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在人教版新课标物理必修2中对万有引力定律相关章节的推导中，为了简化问题，是把行星的轨道当作圆来处理的。实际上，牛顿当时是利用椭圆轨道来推导太阳和行星间的相互引力的，并且从中发现了中心力场。在本文中，作者将追寻牛顿的足迹，运用椭圆轨道来导出万有引力定律。
1.极坐标下椭圆方程的建立
我们知道，在平面极坐标系中，质点P的位置，可用极坐标（r,θ） 来表示，如图1所示，当质点P沿着曲线运动时，它的速度v〖TX-〗 沿着轨道的切线，我们将v〖TX-〗 分解为沿位矢r〖TX-〗 及垂直位矢r〖TX-〗 （θ增加的方向）的两个分量vri〖TX-〗 及vθj〖TX-〗。式中i〖TX-〗为沿位矢r〖TX-〗的单位矢量， j〖TX-〗为垂直位矢r〖TX-〗 的单位矢量。显然有：
〖TP20.TIF；%40%40,Y〗r〖TX-〗=ri〖TX-〗因v〖TX-〗=〖SX(〗dr〖TX-〗〖〗dt〖SX)〗 所以v〖TX-〗=〖SX(〗d(ri〖TX-〗)〖〗dt〖SX)〗 ，单位矢量i〖TX-〗,j〖TX-〗的量值虽然都等于1，但是当质点P沿着曲线C运动时，位矢的方向随时变化，因而沿位矢的i〖TX-〗和垂直位矢的j〖TX-〗 的方向也随着时间变化，即i〖TX-〗,j〖TX-〗 也都是时间的函数。因此：v〖TX-〗=〖SX(〗d(ri〖TX-〗)〖〗dt〖SX)〗=〖SX(〗dr〖〗dt〖SX)〗i 〖TX-〗+r〖SX(〗di〖TX-〗〖〗dt〖SX)〗；
令〖XC17.TIF；%40%40〗 （本文后面也作同样处理），有：〖XC18.TIF；%50%50〗（1）
〖TP21.TIF；%40%40,Y〗当质点沿曲线C由P点运动到Q点时，位矢r1〖TX-〗由 变为r2〖TX-〗 ，而单位矢量i〖TX-〗也由i〖TX-〗变为i'〖TX-〗，i〖TX-〗和i'〖TX-〗的量值都等于1，但方向不同，如图2所示，i〖TX-〗和i'〖TX-〗组成一等腰三角形。
在极限情况下 ，dθ→0，等腰三角形的两个底角均接近于直角，故在极限情形下，di 〖TX-〗⊥i〖TX-〗，与j 〖TX-〗的方向一致。至于|di〖TX-〗| 的量值则为：|dj〖TX-〗|=1×dθ=dθ 。同理在极限情况下，dj 〖TX-〗⊥j〖TX-〗，|dj〖TX-〗| 的量值为：|dj〖TX-〗|=1×dθ=dθ ，且dj〖TX-〗 的指向和i〖TX-〗的指向相反，即沿 i〖TX-〗的负方向。故：
〖XC19.TIF；%30%30〗
由椭圆的性质可知，椭圆上某一点到左焦点(-c,0) 的距离与它到椭圆左准线x=-〖SX(〗a2〖〗c〖SX)〗的距离之比为一常数e=〖SX(〗c〖〗a〖SX)〗 ，设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，如图3所示：
〖TP22.TIF；%40%40,Z〗在平面直角坐标系中椭圆的方程为：〖SX(〗x2〖〗a2〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗b2〖SX)〗=1若以椭圆的左焦点(-c,0) 为极坐标原点（太阳所在位置），椭圆的半长轴为极轴建立极坐标系。则由椭圆的性质有：
〖SX(〗r〖〗rcosθ+p'〖SX)〗=e［ p'为左焦点到左准线的距离，p'=|-c-(-〖SX(〗a2〖〗c〖SX)〗)|=〖SX(〗b2〖〗c〖SX)〗 ］
即：r=〖SX(〗ep'〖〗1-ecosθ〖SX)〗=〖SX(〗p〖〗1-ecosθ〖SX)〗 （其中p=ep'=〖SX(〗c〖〗a〖SX)〗×〖SX(〗b2〖〗c〖SX)〗=〖SX(〗b2〖〗a〖SX)〗 ）
将r写成矢量式，则行星的椭圆轨道方程为：〖XC23.TIF；%30%30〗（3）
2.极坐标下开普勒定律的数学表述
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。即行星的椭圆轨道方程为： 〖XC23.TIF；%30%30〗
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。设行星在dt时间内扫过的面积为ds 则有：〖SX(〗ds〖〗dt〖SX)〗=k0 （常数）。由于在极坐标下ds=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗 r2dθ所以〖SX(〗ds〖〗dt〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗〖SX(〗r2dθ〖〗dt〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗r2〖XC24.TIF；%30%30〗 ，而〖SX(〗ds〖〗dt〖SX)〗=〖SX(〗πab〖〗T〖SX)〗 。故：〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗r2〖XC24.TIF；%30%30〗=〖SX(〗πab〖〗T〖SX)〗 或 r2〖XC24.TIF；%30%30〗=〖SX(〗2πab〖〗T〖SX)〗=2k0
開普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方的比值都相等。即 〖SX(〗a3〖〗T2〖SX)〗 （其中k是一个对所有行星都相同的常量，只与太阳的质量有关）
3.由椭圆轨道求出太阳对行星的引力
设行星的质量为m，行星围绕太阳的加速度为〖XC25.TIF；%30%30〗，则由牛顿第二定律行星受到太阳对它的引力为：〖XC26.TIF；%30%30〗=m〖XC25.TIF；%30%30〗 ，要求出〖XC26.TIF；%30%30〗 ，先要根据行星的运动情况求出 。
而〖XC27.TIF；%30%30〗
由开普勒第二定律知，〖XC28.TIF；%30%30〗 （常数），则〖XC29.TIF；%30%30〗
即〖XC30.TIF；%30%30〗
即加速度的方向是沿着极轴的方向的，牛顿第一次从这个地方认识到了中心立场的存在。
由于行星的椭圆轨道方程为：r=〖SX(〗p〖〗1-ecosθ〖SX)〗 或r(1-ecosθ)=p，将其两端分别对时间求导有：〖XC31.TIF；%30%30〗 （ p是常数，〖XCP.TIF；%30%30〗=0）为了求出〖XC32.TIF；%30%30〗 ，将上述方程两端再分别对时间求导得： 〖XC33.TIF；%30%30〗
〖XC34.TIF；%30%30〗
根据开普勒第三定律：〖SX(〗a3〖〗T2〖SX)〗=k ，记太阳质量为M,有：
〖XC35.TIF；%30%30〗
对于太阳系而言， k是一个对所有行星都相同的常量，太阳的质量M也是常量，令〖XC36.TIF；%30%30〗 (常数)，有：〖XC36.TIF；%30%30〗(负号表示〖XCF.TIF；%30%30〗 的方向与〖XCI.TIF；%30%30〗 的方向相反，即为引力)
虽然牛顿运用微积分，质点模型以及他的运动定律，并结合行星的椭圆轨道方程导出了太阳对行星的引力存在距离平方成反比的数学关系，但还没有立刻认识到引力的普遍性。后来他通过月——地检验，苹果的设想等将其理论进行了推广，于1687年在哈雷的鼓励和资助下发表了传世之作《自然哲学的数学原理》，终于领悟了万有引力的真谛。
〖TP02.TIF;%60%60〗
〖LM〗
1.极坐标下椭圆方程的建立
我们知道，在平面极坐标系中，质点P的位置，可用极坐标（r,θ） 来表示，如图1所示，当质点P沿着曲线运动时，它的速度v〖TX-〗 沿着轨道的切线，我们将v〖TX-〗 分解为沿位矢r〖TX-〗 及垂直位矢r〖TX-〗 （θ增加的方向）的两个分量vri〖TX-〗 及vθj〖TX-〗。式中i〖TX-〗为沿位矢r〖TX-〗的单位矢量， j〖TX-〗为垂直位矢r〖TX-〗 的单位矢量。显然有：
〖TP20.TIF；%40%40,Y〗r〖TX-〗=ri〖TX-〗因v〖TX-〗=〖SX(〗dr〖TX-〗〖〗dt〖SX)〗 所以v〖TX-〗=〖SX(〗d(ri〖TX-〗)〖〗dt〖SX)〗 ，单位矢量i〖TX-〗,j〖TX-〗的量值虽然都等于1，但是当质点P沿着曲线C运动时，位矢的方向随时变化，因而沿位矢的i〖TX-〗和垂直位矢的j〖TX-〗 的方向也随着时间变化，即i〖TX-〗,j〖TX-〗 也都是时间的函数。因此：v〖TX-〗=〖SX(〗d(ri〖TX-〗)〖〗dt〖SX)〗=〖SX(〗dr〖〗dt〖SX)〗i 〖TX-〗+r〖SX(〗di〖TX-〗〖〗dt〖SX)〗；
令〖XC17.TIF；%40%40〗 （本文后面也作同样处理），有：〖XC18.TIF；%50%50〗（1）
〖TP21.TIF；%40%40,Y〗当质点沿曲线C由P点运动到Q点时，位矢r1〖TX-〗由 变为r2〖TX-〗 ，而单位矢量i〖TX-〗也由i〖TX-〗变为i'〖TX-〗，i〖TX-〗和i'〖TX-〗的量值都等于1，但方向不同，如图2所示，i〖TX-〗和i'〖TX-〗组成一等腰三角形。
在极限情况下 ，dθ→0，等腰三角形的两个底角均接近于直角，故在极限情形下，di 〖TX-〗⊥i〖TX-〗，与j 〖TX-〗的方向一致。至于|di〖TX-〗| 的量值则为：|dj〖TX-〗|=1×dθ=dθ 。同理在极限情况下，dj 〖TX-〗⊥j〖TX-〗，|dj〖TX-〗| 的量值为：|dj〖TX-〗|=1×dθ=dθ ，且dj〖TX-〗 的指向和i〖TX-〗的指向相反，即沿 i〖TX-〗的负方向。故：
〖XC19.TIF；%30%30〗
由椭圆的性质可知，椭圆上某一点到左焦点(-c,0) 的距离与它到椭圆左准线x=-〖SX(〗a2〖〗c〖SX)〗的距离之比为一常数e=〖SX(〗c〖〗a〖SX)〗 ，设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，如图3所示：
〖TP22.TIF；%40%40,Z〗在平面直角坐标系中椭圆的方程为：〖SX(〗x2〖〗a2〖SX)〗+〖SX(〗y2〖〗b2〖SX)〗=1若以椭圆的左焦点(-c,0) 为极坐标原点（太阳所在位置），椭圆的半长轴为极轴建立极坐标系。则由椭圆的性质有：
〖SX(〗r〖〗rcosθ+p'〖SX)〗=e［ p'为左焦点到左准线的距离，p'=|-c-(-〖SX(〗a2〖〗c〖SX)〗)|=〖SX(〗b2〖〗c〖SX)〗 ］
即：r=〖SX(〗ep'〖〗1-ecosθ〖SX)〗=〖SX(〗p〖〗1-ecosθ〖SX)〗 （其中p=ep'=〖SX(〗c〖〗a〖SX)〗×〖SX(〗b2〖〗c〖SX)〗=〖SX(〗b2〖〗a〖SX)〗 ）
将r写成矢量式，则行星的椭圆轨道方程为：〖XC23.TIF；%30%30〗（3）
2.极坐标下开普勒定律的数学表述
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。即行星的椭圆轨道方程为： 〖XC23.TIF；%30%30〗
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。设行星在dt时间内扫过的面积为ds 则有：〖SX(〗ds〖〗dt〖SX)〗=k0 （常数）。由于在极坐标下ds=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗 r2dθ所以〖SX(〗ds〖〗dt〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗〖SX(〗r2dθ〖〗dt〖SX)〗=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗r2〖XC24.TIF；%30%30〗 ，而〖SX(〗ds〖〗dt〖SX)〗=〖SX(〗πab〖〗T〖SX)〗 。故：〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗r2〖XC24.TIF；%30%30〗=〖SX(〗πab〖〗T〖SX)〗 或 r2〖XC24.TIF；%30%30〗=〖SX(〗2πab〖〗T〖SX)〗=2k0
開普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方的比值都相等。即 〖SX(〗a3〖〗T2〖SX)〗 （其中k是一个对所有行星都相同的常量，只与太阳的质量有关）
3.由椭圆轨道求出太阳对行星的引力
设行星的质量为m，行星围绕太阳的加速度为〖XC25.TIF；%30%30〗，则由牛顿第二定律行星受到太阳对它的引力为：〖XC26.TIF；%30%30〗=m〖XC25.TIF；%30%30〗 ，要求出〖XC26.TIF；%30%30〗 ，先要根据行星的运动情况求出 。
而〖XC27.TIF；%30%30〗
由开普勒第二定律知，〖XC28.TIF；%30%30〗 （常数），则〖XC29.TIF；%30%30〗
即〖XC30.TIF；%30%30〗
即加速度的方向是沿着极轴的方向的，牛顿第一次从这个地方认识到了中心立场的存在。
由于行星的椭圆轨道方程为：r=〖SX(〗p〖〗1-ecosθ〖SX)〗 或r(1-ecosθ)=p，将其两端分别对时间求导有：〖XC31.TIF；%30%30〗 （ p是常数，〖XCP.TIF；%30%30〗=0）为了求出〖XC32.TIF；%30%30〗 ，将上述方程两端再分别对时间求导得： 〖XC33.TIF；%30%30〗
〖XC34.TIF；%30%30〗
根据开普勒第三定律：〖SX(〗a3〖〗T2〖SX)〗=k ，记太阳质量为M,有：
〖XC35.TIF；%30%30〗
对于太阳系而言， k是一个对所有行星都相同的常量，太阳的质量M也是常量，令〖XC36.TIF；%30%30〗 (常数)，有：〖XC36.TIF；%30%30〗(负号表示〖XCF.TIF；%30%30〗 的方向与〖XCI.TIF；%30%30〗 的方向相反，即为引力)
虽然牛顿运用微积分，质点模型以及他的运动定律，并结合行星的椭圆轨道方程导出了太阳对行星的引力存在距离平方成反比的数学关系，但还没有立刻认识到引力的普遍性。后来他通过月——地检验，苹果的设想等将其理论进行了推广，于1687年在哈雷的鼓励和资助下发表了传世之作《自然哲学的数学原理》，终于领悟了万有引力的真谛。
〖TP02.TIF;%60%60〗
〖LM〗