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[摘 要] 高中数学教学中，深度学习正成为公认的走向核心素养培育的途径. 深度学习得以发生的重要前提之一，在于学生在学习中有困惑，真正的学习困惑可以激活学生的学习动机，教师如果抓住这一契机，让学生在理解的过程中建构并运用知识，进而培养迁移能力，就可以完成一个深度学习过程，从而为核心素养的培育提供空间.
[关键词] 高中数学;学习困惑;深度学习
多年的高中数学教学，让笔者意识到教学中是有着很多困惑存在的，相应的，从学生的角度来看，也有着许多学习困惑的. 这是一个即将走向核心素养的教育时代，而实现核心素养培育的重要途径之一，就是深度学习. 对于深度学习，笔者不想做过多理论的解释，事实上对于一线教师而言，只要知道深度学习是真正的基于理解的学习，是学生在已有知识基础上进行新旧知识相互作用的学习，是知识的有效构建、迁移与运用的学习就够了.
对于一线教师而言，深度学习是怎样发生的，这是一个关键问题. 而深度学习的发生是需要前提条件的，就笔者的实践来看，学生在学习中遇到的困惑，就是打开深度学习大门的一把很好的钥匙. 基于学生的学习困惑，引导学生完成数学知识的探究与构建，进一步完成数学知识的迁移与运用，是可以实现深度学习的. 本文就此话题展开一些讨论.
[?] 学习困惑有哪些具体表现
有一定教学经验的教师都知道，在高中数学的学习与考试中，常常会听到学生抱怨自己“会而不对”，困惑于明明平时学习中都能“听懂”“看懂”，为什么考试的时候就“会而不对”呢？通常教师和学生都会把这种现象归咎于“粗心大意”，可在下次的考试和练习中会发现“会而不对”仍是个顽疾.
顽疾恰恰证明了学习的困惑是存在的，那学习困惑为什么产生呢？其对深度学习有什么积极意义呢？笔者对此进行了梳理.
对于学习困惑的产生，笔者以为其原因有三：一是学生有较强的学习动机，如果没有学习动机，学生是难以产生困惑之感的，有一些基础较差、习惯较差的学生在学习中漫无目的，他们反而没有困惑，那些想学而学不会的学生，往往容易体现出学习困惑的症状. 二是学生的基础较差，数学是一门逻辑性很强的学科，前面所学知识对后面知识的构建往往有着重要影响，因而容易让学生学有所困. 但这个逻辑又不是处处存在的，有时候相对独立的知识其实并不容易产生逻辑影响，由于学生普遍存在的认识，在心理上往往会造成认识误区，从而让学习走入困境.三是学生的逻辑推理能力（数学学科核心素养的重要因素之一）未能充分发挥，由于方法不当、推理失当，常常会导致学生在构建新知识或解决问题的时候产生失误，以至让自己走进学习困境.
那为什么说学习困惑是打开深度学习大门的一把钥匙呢？这是因为笔者通过分析发现：处于学习困惑中的学生，往往都有一种寻求突破的愿望，而这正是深度学习所需要的学习动机.更重要的是，处于学习困惑中的学生，一旦得到了教师的指点或同学的帮助而得以有所突破，他们会对所学习的知识或所研究的问题的上下游的知识，都会产生一个融会贯通的效果，这是传统教学方式所难以达到的效果. 如果学生在这种突破中能够收获成就感，那其在下次遇到学习困惑的时候，还会有一种更为强烈的学习动力，而这就意味着深度学习的发生进一步成为可能.
[?] 基于学习困惑的深度学习
那么，在实际教学中，数学教师如何抓住教学契机，以让学生能夠在学习困惑中顺利地打开深度学习的大门，并完成数学知识的构建或问题解决，并在此过程中较好地塑造数学学科核心素养呢？笔者这里以“三角函数的诱导公式”的教学为例，进行简要的说明.
三角函数的诱导公式是高中数学中一个相对独立但又较为重要的知识点，同时在这个知识的学习中，学生可以充分地运用数学思想方法，因而对数学学科核心素养的培育是极有帮助的.同时，相当一部分学生由于基础原因或学习方法原因，在此知识的学习中总会遇到一些困惑，如果数学教师在实际教学中能引导学生认识并抓住数学的本质，充分调动自己的数学思维，以正确的理念和态度投入数学学习中并获得数学学习的高质与实效，那深度学习就有可能发生. 在教学中教师要注意发现学生的学习困惑.
根据笔者的经验，传统教学在本课引入的时候，都是基于任意角α的正弦、余弦、正切的定义来引入的，而学生通常会基于单位圆的定义，来构建三角函数的理解.这样的设计，充分利用了学生思维中已经存在的三角函数的定义这一知识基础，从而可以为三角函数的诱导公式提供支撑. 其后，教师会想办法为学生的学习创设一个认知冲突的情境，如让学生回答的三角函数值是多少，这个时候学生发现利用已有的知识无法回答，于是也就进入了寻找新知识以解决问题的心理状态. 这个时候，学生就有可能遇到学习困惑了，因为根据笔者的经验，学生通常会分为两类：一类学生会在大脑中基于单位圆构建三角函数的表象，他们会猜想是半个圆周多了，那其三角函数值可能与的三角函数值相同;而另一类学生则会因为没有构建出这一表象，而进入困惑状态，进入这种状态的学生中，有的即使思路与前一类学生相同，但由于方法或其他原因，他们并不敢向那个方向猜想，因而难以有所突破. 还有少数学生会与前两者有所相同又有所不同，相同的是他们能够构建出角的表象，不同的是他们会基于三角函数的定义去判断出与的三角函数值有可能并不完全相同，他们猜想到两者在符号上可能会存在差异，但对自己的猜想结果并不确定，这个时候他们的困惑主要表现在对正确思路及结果的及早提供上，越能确认自己的猜想是对或是错，越能化解这个困惑.
无论如何，只要学生此时有了困惑，那深度学习就能够发生.这个发生的过程大抵是这样的几个环节：
第一个环节：寻求认知突破的环节.遇到了问题怎么办？学生正常的思维是猜想、试错，而教师则需要观察学生的思维状态，待到学生的困惑感比较明显，又无法确认自己的猜想是否正确的时候，给学生一些提示性的方法. 对此，笔者的教学方法是用几何画板制作一个动画：在一个直角坐标系的单位圆上，直径从x轴的正半轴逆时针缓慢转动，转动的过程中其与x轴的正半轴的夹角发生变化，与圆周交点的横坐标与纵坐标也会发生相应的变化，当这条直径进入第二、三、四象限的时候，通常会引起学生的关注.在这个过程中，教师并没有太多的讲解，主要让学生去看，去悟.
第二个环节：梳理三角函数的诱导公式的探究过程. 从三角函数的定义，到最后基本三角函数公式的得出，其中经历的是若干个关系的判定，如角间关系、坐标关系、对称关系和三角函数值之间的关系等. 重点则在于学生必须能够发现，对于一个给定的角，首先就要确定角的终边的变化，尤其是要判断π-α、-α和α的终边的关系，三角函数值即可在这一判断的基础上通过上述的若干个关系得出.
这是深度学习体现得最为充分的环节，这个环节中学生的思维主要围绕新旧知识的相互作用，以及基于上述数对关系的逻辑推理展开，最终得到三角函数的诱导公式. 因而这个过程中，数学学科核心素养的培育还是比较完整的.
第三个环节：进行学习过程的反思，寻找思维得以突破的原因. 三角函数的诱导公式推理过程中，学生一旦走出困惑，他们会发现问题的解决实际上也不是那么复杂，而自己当初之所以走入困境，就是因为某一个环节出了问题或者说对自己的逻辑推理的思路不自信（实际上是对自己的逻辑推理没把握）等. 有了这样的梳理与突破，往往可以让深度学习更进一步.
[?] 深度学习是一个相对概念
深度学习自然非常重要，但深度学习在实际推行的过程中也不要过于形式化. 笔者以为，深度学习是相对的，这有两层含义：
一是相对于传统的学习方式而言，深度体现在数学学习不再是数学概念与规律的机械记忆，不是数学问题的重复训练，真正能够基于理解去学习，就是有深度的学习;二是相对于已经在实践的深度学习而言，如果能够更多地将教学的重心放在学生的学习过程中，真正赋予其时间与空间，让学生想象、试错，那自然就会生成理解，同时给学生提供更多的变式训练的情境，使学生形成相应的迁移与运用能力.
总的来说，高中数学教学中，利用学生在学习中的困惑，努力激发他们突破困境的动机，并在理解的过程中完成数学知识的建构与运用，那深度学习是可以得到保证的，核心素养的培育也就有了更大的实现空间.
[关键词] 高中数学;学习困惑;深度学习
多年的高中数学教学，让笔者意识到教学中是有着很多困惑存在的，相应的，从学生的角度来看，也有着许多学习困惑的. 这是一个即将走向核心素养的教育时代，而实现核心素养培育的重要途径之一，就是深度学习. 对于深度学习，笔者不想做过多理论的解释，事实上对于一线教师而言，只要知道深度学习是真正的基于理解的学习，是学生在已有知识基础上进行新旧知识相互作用的学习，是知识的有效构建、迁移与运用的学习就够了.
对于一线教师而言，深度学习是怎样发生的，这是一个关键问题. 而深度学习的发生是需要前提条件的，就笔者的实践来看，学生在学习中遇到的困惑，就是打开深度学习大门的一把很好的钥匙. 基于学生的学习困惑，引导学生完成数学知识的探究与构建，进一步完成数学知识的迁移与运用，是可以实现深度学习的. 本文就此话题展开一些讨论.
[?] 学习困惑有哪些具体表现
有一定教学经验的教师都知道，在高中数学的学习与考试中，常常会听到学生抱怨自己“会而不对”，困惑于明明平时学习中都能“听懂”“看懂”，为什么考试的时候就“会而不对”呢？通常教师和学生都会把这种现象归咎于“粗心大意”，可在下次的考试和练习中会发现“会而不对”仍是个顽疾.
顽疾恰恰证明了学习的困惑是存在的，那学习困惑为什么产生呢？其对深度学习有什么积极意义呢？笔者对此进行了梳理.
对于学习困惑的产生，笔者以为其原因有三：一是学生有较强的学习动机，如果没有学习动机，学生是难以产生困惑之感的，有一些基础较差、习惯较差的学生在学习中漫无目的，他们反而没有困惑，那些想学而学不会的学生，往往容易体现出学习困惑的症状. 二是学生的基础较差，数学是一门逻辑性很强的学科，前面所学知识对后面知识的构建往往有着重要影响，因而容易让学生学有所困. 但这个逻辑又不是处处存在的，有时候相对独立的知识其实并不容易产生逻辑影响，由于学生普遍存在的认识，在心理上往往会造成认识误区，从而让学习走入困境.三是学生的逻辑推理能力（数学学科核心素养的重要因素之一）未能充分发挥，由于方法不当、推理失当，常常会导致学生在构建新知识或解决问题的时候产生失误，以至让自己走进学习困境.
那为什么说学习困惑是打开深度学习大门的一把钥匙呢？这是因为笔者通过分析发现：处于学习困惑中的学生，往往都有一种寻求突破的愿望，而这正是深度学习所需要的学习动机.更重要的是，处于学习困惑中的学生，一旦得到了教师的指点或同学的帮助而得以有所突破，他们会对所学习的知识或所研究的问题的上下游的知识，都会产生一个融会贯通的效果，这是传统教学方式所难以达到的效果. 如果学生在这种突破中能够收获成就感，那其在下次遇到学习困惑的时候，还会有一种更为强烈的学习动力，而这就意味着深度学习的发生进一步成为可能.
[?] 基于学习困惑的深度学习
那么，在实际教学中，数学教师如何抓住教学契机，以让学生能夠在学习困惑中顺利地打开深度学习的大门，并完成数学知识的构建或问题解决，并在此过程中较好地塑造数学学科核心素养呢？笔者这里以“三角函数的诱导公式”的教学为例，进行简要的说明.
三角函数的诱导公式是高中数学中一个相对独立但又较为重要的知识点，同时在这个知识的学习中，学生可以充分地运用数学思想方法，因而对数学学科核心素养的培育是极有帮助的.同时，相当一部分学生由于基础原因或学习方法原因，在此知识的学习中总会遇到一些困惑，如果数学教师在实际教学中能引导学生认识并抓住数学的本质，充分调动自己的数学思维，以正确的理念和态度投入数学学习中并获得数学学习的高质与实效，那深度学习就有可能发生. 在教学中教师要注意发现学生的学习困惑.
根据笔者的经验，传统教学在本课引入的时候，都是基于任意角α的正弦、余弦、正切的定义来引入的，而学生通常会基于单位圆的定义，来构建三角函数的理解.这样的设计，充分利用了学生思维中已经存在的三角函数的定义这一知识基础，从而可以为三角函数的诱导公式提供支撑. 其后，教师会想办法为学生的学习创设一个认知冲突的情境，如让学生回答的三角函数值是多少，这个时候学生发现利用已有的知识无法回答，于是也就进入了寻找新知识以解决问题的心理状态. 这个时候，学生就有可能遇到学习困惑了，因为根据笔者的经验，学生通常会分为两类：一类学生会在大脑中基于单位圆构建三角函数的表象，他们会猜想是半个圆周多了，那其三角函数值可能与的三角函数值相同;而另一类学生则会因为没有构建出这一表象，而进入困惑状态，进入这种状态的学生中，有的即使思路与前一类学生相同，但由于方法或其他原因，他们并不敢向那个方向猜想，因而难以有所突破. 还有少数学生会与前两者有所相同又有所不同，相同的是他们能够构建出角的表象，不同的是他们会基于三角函数的定义去判断出与的三角函数值有可能并不完全相同，他们猜想到两者在符号上可能会存在差异，但对自己的猜想结果并不确定，这个时候他们的困惑主要表现在对正确思路及结果的及早提供上，越能确认自己的猜想是对或是错，越能化解这个困惑.
无论如何，只要学生此时有了困惑，那深度学习就能够发生.这个发生的过程大抵是这样的几个环节：
第一个环节：寻求认知突破的环节.遇到了问题怎么办？学生正常的思维是猜想、试错，而教师则需要观察学生的思维状态，待到学生的困惑感比较明显，又无法确认自己的猜想是否正确的时候，给学生一些提示性的方法. 对此，笔者的教学方法是用几何画板制作一个动画：在一个直角坐标系的单位圆上，直径从x轴的正半轴逆时针缓慢转动，转动的过程中其与x轴的正半轴的夹角发生变化，与圆周交点的横坐标与纵坐标也会发生相应的变化，当这条直径进入第二、三、四象限的时候，通常会引起学生的关注.在这个过程中，教师并没有太多的讲解，主要让学生去看，去悟.
第二个环节：梳理三角函数的诱导公式的探究过程. 从三角函数的定义，到最后基本三角函数公式的得出，其中经历的是若干个关系的判定，如角间关系、坐标关系、对称关系和三角函数值之间的关系等. 重点则在于学生必须能够发现，对于一个给定的角，首先就要确定角的终边的变化，尤其是要判断π-α、-α和α的终边的关系，三角函数值即可在这一判断的基础上通过上述的若干个关系得出.
这是深度学习体现得最为充分的环节，这个环节中学生的思维主要围绕新旧知识的相互作用，以及基于上述数对关系的逻辑推理展开，最终得到三角函数的诱导公式. 因而这个过程中，数学学科核心素养的培育还是比较完整的.
第三个环节：进行学习过程的反思，寻找思维得以突破的原因. 三角函数的诱导公式推理过程中，学生一旦走出困惑，他们会发现问题的解决实际上也不是那么复杂，而自己当初之所以走入困境，就是因为某一个环节出了问题或者说对自己的逻辑推理的思路不自信（实际上是对自己的逻辑推理没把握）等. 有了这样的梳理与突破，往往可以让深度学习更进一步.
[?] 深度学习是一个相对概念
深度学习自然非常重要，但深度学习在实际推行的过程中也不要过于形式化. 笔者以为，深度学习是相对的，这有两层含义：
一是相对于传统的学习方式而言，深度体现在数学学习不再是数学概念与规律的机械记忆，不是数学问题的重复训练，真正能够基于理解去学习，就是有深度的学习;二是相对于已经在实践的深度学习而言，如果能够更多地将教学的重心放在学生的学习过程中，真正赋予其时间与空间，让学生想象、试错，那自然就会生成理解，同时给学生提供更多的变式训练的情境，使学生形成相应的迁移与运用能力.
总的来说，高中数学教学中，利用学生在学习中的困惑，努力激发他们突破困境的动机，并在理解的过程中完成数学知识的建构与运用，那深度学习是可以得到保证的，核心素养的培育也就有了更大的实现空间.