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【摘 要】该文结合数学新课程教学实践，以《因式分解》复习课的教学设计为例，就贯彻落实新课程基本理念，促进学生数学综合素养发展的问题作一探讨。
【关键词】初中数学；因式分解；复习课；教学设计
《义务教育数学课程标准(2011版)》指出：“数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”这是新课标提出的课程基本理念之一。笔者在平时教学中，努力贯彻落实新课程基本理念，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，促进学生知识技能、数学思考、问题解决、情感态度的数学综合素养的发展。下面以《因式分解》复习课的教学设计为例，就此作一探讨。
一、本课的教学目标
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。本课是继《因式分解》新课后安排的一堂复习课，旨在达到以下教学目标。
1.进一步理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系。
2.抓住乘法公式的结构特征，熟练应用乘法公式进行分解因式。
3.根据多项式的项数和特点确定因式分解方法，注意因式分解的彻底性。
4.培养学生全面观察问题与分析问题的能力，通过例题和练习，提高学生的逆向思维能力，打破思维定势，形成代数意识和严谨的学习态度。
二、本课的重点和难点
1．重点是掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法四种基本方法。
2.难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行因式分解，以提高综合解题能力。
三、本课的教学方式与理念
教师梳理引导与学生自主学习相结合；学生独立思考与小组合作探索相结合；师生合作互动与生生实践体验相结合；现代信息技术与本课教学内容的有效整合。
四、教学过程设计
（一）知识梳理
1.因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式。
3.因式分解的常用方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法及分组分解法。
该环节主要由教师利用多媒体课件结合讲解来进行。涉及的公式由学生代表通过板书来演示。梳理和回忆已有知识，是为后续的运用知识，主动探索作铺垫。
(二)基础训练
1.下列由左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
(1)(x+2)(x-2)=x2-4； (2)x2-4=(x+2)(x-2)；
⑶x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x； (4)x2+4-4x=(x-2)2。
2.4x2-8xy+6x=____(2x-4y+3)
3.16x2-____=(4x+5y)(4x-5y)
4.若x2+mxy+9y2=(x-3y)2，则m=_____
5.a3+(2b)3=(a+2b)(____)
6.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的正方形可拼成一个正方形, 从而可得到因式分解的公式_____。
该环节主要由学生通过独立思考，自主完成。教师用多媒体逐一演示题目，学生举手抢答。教师应根据题目的难易，留给学生合适的思考时间，同时注意分层教学，根据学生的基础水平，分别解答不同层次的问题，特别是要让学习困难学生体验到成功答题的快乐。
(三) 经典考题剖析
例1：把下列各式分解因式：
(1)xy2-9x (2)a2+a-6
(3)2m2-2m+ (4)4x2+2xy-12y2
分析：
(1)进行因式分解时，如果多项式中有公因式，则首先要提公因式。本题可以先提公因式x，然后再运用平方差公式来分解；
(2)二次三项式的因式分解，可尝试用十字相乘法来分解；
(3)通过观察系数特征，可提公因式2或，然后利用完全平方公式进行分解；
(4)应先提取公因数(式)，再用十字相乘法来分解。
例2：把下列各式分解因式：
(1)a6b-a2b5 (2)(a-b)2+6(b-a)+9
(3)a3(a-b)-8(a-b) (4)(x2+3x)2-2(x2+3x+4)
(5)4x2-4xy+y2-z2 (6)a3-a+2b-2a2b
分析：
(1)首先提公因式a2b，然后再用平方差公式分解。注意要对每一个因式分解到不能分解为止；
(2)注意到b-a=-(a-b)或(a-b)2=(b-a)2，再利用整体思想和公式法分解；
(3)先提公因式(a-b)，然后用立方差公式分解；
(4)把x2+3x看作一个整体，然后利用十字相乘法来分解；
（5)(6)对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法。
该环节包括多媒体演示的不同层次、不同类型的10道题，由小组合作完成。每组重点准备一道题，并派一位同学汇报，重点交流解题思路。在时间有余时，可讨论思考其他题目。教师要给学生足够的时间和空间来观察、思考、讨论，真正体现自主探索、合作共享的理念。
(四)常见错误纠正
例1：因式分解(x2+3x)2－(2x+6)2。
误解一：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)。
误解二：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)=(x+3)(x+2)(x-2)(x+3) =(x2－4)(x+3)2。 分析：误解一没有把每一个因式彻底分解；误解二混淆了因式分解与整式乘法的区别，走了回头路。
正解：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)=(x+3)(x+2)(x+3)(x-2)=(x+3)2(x+2)(x-2)。
例2：因式分a2+ab+b2。
误解：原式=a2+2ab+b2=(a+b)2。
分析：误解混淆了因式分解的恒等变形与解方程中的同解变形。
正解：原式=(a2+2ab+b2)=(a+b)2。
例3：因式分解－4a3b2+6a2b－2ab。
误解：原式=-(4a3b2-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b-3a)。
分析：当多项式中的某一项恰是公因式时，该项提出公因式后应是1，误解中漏了项1。
正解：原式=－(4a3b2－6a2b+2ab)=－2ab(2a2b－3a+1)。
该环节的三道题，由师生互换角色合作完成。教师先在多媒体上进行误解，让学生来纠错，并说出错在哪儿，目的是警示学生不要重犯类似错误，体现师生合作学习、共同发展的理念。
(五)拓展延伸
1.计算：1-1-…1-1-。
2.已知 y-x=2，x-3y=-1，求x2-4xy+3y2的值。
3.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2(a2-b2)=(a2-b2)(c2-b2)试判断三角形ABC的形状。
分析：
1.先分解因式后约分，则余下首尾两数；
2．由于x2-4xy+3y2=(x-y)(x-3y)，所以原式的值很快就可求出。想一想，还有没有其他方法，并对不同的方法进行比较、总结；
3．给出的是三边之间的关系，通过移项提取公因式可得出结论。
该环节由小组合作探索完成，教师根据题目难易和10个小组的实际情况，完成指定的题目，最后通过交流，共享成果。
(六)小结反思
师生通过互动，反思分解因式的一般方法和常见的思维误区。由于学生亲身体验了前述五个环节的探索过程，该环节的完成自然是水到渠成、顺理成章的事。
1.分解因式的一般方法
1)首先考虑是否有公因式，如有则一定先提取公因式，再考虑其它方法；
2)两项式：一般可考虑用平方差公式，立方和公式，立方差公式；
3)三项式：一般可考虑用完全平方公式，十字相乘法；
4)四项式及以上，可先进行适当分组，再分解因式。
2.分解因式时常见的思维误区
1)提取公因式时，应找系数的最大公约数及相同字母的最低次幂，而不是以首项为准；
2)若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉；
3)分解不彻底。
本课着眼于因式分解的概念、方法及分解因式的一般步骤，由于多项式因式分解的条件限制性，学会观察、判断、归纳，从而加强解题技能，发展思维。本课利用现代信息技术与课程内容的整合，顺利完成了教学任务，实现了高效、有效教学；在师生互动和生生互动中，在学生主动实践体验中，践行了师生合作，共同发展的过程；达成了知识技能、数学思考、问题解决、情感态度的多维教学目标。
【参考文献】
[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2011
（作者单位：江苏省昆山市玉峰实验学校）
【关键词】初中数学；因式分解；复习课；教学设计
《义务教育数学课程标准(2011版)》指出：“数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”这是新课标提出的课程基本理念之一。笔者在平时教学中，努力贯彻落实新课程基本理念，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，促进学生知识技能、数学思考、问题解决、情感态度的数学综合素养的发展。下面以《因式分解》复习课的教学设计为例，就此作一探讨。
一、本课的教学目标
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。本课是继《因式分解》新课后安排的一堂复习课，旨在达到以下教学目标。
1.进一步理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系。
2.抓住乘法公式的结构特征，熟练应用乘法公式进行分解因式。
3.根据多项式的项数和特点确定因式分解方法，注意因式分解的彻底性。
4.培养学生全面观察问题与分析问题的能力，通过例题和练习，提高学生的逆向思维能力，打破思维定势，形成代数意识和严谨的学习态度。
二、本课的重点和难点
1．重点是掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法四种基本方法。
2.难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行因式分解，以提高综合解题能力。
三、本课的教学方式与理念
教师梳理引导与学生自主学习相结合；学生独立思考与小组合作探索相结合；师生合作互动与生生实践体验相结合；现代信息技术与本课教学内容的有效整合。
四、教学过程设计
（一）知识梳理
1.因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式。
3.因式分解的常用方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法及分组分解法。
该环节主要由教师利用多媒体课件结合讲解来进行。涉及的公式由学生代表通过板书来演示。梳理和回忆已有知识，是为后续的运用知识，主动探索作铺垫。
(二)基础训练
1.下列由左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
(1)(x+2)(x-2)=x2-4； (2)x2-4=(x+2)(x-2)；
⑶x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x； (4)x2+4-4x=(x-2)2。
2.4x2-8xy+6x=____(2x-4y+3)
3.16x2-____=(4x+5y)(4x-5y)
4.若x2+mxy+9y2=(x-3y)2，则m=_____
5.a3+(2b)3=(a+2b)(____)
6.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的正方形可拼成一个正方形, 从而可得到因式分解的公式_____。
该环节主要由学生通过独立思考，自主完成。教师用多媒体逐一演示题目，学生举手抢答。教师应根据题目的难易，留给学生合适的思考时间，同时注意分层教学，根据学生的基础水平，分别解答不同层次的问题，特别是要让学习困难学生体验到成功答题的快乐。
(三) 经典考题剖析
例1：把下列各式分解因式：
(1)xy2-9x (2)a2+a-6
(3)2m2-2m+ (4)4x2+2xy-12y2
分析：
(1)进行因式分解时，如果多项式中有公因式，则首先要提公因式。本题可以先提公因式x，然后再运用平方差公式来分解；
(2)二次三项式的因式分解，可尝试用十字相乘法来分解；
(3)通过观察系数特征，可提公因式2或，然后利用完全平方公式进行分解；
(4)应先提取公因数(式)，再用十字相乘法来分解。
例2：把下列各式分解因式：
(1)a6b-a2b5 (2)(a-b)2+6(b-a)+9
(3)a3(a-b)-8(a-b) (4)(x2+3x)2-2(x2+3x+4)
(5)4x2-4xy+y2-z2 (6)a3-a+2b-2a2b
分析：
(1)首先提公因式a2b，然后再用平方差公式分解。注意要对每一个因式分解到不能分解为止；
(2)注意到b-a=-(a-b)或(a-b)2=(b-a)2，再利用整体思想和公式法分解；
(3)先提公因式(a-b)，然后用立方差公式分解；
(4)把x2+3x看作一个整体，然后利用十字相乘法来分解；
（5)(6)对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法。
该环节包括多媒体演示的不同层次、不同类型的10道题，由小组合作完成。每组重点准备一道题，并派一位同学汇报，重点交流解题思路。在时间有余时，可讨论思考其他题目。教师要给学生足够的时间和空间来观察、思考、讨论，真正体现自主探索、合作共享的理念。
(四)常见错误纠正
例1：因式分解(x2+3x)2－(2x+6)2。
误解一：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)。
误解二：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)=(x+3)(x+2)(x-2)(x+3) =(x2－4)(x+3)2。 分析：误解一没有把每一个因式彻底分解；误解二混淆了因式分解与整式乘法的区别，走了回头路。
正解：原式=(x2+3x+2x+6)(x2+3x-2x-6)=(x2+5x+6)(x2+x-6)=(x+3)(x+2)(x+3)(x-2)=(x+3)2(x+2)(x-2)。
例2：因式分a2+ab+b2。
误解：原式=a2+2ab+b2=(a+b)2。
分析：误解混淆了因式分解的恒等变形与解方程中的同解变形。
正解：原式=(a2+2ab+b2)=(a+b)2。
例3：因式分解－4a3b2+6a2b－2ab。
误解：原式=-(4a3b2-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b-3a)。
分析：当多项式中的某一项恰是公因式时，该项提出公因式后应是1，误解中漏了项1。
正解：原式=－(4a3b2－6a2b+2ab)=－2ab(2a2b－3a+1)。
该环节的三道题，由师生互换角色合作完成。教师先在多媒体上进行误解，让学生来纠错，并说出错在哪儿，目的是警示学生不要重犯类似错误，体现师生合作学习、共同发展的理念。
(五)拓展延伸
1.计算：1-1-…1-1-。
2.已知 y-x=2，x-3y=-1，求x2-4xy+3y2的值。
3.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2(a2-b2)=(a2-b2)(c2-b2)试判断三角形ABC的形状。
分析：
1.先分解因式后约分，则余下首尾两数；
2．由于x2-4xy+3y2=(x-y)(x-3y)，所以原式的值很快就可求出。想一想，还有没有其他方法，并对不同的方法进行比较、总结；
3．给出的是三边之间的关系，通过移项提取公因式可得出结论。
该环节由小组合作探索完成，教师根据题目难易和10个小组的实际情况，完成指定的题目，最后通过交流，共享成果。
(六)小结反思
师生通过互动，反思分解因式的一般方法和常见的思维误区。由于学生亲身体验了前述五个环节的探索过程，该环节的完成自然是水到渠成、顺理成章的事。
1.分解因式的一般方法
1)首先考虑是否有公因式，如有则一定先提取公因式，再考虑其它方法；
2)两项式：一般可考虑用平方差公式，立方和公式，立方差公式；
3)三项式：一般可考虑用完全平方公式，十字相乘法；
4)四项式及以上，可先进行适当分组，再分解因式。
2.分解因式时常见的思维误区
1)提取公因式时，应找系数的最大公约数及相同字母的最低次幂，而不是以首项为准；
2)若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉；
3)分解不彻底。
本课着眼于因式分解的概念、方法及分解因式的一般步骤，由于多项式因式分解的条件限制性，学会观察、判断、归纳，从而加强解题技能，发展思维。本课利用现代信息技术与课程内容的整合，顺利完成了教学任务，实现了高效、有效教学；在师生互动和生生互动中，在学生主动实践体验中，践行了师生合作，共同发展的过程；达成了知识技能、数学思考、问题解决、情感态度的多维教学目标。
【参考文献】
[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2011
（作者单位：江苏省昆山市玉峰实验学校）