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摘 要：本文介绍了数学归纳法的定义，并举例说明了我们在使用数学归纳法时应注意的问题，告戒我们不能盲目的归纳，避免得出错误的结论，本文还重点介绍了我们在使用数学归纳法解题时应注意的步骤，还介绍了数学归纳法推理的常用技巧，并通过大量具体实例的分析，启发人们在数学解题中更好地使用数学归纳法。
关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理
1 数学归纳法的定义
n=1正确时，若在n=k正确的情况下，n=k+l也是正确的，便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。
2 运用数学归纳法证题的步骤：
（Ⅰ）验证当n=1时，某命题是正确的；
（Ⅱ）假设n=k时，命题也是正确的，从而推出当n=k+l时，命题也是正确的.因此，命题正确。
容易悟错的是：既然k是任意的自然数，n=k是正确的，那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢？这很容易理解，k虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了n=k时，k就是一个固定的自然数了，换句话说，k就是一个有限的数.因而，能否从n=k时命题正确，推出n=k+l时命题也是正确的，这就不一定.如在n=k时正确，推出了n=k+1也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从k到k+l，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。
在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形.
形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当n=[k0]的时候，命題是正确的，又假设n=k（k≥[k0]）时，这个命题是正确的，可以推出当n=k+l时，这个命题是正确的，那么这个命题当n=k+l时都正确，从而得出命题正确。
形式2：运用数学归纳法证明时，第一步不只验证第一个值，而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的，第二步假设n=k是正确的，推出n=k+l是正确的，那么这个命题就是正确的。
3 数学归纳法的简单应用
3.1 证明代数恒等式
对于三角恒等式的证明形式也类似，只有在变换三角函数式时，要准确运用三角函数公式。
证明时，第一步，写出初步状态下的式子，再观察其是否被指定的式子整除，从而验证命题成立.第二步，先假设命题成立，然后写出n=k+1时的式子，再运用假设并进行整理—拆项、凑项、加减项或做差而观察式子是否能被整除，从而验证n=k+l时命题成立，由此得证命题成立。
这里关键是构造出假设的式子形式，并保证各项均被整除。
总之，数学归纳法的应用比较广泛，可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验证.学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维能力和解决综合性问题能力.另外，它也是每年高考中必不可少的内容，而且是得分点，同时也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带。
参考文献：
[1]（苏）L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著 姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》，莫斯科米尔出版社 1979年
[2]华罗庚的主编《数学归纳法》上海教育出版社 1963年
[3]洪帆主编《离散数学基础》第二版，華中理工大学出版社出版 1997年
[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（第二版）
关键词：数学归纳法；归纳假设；归纳推理
1 数学归纳法的定义
n=1正确时，若在n=k正确的情况下，n=k+l也是正确的，便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上，这种递推就已经把所有自然数都验证了，这种方法就是数学归纳法。
2 运用数学归纳法证题的步骤：
（Ⅰ）验证当n=1时，某命题是正确的；
（Ⅱ）假设n=k时，命题也是正确的，从而推出当n=k+l时，命题也是正确的.因此，命题正确。
容易悟错的是：既然k是任意的自然数，n=k是正确的，那么k+l也是正确的.即k+l与k应该表示同一个意思.何必还要证明呢？这很容易理解，k虽然是任意假设的自然数，但是，一旦假定了n=k时，k就是一个固定的自然数了，换句话说，k就是一个有限的数.因而，能否从n=k时命题正确，推出n=k+l时命题也是正确的，这就不一定.如在n=k时正确，推出了n=k+1也是正确的，这时，问题就出现了一个跨越，发生了本质的变化，从k到k+l，便是由有限变化到无限的过程，这正是数学归纳法之精髓。
在比较复杂的情况下，数学归纳法的两个步骤都要有一些相应的变化，下面有两种变形.
形式1：证明中的第一步不一定从1开始，如果当n=[k0]的时候，命題是正确的，又假设n=k（k≥[k0]）时，这个命题是正确的，可以推出当n=k+l时，这个命题是正确的，那么这个命题当n=k+l时都正确，从而得出命题正确。
形式2：运用数学归纳法证明时，第一步不只验证第一个值，而是要验证从初始值始连续若干个值的特殊值时命题都是正确的，第二步假设n=k是正确的，推出n=k+l是正确的，那么这个命题就是正确的。
3 数学归纳法的简单应用
3.1 证明代数恒等式
对于三角恒等式的证明形式也类似，只有在变换三角函数式时，要准确运用三角函数公式。
证明时，第一步，写出初步状态下的式子，再观察其是否被指定的式子整除，从而验证命题成立.第二步，先假设命题成立，然后写出n=k+1时的式子，再运用假设并进行整理—拆项、凑项、加减项或做差而观察式子是否能被整除，从而验证n=k+l时命题成立，由此得证命题成立。
这里关键是构造出假设的式子形式，并保证各项均被整除。
总之，数学归纳法的应用比较广泛，可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验证.学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维能力和解决综合性问题能力.另外，它也是每年高考中必不可少的内容，而且是得分点，同时也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带。
参考文献：
[1]（苏）L.I格拉维娜 I.M雅格洛姆著 姚时宗、童增祥《数学归纳法在几何中的应用》，莫斯科米尔出版社 1979年
[2]华罗庚的主编《数学归纳法》上海教育出版社 1963年
[3]洪帆主编《离散数学基础》第二版，華中理工大学出版社出版 1997年
[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（第二版）