意可知，3x2+3x－4=2,
或x2+x－4=2.
（1） 当3x2+3x－4=2时，x=－2或x=1，经检验，x=－2或1时，集合M中有两个元素都是－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；
（2） 当x2+x－4=2时，x=－3或x=2，经检验，x=－3或2时，M=－2,14,2，
均合题意；
综上所述，所求x的值是－3或2.
点评 集合中元素具有确定性，无序性及互异性三个特征，在分析集合所含元素的情况时，常常会根据集合中的元素特征进行分类讨论，求集合中字母的值时，还要注意对求出的值的结果进行检验，看其是否满足元素的三个特征以及已知条件.
2. 根据空集的特殊性分类讨论
【例4】 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，B=xp+1≤x≤2p－1，若BA，求实数p的取值范围.
分析 由BA求p的值，结合数轴便可求解，但需要分B是否为空集进行讨论.
解 A={x|x2－3x－10≤0}
={x|－2≤x≤5}.
（1） 当B=时，p+1>2p－1即p<2；
（2） 当B≠时，p+1≤2p－1,p+1≥－2,2p－1≤5.
解之得，2≤p≤3；
综上所述，实数p的取值范围pp≤3.
点评 涉及两个集合之间关系的问题，如A∩B=，A∪B=B，A∩B=A，AB等，不可忽视对所研究的集合是否为空集的讨论，否则就会出现漏解，因此，在处理集合问题时，对集合是否是空集的讨论是十分重要的.
3. 根据子集的性质分类讨论
【例5】 已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R}，B=xx2+2(a+1)x+ a2－1=0，若BA，求实数a的取值范围.
分析 先化简集合A，然后看集合A有几个子集，再对A的子集B有几种可能性进行讨论.
解 A=xx2+4x=0,x∈R={0,－4}，由BA得，B可能为以下四种情况：，0，－4，0,－4.
（1） 当B=时，Δ=4a+12－4(a2－1)=8a+8<0，即a<－1；
（2） 当B=0时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0两个相等的实数根为0，
所以有－2a+1=0,a2－1=0.解得a=－1；
（3） 当B=－4时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0两个相等的实数根为－4，
所以有－2a+1=－8,a2－1=16.解得a∈；
（4） 当B=0,－4时，可知方程
x2+2(a+1)x+a2－1=0的根为0和－4，
所以有－2a+1=－4,a2－1=0.解得a=1；
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1，或a=1}.
点评 含参数的集合问题是集合部分中最常见的分类讨论问题，本题也可以根据子集B中的元素个数（0个，1个或2个）即Δ<0,Δ=0,Δ>0进行分类讨论.
三、 等价转化思想
在解决一些集合问题时，如果一种集合的表达形式不好入手，常常通过某种变换或划归,把复杂问题转化为我们熟悉的问题、易于解决的问题.
【例6】 已知集合U=(x,y)y=3x－1，A=(x,y)y－2x－1=3，则
分析 本题集合中的元素都是“点”，但是要注意集合A不包括元素1,2点.
解 集合U表示直线y=3x－1上所有点的集合.方程y－2x－1=3可转化为y=3x－1，但x≠1，故集合A表示直线y=3x－1上所有点的集合——但要除去点1,2，即集合A表示直线y=3x－1上的除去点1,2以外的所有点的集合，从而有
瘙 綂 UA=1,2.
点评 集合中常见的数学语言有文字语言，图形语言，符号语言，学会将其进行合理的相互转化，往往能简捷迅速地得到解题思路，但是，在转化过程中一定要注意转化的等价性.另外，集合中“A是B的子集”，“AB”，“A∪B=B”，“A∩B=A”等都是同一个含义，也可以相互转化.
在奥林匹斯山上统治著的上帝，乃是永恒的数。—雅可比
四、 方程思想
方程思想就是从分析问题的数量关系入手，将变量之间的关系用方程表达出来，并通过对方程的讨论，达到解决问题的目的.
【例7】 已知集合A=2,x,y，
B={2x,2,y2}，且A=B，求x,y的值.
分析 由A=B可知，集合A与集合B中元素相同，可以得出一定的数量关系.
解 由A=B可知，集合A与集合B中元素相同，所以有x=2x,y=y2. 或x=y2,y=2x.
解之得，x=0,y=0. 或x=0,y=1. 或x=14,y=12.经检验得，x=0,y=1. 或x=14,y=12.
点评 集合相等，则两个集合含有的元素相同，但是要注意检验，防止出错，对于产生的增解要舍去.
五、 补集思想
补集思想是一种间接思考问题的方法，即在正向思维受阻时，改为逆向思维的方法，如“正难则反”这一策略就是补集思想的应用.
【例8】 已知集合A={x|x2+(2+a)x+1=0}，B=xx>0，若A∩B=，求实数a的取值范围.
分析 A∩B=，说明方程x2+(2+a)x+1=0的根有以下几种情况：①无实数根；②有两个负根；③一个负根一个零根，三种情况讨论比较麻烦，我们从问题的反面考虑，采用补集思想.
解 假设A∩B≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两个实数根x1,x2至少有一个正数，
又因为x1•x2=1>0，所以x1,x2均为正数，则有Δ=(2+a)2－4≥0,－2+a2>0.解之得a≤－4，
即A∩B≠a≤－4.因此，A∩B=时，实数a的取值范围为aa>－4.
点评 对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不很明朗，难以从正面入手的数学问题，应调整解题思路，从问题的反面入手，往往能化难为易，化隐为显，从而使问题得到灵活解决.补集的思想也是等价转化思想的一种体现.
如果没有数所制造的关於宇宙的永恒的仿造品，则人类将不能继续生存。—尼采
牛刀小试
1． 已知集合A=xx<－1或x≥1，
B=x2a
B=xax－1=0，若BA，求实数a的取值范围.
3. 已知集合A=xx2－ax+a2－19=0，
B=xx2－5x+6=0，若A∩B=3，
则a=.
4. 已知集合A=1,b,a，B=a,a2,ab，若A=B，求实数a,b的值.
5. 已知集合A＝{x|x2－(a＋5)x＋4＞0}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.
【参考答案】
1． 因为a<1，所以2a
（1） 当a=0时，B=A，符合题意；
（2） 当a≠0时，B=1a，从而有1a=2或1a=6，即a=12或a=16；
综上所述，a=0或12或16.
3． -2
提示：由于B={x|x2－5x+6=0}
={2,3}，且A∩B=3，故3∈A，且2A.此时，a2－3a－10=0，即a=5或a=－2.当
a=5时，A=2,3，与已知条件A∩B=3矛盾，故舍去；当a=－2时，A=－5,3，满足题意；综上所述，a=－2.
4. 由A=B可知，a2=1,ab=b. 或a2=b,ab=1.
（1） 若a2=1,ab=b.则a=－1或1.经检验，a=1时，A中有两个元素都是１，与元素的互异性矛盾，故舍去.所以a=－1,b=0；
（2） 若a2=b,ab=1.则a=1,b=1. （舍）；综上所述，
a=－1,b=0.
5. ∵B＝{x|2≤x≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝时a的取值情况.令f(x)＝x2－(a＋5)x＋4，利用二次函数的图象，容易得到
A∩B＝时，f(2)≤0,f(4)≤0.解得a≥0，
∴a＜0时A∩B≠，即所求实数a的取值范围是a＜0.