【摘要】数学学习，模型的作用非常重要，但同时突破思维定势，多角度思考问题，有助于培养学生的创新思维能力。本文把常见的几个数学问题改变思考角度，从而用全新视角审视传统的思维方法。
　　【关键词】问题解决；模型；变式；创新
　　
　　有句广告词说：“高度决定视野，角度改变观念，尺度把握人生。”可以说，提高学生的综合素质，是数学教育追求的目标。教学中，把传统的定势思维方法，改变思考的视角，激活学生的思维，有助学生提高学生的创新能力的培养。笔者选取几例，见证其精彩。
　　
　　1.抓住问题本质，见证解法的多样性
　　
　　三角形中点问题，在点多的解法文章中，常常把三角形中线成问题的辅助线练法归纳一句话：“遇中线，延一倍。”当然从结果来看，学生或许能完成这一类问题的解答，也十分有效。当多追问几个为什么时，学生十分迷茫。不仅学生，对教师来说，必然会带来学生对数学的疏远和教者的倦怠。
　　
　　例1：在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，求AD的取值范围。在解决这一问题时，初次接触这个题目，学生很茫然。不知从何下手，即使数学认知成绩较好的学生也会出现短路的情况。当第二次接触时，仍有七成以上的学生不能完成。能完成的学生中，当问及为什么时，也就是把中线延长一倍就行了。笔者对教师教学中的处理，也作过抽查，发现教师能让学生记住“遇中线延一倍”的结论解决即可，问及为什么这样做时，绝大多数回答造全等三角形，再也没有别的回答。长此以往，学生就形成了一个思维定势。笔者认为，若把这一题目放在线段中点的文化品位上来考查，会有更新更好的效果。就本题而言，就是把已知的AB、AC与未知的AD集中在同一个三角形中的边，就能解决。
　　要达成这一目标，把分散的多件集中。运用中点，可采用旋转方式，如把△ACD统点D旋转180°后，形成图2的图形，这样就把它们集中在△ABE中了，问题得以解决。这就是如何想到“遇中延一倍”的思想基础。接着提问：把它们集中，你还有什么办法呢?其实还可以用中位线的方法集中它们，这就是“遇中点，找中点”的思想基础。只要抓住把未知、已知相对集中或分散这一中心，解题的思想方法就排上了用场。学生也就会从本质上去理解辅助线口诀，不会一遇到新问题就茫然。从而增强学生解决问题的能力。
　　
　　2.改变问题的论述或表达方式，从而促使问题解决
　　
　　例2：判断正误：周长和面积相等的两个等腰三角形全等。
　　真正要判断，对学生来说，还真是一个问题。若是真命题，必须给出证明。若是假命题，可以给出反例。
　　
　　解法1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，A′在AD上，B′、C′在直线BC上，且A′B′=A′C′，那么B′B=C C′，令AB=b，BD=a，B′B=na，A′B′=x依题所得：
　　2a+ab=2(n+1)a+2x
　　∴x=b-na
　　∴AD=b²-a² A′D=(b-na)²-[(n+1)a]²
　　=(a+b)(b-a)
　　=(a+b)·b-(2n+1)a
　　2. S△ABC=S△A′B′C′
　　∴12×2a·a+b·(b-a)=12·2(n+1)a·a+b·b-(2n+1)a
　　∴(b-a)=(n+1)b-(2n+1)a
　　若n=1，则b-a=2b-3a
　　∴b-a=4(b-3a)
　　∴3b=11a
　　令b=11
　　a=3
　　此时，△ABC的三边为：AB=AC=11，BC=6
　　△A′B′C′的三边为：A′B′=A′C′=8，B′C′=12
　　△ABC的周长为：11+11+6=28，面积为：127
　　但△ABC与△A′B′C′不全等，此命题不正确。
　　实质上，本题用上式，n取不同的值，可以构造成众多的反例，从而完成了说明。
　　实际上，本题还可以让学生产生联想。不是证明全等吗?在学生开始研究全等时，是让学生按给定的条件，实践操作作出一个符合条件的三角形，再接这一条件作出另一个三角形，若这两个三角形重合，即作出的三角形是唯一确定的，就全等了。我们可以把它转换成下面的等价说法：只要能说明周长和面积一定的等腰三角形是否唯一存在。就能判断这一命题的正确与否。于是就有下面的解法：
　　
　　如图，在△ABC中，AB=AC，令△ABC的周长为 2a，面积为s，过A作AD⊥BC于D。会AB=AC=y，BD=DC=x，则AD=y²-x²
　　∴2x+2y=2a
　　
　　①
　　12·2x·y²-x²=S
　　②
　　由①得y=a-x，代入②得
　　xa(a-2x)=S
　　∴ax²(a-2x)=S²
　　x3-a2x²+S²2a=0
　　令x3-a2x²+S²2a=(x-α)(x-β)(x-γ)
　　=x3-(α+β+γ)x²+(αβ+αγ+βγ)x-αβγ
　　∴α+β+γ=α2
　　αβ+αγ+βγ=0
　　αβγ=-S²2α
　　由于α>0，S>0。
　　∴α、β、γ中的符号存在如下情形。
　　α、β、γ中只有一个为负数。
　　∴α、β、γ中有两个正数。
　　即方法x3-a2x²+S²2a=0有两个正根。
　　当这两个正根相等时，这样的等腰三角形唯一存在。当这两个正根不等时，这样的等腰三角形就不唯一存在。也就是说，满足周长一定面积的等腰三角形不一定唯一存在。所以周长、面积相等的两个等腰三角形不一定全等。
　　通过本题的解答，学生领略到，改变原命题的思考角度，产生广泛的联想，促进学生解决问题的能力。
　　
　　3.恰当运用模型，给学生解决问题添上翅膀
　　
　　数学模型是解决问题时化归的主要目标。
　　例如：模型：如图，AB、CD交于O，在△AOC和△BOD中，∠A+∠C=∠B+∠D
　　
　　例①：求五角星五个顶角的度数和。
　　在教学中，学习已习惯于用三角形的外角定理来解决。若用以上模型，不用外角定理，便很快把这五个角转在同一三角形中。如连结CD，就有∠B+∠E=∠BDC+∠ECD，学生很易求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
　　
　　②求图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。(信利杯试题)
　　运用上面的模型连结AB、CG，把这几个角的和转化成四边形ABDE和△CEG的内角和即可。
　　③如图，AB、CD交于O，CE平分∠ACD，BE平分∠ABD，AB、CE交于M，CD、BE交于N。
　　试找出∠A、∠D、∠E之间的等量关系。
　　
　　学生解答的方法有多种。若用上面的模型来解决，显然尤为简洁。
　　在△AMC和△BEM中，
　　∠A+∠ACE=∠E+∠ABE
　　①
　　在△BDN和△CEN中，
　　∠D+∠DBE=∠E+∠DCE
　　②
　　∵∠ACE=∠DCE，∠ABE=∠DBE
　　由①+②知：∠A+∠D=2∠E
　　总之，学生解决问题的能力，是新课标的重要应然目标。其中蕴含了丰富的文化内容，展现出了数学的魅力。让学生多角度思考问题，解决问题，是每一位数学教师孜孜以求的目标。
　　收稿日期：2008-10-16
　　
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