【摘要】本文将讨论符合大多数曲率流的一组通式的一些经典结论，从而方便读者在具体研究不同类型的曲率流时，可以直接进行参考，简化运算。
　　【关键词】曲率流;发展方程。
　　
　　1 前 言
　　假设X0：Mn→Rn 1是n维浸入紧致光滑子流形，定义主曲率为(λi)1≤i≤n，法向量为n。设X(?,t)：Mn→Rn 1，t∈［0, ∞)是光滑的,令Mt：=X(Mn,t)。本文讨论一组光滑子流形满足ddtX=UkX,k-Fn,X（?，0）=X0 。其中Uk是一光滑函数，F是关于主曲率对称的函数。
　　2主要结论和证明
　　定理2。1 假设gij=＜X,i,X,j＞,则ddtgij=Uk,igkj UkГmkigmj Uk,jgik UkГmkigim-2Fhij。
　　证明 ddtgij=＜ddtX,i,X,j＞ ＜X,i,ddtX,j＞
　　(根据定义ddtX=UkX,k-Fn)
　　=＜(UkX,k-Fn),i,X,j＞ ＜X,i,(UkX,k-Fn),j＞
　　=＜(UkX,k),i,X,j＞ ＜X,i,(UkX,k),j＞-＜(Fn),i,X,j＞-＜X,i,(Fn),j＞
　　=＜Uk,iX,k,X,j＞ ＜UkX,ki,X,j＞ ＜X,i,Uk,jX,k＞ ＜X,i,UkX,kj＞-＜Fn,i,X,j＞-＜X,i,Fn,j＞。
　　由gij的定义和Frener-Serret formua可知：
　　=Uk,i＜X,k,X,j＞ ＜UkГmkiX,m,X,j＞ Uk,j＜X,i,X,k＞ ＜X,i,UkГmkjX,m＞-＜FhkiX,k,X,j＞-＜X,i,FhkjX,k＞
　　=Uk,igkj UkГmkigmj Uk,jgik UkГmkjgim-Fhkigkj-Fhkjgik
　　=Uk,igkj UkГmkigmj Uk,jgik UkГmkjgim-2Fhij。
　　定理2。2 面积元素满足ddtg=Uk,kg UkГikig-gFH。
　　证明 ddt g=121gddtg。
　　根据［1,pa 104］ddtg=ggijddtgij,我们有
　　ddtg=121gggijddtgij=12ggijddtgij。
　　由定理 2。1可得
　　=12ggij(Uk,igkj UkГmkigmj Uk,jgik UkГmkjgim-2Fhij)
　　=12Uk,iggijgkj 12Uk,jggijgik 12UkГmkiggijgmj 12UkГmkjggijgim-gFgijhij
　　=Uk,kg UkГikig-gFgijhij
　　=Uk,kg UkГikig-gFH。
　　定理 2。3 法向量n满足ddtn=gij(F,i-Ukhki)X,j。
　　证明 已知＜X,i,n＞=0是成立的，可得
　　0=＜ddtX,i,n＞ ＜X,i,ddtn＞。
　　0=＜(UkX,k-Fn),i,n＞ ＜X,i,ddtn＞。
　　0=＜（UkX,k）,i,n＞-＜(Fn),i,n＞ ＜X,i,ddtn＞＜X,i,ddtn＞=＜(Fn),i,n＞-＜(UkX,k),i,n＞。
　　=＜F,in,n＞ ＜Fn,i,n＞-＜Uk,iX,k,n＞-＜UkX,ki,n＞。
　　由于＜X,k,n＞=0和n,i=hkiX,k,可得
　　F,i-＜UkX,ki,n＞
　　＜ddtn,n＞=0
　　=F,i-Uk＜ГmkiX,m hkin,n＞
　　=F,i-Ukhki。
　　已知＜n,n＞=1，则＜ddtn,n＞=0，最终得
　　ddtn=gij(F,i-Ukhki)X,j。
　　定理 2。4 第二基本形式hij满足
　　ddthij=F;ij-Fhkih,kj-(Uk,ih,kj Uk,jh,ki Ukhkij UkГmkih,mj) ГmijUkhkm。
　　证明 由于X,ij=ГmijX,m-hijn,我们定义分号X;ij=X,ij-ГmijX,m, 则我们可得hij=-＜X;ij,n＞。
　　ddthij=-ddt＜X;ij,n＞
　　=-＜ddtX;ij,n＞-＜X;ij,ddtn＞
　　=-＜ddtX;ij，n＞-＜-hijn,ddtn＞
　　(根据定理 2。3)
　　=-＜ddtX;ij,n＞
　　(由 X;ij=X,ij-ГmijX,m)
　　=-＜ddt(X,ij-ГmijX,m),n＞
　　=-＜ddtX,ij,n＞ ＜ГmijddtX,m,n＞
　　=-＜(ddtX),ij,n＞ ＜Гmij(ddtX),m,n＞
　　=-＜(UkX,k-Fn),ij,n＞ ＜Гmij(UkX,k-Fn),m,n＞
　　=-＜（UkX,k）,ij,n＞ ＜(Fn),ij,n＞ ＜Гmij(UkX,k,m,n)＞-＜Гmij(Fn),m,n＞。
　　由于计算量庞大，分开来计算：
　　＜(Fn),ij,n＞=＜F,ijn,n＞ ＜F,in,j,n＞ ＜F,jn,i,n＞ ＜Fn,n,ij＞
　　=F,ij F＜n,n,ij＞
　　=F,ij F＜n,(hkiX,k),j＞
　　=F,ij-Fhkih,kj。
　　＜Гmij(Fn),m,n＞=Гmij＜(Fn),m,n＞
　　=Гmij＜(F,mn Fn,m),n＞
　　=ГmijF,m。
　　＜Гmij(UkX,k),m，n＞=Гmij＜(UkX,k),m,n＞
　　=Гmij＜(Uk,mX,k UkX,km),n＞
　　=Гmij＜Uk(ГnkmX,n hkmn),n＞
　　=ГmijUkhkm。 　　＜(UkX,k),ij,n＞=＜(Uk,iX,k UkX,ki),j,n＞
　　=＜Uk,ijX,k Uk,iX,kj Uk,jX,ki UkX,kij,n＞
　　=＜Uk,iX,kj,n＞ ＜Uk,jX,ki,n＞ ＜UkX,kij,n＞
　　=Uk,ih,kj Uk,jh,ki ＜UkX,kij,n＞
　　=Uk,ih,kj Uk,jh,ki Uk＜(X,ki),j,n＞
　　=Uk,ih,kj Ukjh,ki Uk＜(ГmkiX,m hkin),j,n＞
　　=Uk,ih,kj Uk,jh,ki Uk＜(ГmkiX,mj hkijn),n＞
　　=Uk,ih,kj Uk,jh,ki Ukhkij Uk＜ГmkiX,mj,n＞
　　=Uk,ih,kj Uk,jh,ki Ukhkij UkГmkih,mj。
　　将所有部分结合起来，可得
　　ddthij=-＜(UkX,k),ij,n＞ ＜(Fn),ij,n＞ ＜Гmij(UkX,k),m,n＞-＜Гmij(Fn),m,n＞
　　=-(Uk,ih,kj Uk,jh,ki Ukhkij UkГmkih,mj) (F,ij-Fhkih,kj) ГmijUkhkm-(ГmijF,m)
　　=F;ij-Fhkih,kj-(Uk,ih,kj Uk,jh,ki Ukhkij UkГmkih,mj) ГmijUkhkm。
　　定理 2。5 假设u(?,t):Rn×［0,∞)→R, t∈I。 令Mt=graphu(?,t)，则ddtu=1 ｜Du｜2?F 。
　　证明 令X(p,t)=(F＾(p,t),u(F＾(p,t),t))，则
　　F=＜Fn,n＞=＜-ddtX,n＞
　　=-＜(ddtF＾,dudF＾)dF＾dt dudt,n＞
　　(By ［2］ lemma1。1 )可得
　　n=((ui),-1)1 ｜Du｜2
　　=-＜(ddtF＾,dudF＾dF＾dt dudt),((ui),-1)1 ｜Du｜2＞
　　=(ddtu)?11 ｜Du｜2
　　最终得ddtu=1 ｜Du｜2?F。
　　3相关经典曲率流的例子
　　例1 令Uk=0,F=H=λ1 λ2 … λn，显然H是关于主曲率对称的函数，则发展方程变为ddtX=-Hn,由上述讨论直接可得
　　ddtgij=-2Hhij,ddtg=-gH2,ddtn=gijH,iX,j,ddthij=H;ij-Hhkih,kj?ddtu=1 ｜Du｜2?H。
　　例2 令Uk=0,F=｜A｜2=λ12 λ22 … λn2，显然｜A｜2是关于主曲率对称的函数，则发展方程变为ddtX=-｜A｜2n。直接得
　　ddtgij=-2｜A｜2hij,ddtg=-g｜A｜2H,
　　ddtn=gij｜A｜2,iX,j,ddthij=｜A｜2;ij-｜A｜2hkih,kj,
　　ddtu=1 ｜Du｜2?｜A｜2。
　　例3 令Uk=0,F=trAk=λ1k λ2k … λnk，trAk是关于主曲率对称的函数，则发展方程变为ddtX=-trAkn。直接得ddtgij=-2trAkhij,ddtg=-gtrAkH,ddtn=gijtrAk,iX,j,ddthij=trAk;ij-trAkhkih,kj,ddtu=1 ｜Du｜2?trAk。
　　例4 令Uk=0 and F=K=λ1λ2…λn,K是关于主曲率对称的函数，则发展方程变为ddtX=-Kn。我们有ddtgij=-2Khij,ddtg=-gKh,ddtn=gijK,iX,j,ddthij=K;ij-Khkih,kj,ddtu=1 ｜Du｜2?K。
　　
　　【参考文献】
　　［1］ Klaus Ecker。 Regularity theory for mean curvature flow,September 26,2003
　　［2］ OLIVER C。SCHNURER。 geometric evolution equations,2007。