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摘 要：本文通过对近几年高考立体几何综合题的分类分析研究,阐述了用向量方法在解立体几何的综合题中，针对学生比较模糊的二面角与法向量夹角的关系问题，对二者关系进行分析，用法向量与检验向量的乘积同号还是异号来判断二面角跟它关系是相等还是互补，并对二者关系的实际应用进行了探讨。
关键词：向量；法向量；二面角；平面角；立体几何；高考
向量是高中数学中的一个重要知识点，是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，是沟通代数、几何、三角的桥梁，用向量方法解决立体几何问题,可使立体几何问题代数化，降低难度。长期以来，高中立体几何教材采用"形到形"的推理论证方法，这样的安排对于培养学生的推理论证能力和空间想象能力十分有益。但一步步的推理过程，很多学生掌握起来比较困难。近年来，在中学数学的教学中，向量及其教学已经受到人们广泛的关注，同时也是新教材高二数学第九章(B)的新增内容,是数形结合的一种典型体现,具有几何形式与代数形式的“双重身份”。[1]历年全国各省、市高考立体几何综合题中，关于空间角、空间距离及空间平行、垂直问题是考查的重点和热点。综观近几年全国各省、市高考试题，可以发现立体几何综合题可用现代向量方法,也可用古老的几何法求解或证明。用向量方法解决立体几何问题，可以把立体几何问题代数化，降低难度,避免了繁琐的定性分析,通过建立空间直角坐标系进行定量计算，使得问题得到简化。引入空间向量，并利用空间向量解决立体几何问题，这样既保留了传统推理论证的内容，又不断充实了向量的内容。保留传统推理论证的内容有助于培养学生的空间想象能力与推理能力。引进向量方法后，可以开阔学生的眼界，降低解题难度。
1、在向量方法解立体几何中,二面角的平面角与两平面法向量夹角的关系是学生比较模糊的问题
例如：在2005年全国（1）高考数学（文）阅卷工作中,立体几何题第18题,解法很多,但概括起来只有两类方法:几何法和向量法。由于该题比较容易建立空间直角坐标以及在坐标系中找出各点的坐标,因而对第2、第3两问，约有90%的同学都采用空间向量的方法求两条异面直线所成的角,跨越了将两条异面直线通过平移转化为一个三角形问题来解决的具体思维过程这一难点，但在这一问题的法向量解法中，有些阅卷教师对如何快捷、准确确定二面角平面角的大小，提出了质疑,首先请看原题:（图1）
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD；(Ⅱ)求AC与PB所成的角；(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
对于问题(Ⅲ)很多同学用法向量方法解答如下:
由此可以看出:这些同学通过平面的法向量具体确定二面角的平面角不十分清楚,只知道它们的关系相等或互补。这正是在阅卷前，评分细则的讨论过程中部分老师所提到的问题(法向量在所提供的答案里没有涉及)，他们认为至于何时相等何时互补，科学上缺乏理论依据。但也有部分教师认为，二面角的平面角的范围是[0,π],至于是钝角或锐角，在空间中凭想象能直觉地判断出来，再结合法向量所成的角，就能确定二面角平面角的大小。对于后一种说法，有的老师认为，当二面角的平面角接近直角时，很难感觉出来，何况空间图形的平面画法不具有度量性，有时候是很难知道是钝角或锐角。[2]
这就是学生平时比较模糊的问题，在使用向量法求解二面角的平面角时，学生对一般的锐角或钝角容易确定，而对接近直角的二面角的平面角就难以确定是钝角或锐角，只能确定法向量的夹角，而二面角跟它的关系是相等或互补，所以猜测着写出其结果，从而使解题留有遗憾，不够完美。
2、判断二面角的平面角与法向量的关系
下面给出一种简便易行的判断二面角的平面角与法向量所成的角的关系，此方法可操作性强，学生易于理解和掌握。
在此题中不容易直接看出，就可以使用"同号相等，异号互补"的方法很快就能够确定法向量的夹角与二面角的关系，这样使问题变得简单易行。此时一定注意用于检验的向量必须在每个半平面内各取一点，且不能在交线上，方向可任意。
参考文献：
[1]薛彬.高中立体几何改革的回顾前瞻[J].中学数学参考杂志社，2009，（3）：22.
[2]张家武.谈用法向量确定二面角平面角的大小[J].中学数学教学,2005，（5）：12.
[3]赖奇才.二面角大小判定的向量方法[J].中学数学杂志（高中）,2006,(2)：34.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：向量；法向量；二面角；平面角；立体几何；高考
向量是高中数学中的一个重要知识点，是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，是沟通代数、几何、三角的桥梁，用向量方法解决立体几何问题,可使立体几何问题代数化，降低难度。长期以来，高中立体几何教材采用"形到形"的推理论证方法，这样的安排对于培养学生的推理论证能力和空间想象能力十分有益。但一步步的推理过程，很多学生掌握起来比较困难。近年来，在中学数学的教学中，向量及其教学已经受到人们广泛的关注，同时也是新教材高二数学第九章(B)的新增内容,是数形结合的一种典型体现,具有几何形式与代数形式的“双重身份”。[1]历年全国各省、市高考立体几何综合题中，关于空间角、空间距离及空间平行、垂直问题是考查的重点和热点。综观近几年全国各省、市高考试题，可以发现立体几何综合题可用现代向量方法,也可用古老的几何法求解或证明。用向量方法解决立体几何问题，可以把立体几何问题代数化，降低难度,避免了繁琐的定性分析,通过建立空间直角坐标系进行定量计算，使得问题得到简化。引入空间向量，并利用空间向量解决立体几何问题，这样既保留了传统推理论证的内容，又不断充实了向量的内容。保留传统推理论证的内容有助于培养学生的空间想象能力与推理能力。引进向量方法后，可以开阔学生的眼界，降低解题难度。
1、在向量方法解立体几何中,二面角的平面角与两平面法向量夹角的关系是学生比较模糊的问题
例如：在2005年全国（1）高考数学（文）阅卷工作中,立体几何题第18题,解法很多,但概括起来只有两类方法:几何法和向量法。由于该题比较容易建立空间直角坐标以及在坐标系中找出各点的坐标,因而对第2、第3两问，约有90%的同学都采用空间向量的方法求两条异面直线所成的角,跨越了将两条异面直线通过平移转化为一个三角形问题来解决的具体思维过程这一难点，但在这一问题的法向量解法中，有些阅卷教师对如何快捷、准确确定二面角平面角的大小，提出了质疑,首先请看原题:（图1）
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD；(Ⅱ)求AC与PB所成的角；(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
对于问题(Ⅲ)很多同学用法向量方法解答如下:
由此可以看出:这些同学通过平面的法向量具体确定二面角的平面角不十分清楚,只知道它们的关系相等或互补。这正是在阅卷前，评分细则的讨论过程中部分老师所提到的问题(法向量在所提供的答案里没有涉及)，他们认为至于何时相等何时互补，科学上缺乏理论依据。但也有部分教师认为，二面角的平面角的范围是[0,π],至于是钝角或锐角，在空间中凭想象能直觉地判断出来，再结合法向量所成的角，就能确定二面角平面角的大小。对于后一种说法，有的老师认为，当二面角的平面角接近直角时，很难感觉出来，何况空间图形的平面画法不具有度量性，有时候是很难知道是钝角或锐角。[2]
这就是学生平时比较模糊的问题，在使用向量法求解二面角的平面角时，学生对一般的锐角或钝角容易确定，而对接近直角的二面角的平面角就难以确定是钝角或锐角，只能确定法向量的夹角，而二面角跟它的关系是相等或互补，所以猜测着写出其结果，从而使解题留有遗憾，不够完美。
2、判断二面角的平面角与法向量的关系
下面给出一种简便易行的判断二面角的平面角与法向量所成的角的关系，此方法可操作性强，学生易于理解和掌握。
在此题中不容易直接看出，就可以使用"同号相等，异号互补"的方法很快就能够确定法向量的夹角与二面角的关系，这样使问题变得简单易行。此时一定注意用于检验的向量必须在每个半平面内各取一点，且不能在交线上，方向可任意。
参考文献：
[1]薛彬.高中立体几何改革的回顾前瞻[J].中学数学参考杂志社，2009，（3）：22.
[2]张家武.谈用法向量确定二面角平面角的大小[J].中学数学教学,2005，（5）：12.
[3]赖奇才.二面角大小判定的向量方法[J].中学数学杂志（高中）,2006,(2)：34.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文