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学生获得知识的过程是一个渐悟与顿悟相结合的过程，在这个过程中，教师要适时地给予指导，在关键处为学生架梯、搭桥，使学生能够有所感悟，能够触发思维的节点。小学生的抽象思维能力比较弱，在解决一些较为抽象的问题时离不开形象直观的辅助性工具，如图形、可视化多媒体课件等，教师在教学中需优化教学手段并提供一些“媒介”来帮助学生解决难题。
数学教学中，如果能够引导学生在思考问题时思维“向前一步”，稍微“改变”一点点，往往能够起到事半功倍的作用。而这“向前一步”，恰好为学生抽象思维的发展搭桥铺路，为学生成功建模助力。
北师大版三年级《数学》下册第17页，教学内容“买新书”（用“归一法”解决问题），其情景问题是“200本书放在两个书架上（每个书架有4层），平均每个书架每层放多少本书？”
淘气的方法是先求每个书架放多少本书，列式200÷2=100（本），再求每层放多少本书，列式100÷4=25（本）。
笑笑的方法是先求两个书架一共有几层，列式2×4=8（层），再求每层放多少本书，列式200÷8=25（本）。对三年级的学生来说，要理解笑笑的方法，仅有教材的情景图是不够的，还需要教师对图形稍作优化。
可在课本情景图的基础上，把图形稍作改变，让两个书架叠放起来，如图1所示。既出示课本的情景图，又出示叠加的书架图，这样对学生理解笑笑的解答方法200÷（2×4），会有很大的帮助。为什么要先把2×4算出来？看到图1中两个叠起来的柜子，学生一下子就“恍然大悟”。柜子叠起来后，直观的图形告诉学生，两个书架一共有（2×4）层书柜，所以要求每层能够放多少本书，可以直接列式：200÷（2×4）。
我们不要小看这会“说话”的书架图，实际上是让学生的思维迈了一大步，对“归一”问题的另类解法进行了恰如其分的数学建模。毫不夸张地说，学生理解好了这一环节，以后解决这类“归一”问题时便能得心应手了。
在教学中，教师要善于把握这样的契机，运用数形结合思想优化图形，促成学生思维的飞跃。
一年级学生的数学学习，很大程度上需借助肢体动作。他们在学习简单计数和加减法的时候，往往借助数手指、摆小棒、摆小方块等操作来建立形象思维。
在数的学习中，主要通过数数、计数、计算让学生逐步建立数感，从而能够理解现实生活中数的意义，表述具体情境中的数量关系。对于低年级的学生来说，建立数感的方法主要是依靠教师去引导的动手操作，如画图、用实物模拟数的场景等，并运用数形结合思想来进行数的学习，促进数感的建立。
如在教授北师大版一年级《数学》下册“百以内的进位加法”时，可以借助图2帮助学生理解。在图2中，如果只有上边的小方块，学生的学习意识往往停留在“动作”上，难以上升为“思维”;如果只有下边的竖式，学生看到的是“单调”的数和抽象的竖式，也难以形成自己的“数感”，难以发展数形结合的思想和口算能力。可以说，图2上边的小方块与下边的竖式是相辅相成的，对学生认知能力的提升、思维发展等，都有较大的帮助（图2借鉴了台湾地区教材“小学课本100学年第3册”第19页的部分内容）。
对于一年级的学生而言，竖式是“新鲜事物”，在学习竖式的时候，可以借助常用的计数工具——小棒或者小方块。只有找到了学生的认知起点，有了形象的图形做参照物，学生对竖式的领会与把握才会水到渠成。同时，也有助于数感的建立、直观思维向抽象思维的发展，以及由直观图形到竖式计算的建模。
图形面积、体积的计算，一方面是用面积单位或体积单位去度量物体的面积或体积，从而得出物体面积或者体积的大小;另一方面，是通过转化的数学思想去推导几何形体的面积或者体积的计算方法。“度量”只是认知思维的第一步，真正要让学生理解领会的是，通过转化的数学思想、运用等积变形的数学规律，掌握一种解决问题的思路、方法与策略。
我们的教材，在推导圆柱体体积的计算公式时，普遍是把圆柱沿高切割成若干等份后，拼成一个近似的长方体，然后由近似长方体的体积推导出圆柱体体积。这样的推导运用了知识的迁移思维：圆面积的计算公式是把圆变成近似长方形进行推导的;同理，圆柱体体积计算公式则把它变成近似的长方体进行推导。
其实，推导圆柱体体积计算公式，我们还可以运用“渐变”的极限思想。五年级的学生已经学习了长方体体积计算公式，知道长方体体积=底面积×高，以此类推，图3中的一个三棱柱的体积=1/2长方体体积=1/2×长方体底面积×高=三棱柱底面积×高。
在学生观察图4 的过程中，教师要注意引导学生去思考：三棱柱的体积=底面积×高，長方体（四棱柱）体积=底面积×高，通过底面的虚线可以看出，五棱柱能够分割成三个三棱柱，故可以推出其体积也是等于底面积×高。接着再让学生展开想象，当柱体的底面边数无限多的时候，多棱柱也会渐渐变成圆柱体。从这个角度就可以较容易地引导学生推导出圆柱体体积的计算公式为底面积乘以高。
图4的系列组图，可以“悄悄”地“告诉”学生圆柱是怎样“成长”的，圆柱的体积经历了怎样的“变化过程”。这样，教师借助直观图形，在学生的头脑中渗透了渐变、极限、转化等数学思想方法，并教会他们运用这些方法构建圆柱体体积计算方法的数学模型。
总之，数学学习主要是发展学生的数学思维，为学生提供解决问题的方法，为学生的建模提供思路和参考。数学知识的学习，其实就是建模的学习。因此，无论是为了学生抽象思维的形成与发展，还是指导学生进行数学建模，都需要教师优化教学“媒介”，为他们发展数学核心素养搭桥铺路。
责任编辑 罗 峰
实习编辑 蔡李钰
一、重组图形，助思维飞跃，构建“归一”模型
数学教学中，如果能够引导学生在思考问题时思维“向前一步”，稍微“改变”一点点，往往能够起到事半功倍的作用。而这“向前一步”，恰好为学生抽象思维的发展搭桥铺路，为学生成功建模助力。
北师大版三年级《数学》下册第17页，教学内容“买新书”（用“归一法”解决问题），其情景问题是“200本书放在两个书架上（每个书架有4层），平均每个书架每层放多少本书？”
淘气的方法是先求每个书架放多少本书，列式200÷2=100（本），再求每层放多少本书，列式100÷4=25（本）。
笑笑的方法是先求两个书架一共有几层，列式2×4=8（层），再求每层放多少本书，列式200÷8=25（本）。对三年级的学生来说，要理解笑笑的方法，仅有教材的情景图是不够的，还需要教师对图形稍作优化。
可在课本情景图的基础上，把图形稍作改变，让两个书架叠放起来，如图1所示。既出示课本的情景图，又出示叠加的书架图，这样对学生理解笑笑的解答方法200÷（2×4），会有很大的帮助。为什么要先把2×4算出来？看到图1中两个叠起来的柜子，学生一下子就“恍然大悟”。柜子叠起来后，直观的图形告诉学生，两个书架一共有（2×4）层书柜，所以要求每层能够放多少本书，可以直接列式：200÷（2×4）。
我们不要小看这会“说话”的书架图，实际上是让学生的思维迈了一大步，对“归一”问题的另类解法进行了恰如其分的数学建模。毫不夸张地说，学生理解好了这一环节，以后解决这类“归一”问题时便能得心应手了。
在教学中，教师要善于把握这样的契机，运用数形结合思想优化图形，促成学生思维的飞跃。
二、添加“方块”，助数感建立，构建竖式模型
一年级学生的数学学习，很大程度上需借助肢体动作。他们在学习简单计数和加减法的时候，往往借助数手指、摆小棒、摆小方块等操作来建立形象思维。
在数的学习中，主要通过数数、计数、计算让学生逐步建立数感，从而能够理解现实生活中数的意义，表述具体情境中的数量关系。对于低年级的学生来说，建立数感的方法主要是依靠教师去引导的动手操作，如画图、用实物模拟数的场景等，并运用数形结合思想来进行数的学习，促进数感的建立。
如在教授北师大版一年级《数学》下册“百以内的进位加法”时，可以借助图2帮助学生理解。在图2中，如果只有上边的小方块，学生的学习意识往往停留在“动作”上，难以上升为“思维”;如果只有下边的竖式，学生看到的是“单调”的数和抽象的竖式，也难以形成自己的“数感”，难以发展数形结合的思想和口算能力。可以说，图2上边的小方块与下边的竖式是相辅相成的，对学生认知能力的提升、思维发展等，都有较大的帮助（图2借鉴了台湾地区教材“小学课本100学年第3册”第19页的部分内容）。
对于一年级的学生而言，竖式是“新鲜事物”，在学习竖式的时候，可以借助常用的计数工具——小棒或者小方块。只有找到了学生的认知起点，有了形象的图形做参照物，学生对竖式的领会与把握才会水到渠成。同时，也有助于数感的建立、直观思维向抽象思维的发展，以及由直观图形到竖式计算的建模。
三、渐变图形，行转化之妙，构建“柱体”模型
图形面积、体积的计算，一方面是用面积单位或体积单位去度量物体的面积或体积，从而得出物体面积或者体积的大小;另一方面，是通过转化的数学思想去推导几何形体的面积或者体积的计算方法。“度量”只是认知思维的第一步，真正要让学生理解领会的是，通过转化的数学思想、运用等积变形的数学规律，掌握一种解决问题的思路、方法与策略。
我们的教材，在推导圆柱体体积的计算公式时，普遍是把圆柱沿高切割成若干等份后，拼成一个近似的长方体，然后由近似长方体的体积推导出圆柱体体积。这样的推导运用了知识的迁移思维：圆面积的计算公式是把圆变成近似长方形进行推导的;同理，圆柱体体积计算公式则把它变成近似的长方体进行推导。
其实，推导圆柱体体积计算公式，我们还可以运用“渐变”的极限思想。五年级的学生已经学习了长方体体积计算公式，知道长方体体积=底面积×高，以此类推，图3中的一个三棱柱的体积=1/2长方体体积=1/2×长方体底面积×高=三棱柱底面积×高。
在学生观察图4 的过程中，教师要注意引导学生去思考：三棱柱的体积=底面积×高，長方体（四棱柱）体积=底面积×高，通过底面的虚线可以看出，五棱柱能够分割成三个三棱柱，故可以推出其体积也是等于底面积×高。接着再让学生展开想象，当柱体的底面边数无限多的时候，多棱柱也会渐渐变成圆柱体。从这个角度就可以较容易地引导学生推导出圆柱体体积的计算公式为底面积乘以高。
图4的系列组图，可以“悄悄”地“告诉”学生圆柱是怎样“成长”的，圆柱的体积经历了怎样的“变化过程”。这样，教师借助直观图形，在学生的头脑中渗透了渐变、极限、转化等数学思想方法，并教会他们运用这些方法构建圆柱体体积计算方法的数学模型。
总之，数学学习主要是发展学生的数学思维，为学生提供解决问题的方法，为学生的建模提供思路和参考。数学知识的学习，其实就是建模的学习。因此，无论是为了学生抽象思维的形成与发展，还是指导学生进行数学建模，都需要教师优化教学“媒介”，为他们发展数学核心素养搭桥铺路。
责任编辑 罗 峰
实习编辑 蔡李钰