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1.学习单项式与多项式的概念时要注意些什么?
⑴单项式在形式上不一定非是数字与字母的积,单独一个数字或字母也是单项式,如:-1、a、 等。
⑵多项式是几个单项式的和,单项式可看作是多项式的特例,如单项式x 可以看作是二次三项式ax+ bx + c当a=1,b=0,c=0时的特例。
⑶单项式(或多项式中某一项)的系数和次数不是绝对的。如ax ,若看作字母a与x的单项式,则这个单项式的系数为1,次数为3;若把字母a看做系数,则此单项式的次数就是2了。我们要养成用语言“关于××的×次式”描述单项式的良好习惯。
⑷单项式和多项式统称整式。其中的“统称”是统一起来的意思,不排斥可以把单项式当作多项式的特例。由于单项式是多项式的特例,我们也可以说“整式就是多项式”。三概念之间的关系可用图表示。(如图)
2.整式加减法有那些特点?
⑴整式加(或减)的和(或差)仍为整式。
⑵和式(或差式)的次数不大于参加运算的整式的最高次数。
⑶和式(或差式)的项数不多于参加运算的整式的项数之和。如果有同类项,合并以后的项数小于各整式项数之和。
⑷减法可以转化为加法:减去一个整式,可以加上与这个整式相反的式子。
3.整式能否用竖式进行加减运算?
能。用竖式进行加减运算时,要先将两个(也可以多个)整式都按某一个字母的降幂排列,其中缺少的项用0补上。写竖式时只需写出降幂排列后各项的系数,不必写出字母及字母的指数。然后将同次幂的各项系数上下对齐,分别相加减。例如,用竖式计算3x+2x-5+(4x-x+6)-(x +1)列竖式为:
4.去括号的依据是什么?
课本中去括号的法则是从实例中归纳出来的。我们可以用乘法的分配律来理解去括号的法则,例如:
去括号的依据,就是乘法对加法的分配律。添括号亦如此。
5.如何看待乘法公式?
乘法公式是一些常见的、特殊类型的多项式乘法。我们把它们的结果记住并灵活运用,可以使许多常见的多项式乘法算起来更加简便。课本上提出的乘法公式有:
平方差公式(a + b)(a-b)= a-b ;完全平方公式(a ± b) = a±2ab + b。如果学生有余力且感兴趣的话,记住以下几个乘法公式可以给今后的学习带来更大的方便:
立方和(差)公式?摇?摇(a±b)(a ±ab+b )=a +b ;
完全立方公式?摇?摇(a±b) =a±3a b+3ab ±b;
三项和平方公式?摇?摇(a + b + c)= a+ b+ c+ 2ab + 2bc + 2ac。
乘法公式既可以正着用,又可以逆着用,逆着用就是因式分解。
6.因式分解有哪些方法?
课本上主要介绍了提取公因式法、公式法、分组分解法和形如x+(p + q)x + pq 式子的因式分解法,还有一些方法值得注意,下面介绍几种:
(1)拆项添项法。例如:
技巧:把其中x拆成2x和-x两项,再分组。一般只要使用拆项添项法,还得配合使用分组分解法、提取公因式法等。又如:
(2)换元法。例如:
技巧:化简时,要注意两两相乘时的合理组合,以当分组乘完之后能创设出共有式子才能进而换元。
(3)配方法。例如:
二次三项式的因式分解还常用以下两种方法:
(4)十字相乘法。
如上题:将二次项的系数8分解成4×2,再把4和2竖排在8的下面;常数项-15分解成5×(-3),5和-3也竖排在15的下面,形成两行两列的样子,交叉相乘再相加恰好等于二次项的系数,于是有:8x-2x -15 =(4x +5)
由于二次项的系数、常数项有多种分解形式(如:在该题中 8 =1×8 = 8×1 = 2×4 = 4×2;15= 1×15 = 15×
1 = 3×5 = 5×3),可能在做题时需要多次尝试“十字相乘”才能成功。
(5)求根公式法。
一般而言,如果x1,x2是方程ax +bx+c = 0(a≠0)的两个根,那么ax +bx+c = a(x-x )(x-x )。例:分解4x +8x+1。
解法:方程4x +8x+1=0的两个根是 x=
比较两式的系数得
7. 因式分解的方法、结果唯一吗?
因式分解的方法不唯一。
因式分解的结果,在一定数集内,如果将只差一个数字因子的因式看作同一因子的话,如:a- 与 a-2= (a- )看作同一因式,那么结果是唯一的。因式分解的结果在不同的数集内不唯一。如x-1在有理数集内分解为x-1 =(x + 4)(x +2)(x -2),而在实数集内可以分解为x -1 =(x + 4)(x +2)(x + )(x - )。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
⑴单项式在形式上不一定非是数字与字母的积,单独一个数字或字母也是单项式,如:-1、a、 等。
⑵多项式是几个单项式的和,单项式可看作是多项式的特例,如单项式x 可以看作是二次三项式ax+ bx + c当a=1,b=0,c=0时的特例。
⑶单项式(或多项式中某一项)的系数和次数不是绝对的。如ax ,若看作字母a与x的单项式,则这个单项式的系数为1,次数为3;若把字母a看做系数,则此单项式的次数就是2了。我们要养成用语言“关于××的×次式”描述单项式的良好习惯。
⑷单项式和多项式统称整式。其中的“统称”是统一起来的意思,不排斥可以把单项式当作多项式的特例。由于单项式是多项式的特例,我们也可以说“整式就是多项式”。三概念之间的关系可用图表示。(如图)
2.整式加减法有那些特点?
⑴整式加(或减)的和(或差)仍为整式。
⑵和式(或差式)的次数不大于参加运算的整式的最高次数。
⑶和式(或差式)的项数不多于参加运算的整式的项数之和。如果有同类项,合并以后的项数小于各整式项数之和。
⑷减法可以转化为加法:减去一个整式,可以加上与这个整式相反的式子。
3.整式能否用竖式进行加减运算?
能。用竖式进行加减运算时,要先将两个(也可以多个)整式都按某一个字母的降幂排列,其中缺少的项用0补上。写竖式时只需写出降幂排列后各项的系数,不必写出字母及字母的指数。然后将同次幂的各项系数上下对齐,分别相加减。例如,用竖式计算3x+2x-5+(4x-x+6)-(x +1)列竖式为:
4.去括号的依据是什么?
课本中去括号的法则是从实例中归纳出来的。我们可以用乘法的分配律来理解去括号的法则,例如:
去括号的依据,就是乘法对加法的分配律。添括号亦如此。
5.如何看待乘法公式?
乘法公式是一些常见的、特殊类型的多项式乘法。我们把它们的结果记住并灵活运用,可以使许多常见的多项式乘法算起来更加简便。课本上提出的乘法公式有:
平方差公式(a + b)(a-b)= a-b ;完全平方公式(a ± b) = a±2ab + b。如果学生有余力且感兴趣的话,记住以下几个乘法公式可以给今后的学习带来更大的方便:
立方和(差)公式?摇?摇(a±b)(a ±ab+b )=a +b ;
完全立方公式?摇?摇(a±b) =a±3a b+3ab ±b;
三项和平方公式?摇?摇(a + b + c)= a+ b+ c+ 2ab + 2bc + 2ac。
乘法公式既可以正着用,又可以逆着用,逆着用就是因式分解。
6.因式分解有哪些方法?
课本上主要介绍了提取公因式法、公式法、分组分解法和形如x+(p + q)x + pq 式子的因式分解法,还有一些方法值得注意,下面介绍几种:
(1)拆项添项法。例如:
技巧:把其中x拆成2x和-x两项,再分组。一般只要使用拆项添项法,还得配合使用分组分解法、提取公因式法等。又如:
(2)换元法。例如:
技巧:化简时,要注意两两相乘时的合理组合,以当分组乘完之后能创设出共有式子才能进而换元。
(3)配方法。例如:
二次三项式的因式分解还常用以下两种方法:
(4)十字相乘法。
如上题:将二次项的系数8分解成4×2,再把4和2竖排在8的下面;常数项-15分解成5×(-3),5和-3也竖排在15的下面,形成两行两列的样子,交叉相乘再相加恰好等于二次项的系数,于是有:8x-2x -15 =(4x +5)
由于二次项的系数、常数项有多种分解形式(如:在该题中 8 =1×8 = 8×1 = 2×4 = 4×2;15= 1×15 = 15×
1 = 3×5 = 5×3),可能在做题时需要多次尝试“十字相乘”才能成功。
(5)求根公式法。
一般而言,如果x1,x2是方程ax +bx+c = 0(a≠0)的两个根,那么ax +bx+c = a(x-x )(x-x )。例:分解4x +8x+1。
解法:方程4x +8x+1=0的两个根是 x=
比较两式的系数得
7. 因式分解的方法、结果唯一吗?
因式分解的方法不唯一。
因式分解的结果,在一定数集内,如果将只差一个数字因子的因式看作同一因子的话,如:a- 与 a-2= (a- )看作同一因式,那么结果是唯一的。因式分解的结果在不同的数集内不唯一。如x-1在有理数集内分解为x-1 =(x + 4)(x +2)(x -2),而在实数集内可以分解为x -1 =(x + 4)(x +2)(x + )(x - )。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”