《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》指出:“数学是一种文化。”作为传播数学文化的重要载体——数学史,是新课程下理解数学的一种新途径。早在20世纪80年代,许多数学教育家、数学教师对于数学史在数学课堂上的具体运用作了许多探索和尝试。如何将数学史融入实际数学课堂教学中去,也已成了近年来国际上HPM(数学史与数学教育之间的关系)研究者们关注的中心话题。国内研究者的调查表明,数学史在中学处于令人担忧的“高评价、低应用”的境地;数学教师的普遍看法是,运用数学史就是讲故事。鉴于此,本文旨在通过具体的案例来说明数学史在初中数学教学中的四种用法,并为HPM案例开发提供借鉴。
　　一、呈现历史出现过的证明方法丰富课堂
　　从初中开始,学生就开始接触严格的证明。证明对培养学生的逻辑思维能力的作用是毋庸置疑的。数学家往往热衷于多种角度证明同一个命题,学生也往往尝试一题多证。勾股定理的证明就是个典型的案例。
　　两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,不断创造出新的证法,据说已有数百种。有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名。教材(人教版)上介绍了毕达哥拉斯的“面积剖分法”、赵爽的“弦图”、美国第20任总统茄菲尔德的证法。课堂上若再介绍若干,如中国三国时期数学家刘徽和清代华蘅芳的“出入相补法”,毕达哥拉斯的“新娘图”等,可以极大地丰富课堂,也可能会让学生从此对证明“痴迷”。
　　二、运用历史工具建立概念
　　抽象的数学概念并不都是凭空想象的,而是建立在人们生活实践的基础之上。自然数概念的产生,负数的引入都是经典的例子。运用古人的生活工具,建立抽象的数学概念,让概念“生动”起来,就能让学生体会到“概念”就在现实生活中。
　　在教学“角的函数”这一概念时,教师首先可以问学生:“今天是几月几日?你是通过什么方式知道这一日期的?”学生可能会说“看日历”“看钟表”等。教师可给予肯定,并引导学生思考:“今天,拥有日历和各种计时工具,人们了解日期和时间丝毫没有任何困难。但是,古人在没有日历的情况下,是用什么工具来测定年月日呢?”由此,可引入古代不同文明都使用过的日晷这一计时工具。
　　如图1所示,点S表示太阳,GN为日晷,AN为正午晷影。记录每天的晷影长度,一年中,长度最大的那一天就是冬至;最短的那一天就是夏至。当晷影长度达到最大之后,逐日变短,直到最短,然后又逐日变长,直到最长,共经历一个回归年。
　　教师可让学生观察图1中的直角三角形ANG:“哪些边和角是不变的?哪些是变化的?”进而问:“在AN由长变短的过程中,∠A的变化情况如何?AG的变化情况如何?的变化情况如何?”最后总结:“∠A变大变大;∠A变小变小。也就是说,比值随∠A的变化而变化。我们将比值定义为∠A的正弦。类似可定义的正切、余弦和余切。”
　　运用古代文明中的计时工具——日晷,自然引入锐角三角比概念,较之利用相似三角形相似比的引入方法,更能突出三角比为角的函数这一重要观念。
　　三、利用历史材料设计作业
　　历史不仅是教学的指南,也是设计作业的指南。教师可还原历史数学题目,拓展历史数学题目,让学生尝试解决古代数学问题。学生在解决古代数学题目的过程中,能感受古人的方法,领略数学题型的变化。
　　如先给学生出示古埃及纸草书上的一个数学问题:“矩形面积为12,宽为长的。问该矩形的长、宽各为多少?”在学生得出答案之后,可将问题改成:“已知矩形面积为12,长比宽多4。问该矩形的长为多少?设未知数,列出矩形的长或宽所满足的方程。”
　　又如古巴比伦时期的数学泥版上,有一个有名的“梯子问题”:“长为30英尺的梯子竖直靠在墙上,当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时,底端离墙滑动多远?”教师可先让学生解决这个3600多年前的问题,在学生获得答案之后,教师进一步给出下面的问题:“如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺,那么底端将再一次滑动多远?设未知数,列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。”
　　四、根据历史发展轨迹设计话题
　　美国学者Bidwell曾给传统的数学课堂打了这样的比方:“在课堂里,我们常常这样看待数学,好像我们是在一个孤岛上学习似的。我们每天一次去岛上学习数学,埋头钻进一个纯粹的、洁净的、逻辑上可靠的、只有清晰线条而没有肮脏角落的书房。学生们觉得数学是封闭的、呆板的、冰冷无情的、一切都已发现好了的。”如果教师根据数学历史发展的轨迹设计一个话题,让学生看到数学创造的曲折历程,尝试古代数学家的烦琐方法,才会深刻体会到数学家并不是天生会发明数学定理,才会领会到今天很容易解决的问题是不断完善而构建,方程的历史发展就是个很好的例子。
　　历史上先有形如x2=A(A>0)的方程,然后才有形如ax2+bx=c(a>0,b>0,c>0)的方程。根据历史发展的顺序,教师可从古埃及和巴比伦的问题出发,引入一元二次方程概念。
　　至于一元二次方程的解法,教师可以从9世纪阿拉伯数学家花拉子米解过的方程x2+10x-39=0开始(原来的形式是x2+10x=39),并按照几何意义来讲述配方法。花拉子米构造了一个以未知数x为边长的正方形,在其四条边上各作一宽度为的矩形。于是四角上的正方形面积各为()2,共为25。故大正方形面积为39+25=64,边长为8。于是求得未知数x。此外,花拉子米还用了另一几何方法来解决这一问题,如图2。
　　代数形式的配方在历史上也有不同的方法。如11世纪印度数学家释律陀罗的方法,避免了使用分数。
　　ax2+bx+c=0
　　ax2+bx=-c
　　4a2x2+4abx=-4ac
　　4a2x2+4abx+b2=b2-4ac
　　(2ax+b)2=b2-4ac
　　2ax+b=±
　　x=
　　方程的历史发展足以说明:数学其实是人类的一种文化活动,人人可学,人人可做。
　　上述案例充分体现了数学史的教育价值:数学是全人类共同的遗产,不同时空、地域的人们都对它作出过重要贡献,数学文化是多元的;同一个数学问题的解决方法多种多样、层出不穷,数学思维是广阔的;数学和生活之间是相互联系的,对这种联系的寻求可以大大拓宽学生的思维;数学其实并不是那么可怕,每个人都可以学好数学。这是运用数学史的教学设计所具有的独特优势。没有数学史,我们当然同样能教好数学,但有了数学史,我们显然可以教得更好!当然,为了将数学史融入数学教学,教师在进行教学设计时需要同时关注数学史和心理学两个领域,需要经历研究历史专题、选择历史材料、分析课堂需要、设计课堂活动、实施教学计划等阶段,这不是靠旦夕之功就可以完成的。这或许可以解释“数学史即数学故事”的误解和“高评价、低应用”的现象。我们有理由相信,随着新课程的进一步实施,数学教育取向的数学史研究必将引起人们更多的关注,成为中学数学教育研究不可分割的组成部分。