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“搅匀”岂能走过场
活动一(此活动安排在课始):摸球游戏(教师事先在红色布袋里装有6黄、2白乒乓球,但没有透露给学生)
游戏要求如下:
1.男、女生各5名,每人摸球2次。
2.每人都把摸出球的颜色向大家展示。
3.每次摸完后要把袋中的球搅匀再摸。
4.其他的同学用自己喜欢的方式记录。
教师安排一组男生和一组女生到讲台前交替摸球,并宣布摸到黄球多的算女生赢,摸到白球多的算男生赢,学生参与的热情可想而知。经过汇报统计,摸球结果是白球6次,黄球14次。学生一下子就反应过来了,猜测可能是黄球多白球少,这样的游戏是不公平的!
无疑,我们该为这位教师的设计叫好,从“男女生交替摸球”和“搅匀”要求的设置可以窥见教师对活动细节十分关注,活动预期效果已经达到。然而,作为现场的听课者,却发现了一个让人深思的问题。因为黄、白两色球的数量相差较大,在一开始的摸球游戏中学生严格遵守要求——摸后搅匀,但摸到白球的可能性总是没有出现。好不容易一位男生摸到了一个白球,放回袋中,把袋子稍作抖动状(其实根本没有搅匀)就开始了他的第二次摸球,果然他又摸到了白球,全体男生因此兴奋、激动、欢呼。下面的女生对此无任何异常反应,而摸球的整个过程教师都在一旁微笑观望,默不作声。
在游戏规则的公平性教学中,应该说活动操作要求的规范与否,直接影响学生对规则公平性的正确认识。活动中,教师注重了规范性的设置——搅匀,却在操作过程中走了样,而这些教师应该是尽收眼底的。是教师的无意疏忽,还是对男生的刻意包容?无论怎样这都是一种失误。在游戏中,教师和学生难道不应该全程关注“把袋中的球搅匀了吗”?那位男生连续摸球两次,第二次还能摸到相同颜色的球,这是偶然还是必然?虽然上述活动目标已经达到,但并不等于可以忽略活动细节。数学活动中的操作、实验是为了引发学生数学思考,学生对待操作、实验的态度应该是严谨的。如果教师能引导学生对游戏活动实施监督,一定会产生常态下的真实数据。
“说得通”未必正确
活动二:根据公平性规则设计游戏并进行摸球实验(每六人一组,共七组)
合作要求:
1.合理设计放入袋中小球的个数(有红色球和绿色球两种)。
2.小组成员轮流摸球,一共摸20次,每次任意摸一个,摸后放回;摸到红球次数多的算女生赢,摸到绿球次数多的算男生赢。
3.小组长合理安排记录和监督人员(事先印发了一张统计表)。
4.比一比哪一组既遵守规则,又抓紧时间。
学生有的小组将球的颜色设计成4红、4绿,有的设计成6红、6绿,有的设计成1红、1绿……虽然数目不同,但双色球的个数是相同的。设置完毕,学生都饶有兴致地投入到摸球实验中去,忙而不乱,活而有序。
合作要求可谓清楚细微,学生活动可谓紧张愉悦,实验结果很快出来了,但结果出乎意料。怎样解释事前的猜测与实验结果的出入,直接关乎学生对游戏规则公平性的深入认识。且看教师对学生汇报结果的引导分析与说明。
师:面对以上数据,同学们有话要说吗?
生1:红球和绿球的个数是相等的,按理说摸到它们的可能性应该相等,可为什么摸到两种球的次数基本上都不相等呢?
生2:我们全班实验的结果有输、有赢也有平,是不是说明规则是不公平的?
师:如果再摸1次,你能确定摸到什么颜色的球吗?
生3:不能确定,摸到的可能是红球,也可能是绿球。
师:既然每次摸球之前都无法确定是什么颜色的球,如果让我们继续摸下去,比如100次、1000次……我们还能确定谁输、谁赢吗?
生:不能确定。
师:是啊!正是因为有输、有赢也有平,才恰恰说明我们游戏的规则是公平的。(学生一脸迷茫)
……
听了本节课后,不少教师把这样的教学环节移植到自己的课堂,从某种意义上,这不失为节约教学成本的一条有效捷径。但就是这样一个看起来说得通,并且被教师们多次演绎的课堂活动,却似乎犯了严重的数学逻辑错误。难道从“有输、有赢、有平”这样实验结果的不确定性就能推断“游戏的规则是公平的吗”?换言之,当游戏规则不公平时(两种球的数量有差异),难道就不会出现输、赢、平这样的结果吗?既然当游戏规则公平抑或不公平时都有可能出现输、赢、平的结果,那又怎能确定“正是因为有输、有赢也有平才说明游戏的规则是公平的”?我认为,应把上述的推断反方向行之,即“正是因为游戏规则的公平性,才会出现结果‘输、赢、平’的不确定性”,这样的推理似乎更为严密和合乎逻辑。
反思与重建
上述教学内容是四年级上册的,是建立在学生对可能性大小和可能性相等有了初步认识的基础上进行的。“游戏规则公平性”这一课的教学目标是加深学生对可能性和可能性大小的体会,使学生联系实际问题,初步学会用可能性知识预测游戏结果,并根据等可能性规则设计或改造游戏。我们不难发现,学生在未做实验之前,对“游戏规则的公平性”还能够理解,可一旦做了实验面对众多实验数据的非绝对相等甚至是悬殊很大的现象却似乎怎么也说不清、道不明了。于是,教师只好挑选实验中的相等数据或接近的数据进行分析说明,使得实验结论差强人意,更有甚者索性回避做实验,避免不能自圆其说的尴尬,而这恰恰反应了教师对统计与概率概念的深入理解和正确把握的欠缺。
“概率就是实验次数无限增大时频率的极限。”(陈希儒语)陈老的这句话不禁令我豁然开朗,也让我对先前的曲解不甚汗颜。我陷入了深深的思考:“概率有其固有的思考方法,有别于讲究因果关系的逻辑思维和确定性思维。”游戏规则的公平性是可能性相等的预设与推想,而实验结果的不确定性只是一种确定的特殊状态,也正因为如此游戏才能充分彰显其内在的魅力,吸引人们不断去尝试、去体验。而“可能性相等”中的“相等”,其实就存在于随着实验次数的不断增大而不断逼近“几分之一”这样一个数值的过程中。
“可能性相等”并不是简单的数值相等,可能性是对事件没有发生时的一种预测,不是事件发生的必然结果。仅凭学生在有限的时间内进行有限次的实验,是很难让学生体会可能性相等的偶然中的必然性或不确定性中的确定性。为此,我认为:操作上述的摸球游戏,不妨先让学生分组搜集较少实验的数据,再把各组的实验数据汇总形成较大数量的实验数据,甚至可以把全班学生的实验数据汇总起来,最后把这些小、中、大的实验数据一并以条形统计图形式呈现出来,相信形象的“振幅”会使得趋向数值更为形象和清晰,学生对游戏规则的公平性将有更深入的认识与思考。
看来,一节平常课,只有深入研究、认真挖掘,才能让我们澄清对许多问题的片面认识,才能让我们的视野更为广阔和深远。
(责编杜华)
活动一(此活动安排在课始):摸球游戏(教师事先在红色布袋里装有6黄、2白乒乓球,但没有透露给学生)
游戏要求如下:
1.男、女生各5名,每人摸球2次。
2.每人都把摸出球的颜色向大家展示。
3.每次摸完后要把袋中的球搅匀再摸。
4.其他的同学用自己喜欢的方式记录。
教师安排一组男生和一组女生到讲台前交替摸球,并宣布摸到黄球多的算女生赢,摸到白球多的算男生赢,学生参与的热情可想而知。经过汇报统计,摸球结果是白球6次,黄球14次。学生一下子就反应过来了,猜测可能是黄球多白球少,这样的游戏是不公平的!
无疑,我们该为这位教师的设计叫好,从“男女生交替摸球”和“搅匀”要求的设置可以窥见教师对活动细节十分关注,活动预期效果已经达到。然而,作为现场的听课者,却发现了一个让人深思的问题。因为黄、白两色球的数量相差较大,在一开始的摸球游戏中学生严格遵守要求——摸后搅匀,但摸到白球的可能性总是没有出现。好不容易一位男生摸到了一个白球,放回袋中,把袋子稍作抖动状(其实根本没有搅匀)就开始了他的第二次摸球,果然他又摸到了白球,全体男生因此兴奋、激动、欢呼。下面的女生对此无任何异常反应,而摸球的整个过程教师都在一旁微笑观望,默不作声。
在游戏规则的公平性教学中,应该说活动操作要求的规范与否,直接影响学生对规则公平性的正确认识。活动中,教师注重了规范性的设置——搅匀,却在操作过程中走了样,而这些教师应该是尽收眼底的。是教师的无意疏忽,还是对男生的刻意包容?无论怎样这都是一种失误。在游戏中,教师和学生难道不应该全程关注“把袋中的球搅匀了吗”?那位男生连续摸球两次,第二次还能摸到相同颜色的球,这是偶然还是必然?虽然上述活动目标已经达到,但并不等于可以忽略活动细节。数学活动中的操作、实验是为了引发学生数学思考,学生对待操作、实验的态度应该是严谨的。如果教师能引导学生对游戏活动实施监督,一定会产生常态下的真实数据。
“说得通”未必正确
活动二:根据公平性规则设计游戏并进行摸球实验(每六人一组,共七组)
合作要求:
1.合理设计放入袋中小球的个数(有红色球和绿色球两种)。
2.小组成员轮流摸球,一共摸20次,每次任意摸一个,摸后放回;摸到红球次数多的算女生赢,摸到绿球次数多的算男生赢。
3.小组长合理安排记录和监督人员(事先印发了一张统计表)。
4.比一比哪一组既遵守规则,又抓紧时间。
学生有的小组将球的颜色设计成4红、4绿,有的设计成6红、6绿,有的设计成1红、1绿……虽然数目不同,但双色球的个数是相同的。设置完毕,学生都饶有兴致地投入到摸球实验中去,忙而不乱,活而有序。
合作要求可谓清楚细微,学生活动可谓紧张愉悦,实验结果很快出来了,但结果出乎意料。怎样解释事前的猜测与实验结果的出入,直接关乎学生对游戏规则公平性的深入认识。且看教师对学生汇报结果的引导分析与说明。
师:面对以上数据,同学们有话要说吗?
生1:红球和绿球的个数是相等的,按理说摸到它们的可能性应该相等,可为什么摸到两种球的次数基本上都不相等呢?
生2:我们全班实验的结果有输、有赢也有平,是不是说明规则是不公平的?
师:如果再摸1次,你能确定摸到什么颜色的球吗?
生3:不能确定,摸到的可能是红球,也可能是绿球。
师:既然每次摸球之前都无法确定是什么颜色的球,如果让我们继续摸下去,比如100次、1000次……我们还能确定谁输、谁赢吗?
生:不能确定。
师:是啊!正是因为有输、有赢也有平,才恰恰说明我们游戏的规则是公平的。(学生一脸迷茫)
……
听了本节课后,不少教师把这样的教学环节移植到自己的课堂,从某种意义上,这不失为节约教学成本的一条有效捷径。但就是这样一个看起来说得通,并且被教师们多次演绎的课堂活动,却似乎犯了严重的数学逻辑错误。难道从“有输、有赢、有平”这样实验结果的不确定性就能推断“游戏的规则是公平的吗”?换言之,当游戏规则不公平时(两种球的数量有差异),难道就不会出现输、赢、平这样的结果吗?既然当游戏规则公平抑或不公平时都有可能出现输、赢、平的结果,那又怎能确定“正是因为有输、有赢也有平才说明游戏的规则是公平的”?我认为,应把上述的推断反方向行之,即“正是因为游戏规则的公平性,才会出现结果‘输、赢、平’的不确定性”,这样的推理似乎更为严密和合乎逻辑。
反思与重建
上述教学内容是四年级上册的,是建立在学生对可能性大小和可能性相等有了初步认识的基础上进行的。“游戏规则公平性”这一课的教学目标是加深学生对可能性和可能性大小的体会,使学生联系实际问题,初步学会用可能性知识预测游戏结果,并根据等可能性规则设计或改造游戏。我们不难发现,学生在未做实验之前,对“游戏规则的公平性”还能够理解,可一旦做了实验面对众多实验数据的非绝对相等甚至是悬殊很大的现象却似乎怎么也说不清、道不明了。于是,教师只好挑选实验中的相等数据或接近的数据进行分析说明,使得实验结论差强人意,更有甚者索性回避做实验,避免不能自圆其说的尴尬,而这恰恰反应了教师对统计与概率概念的深入理解和正确把握的欠缺。
“概率就是实验次数无限增大时频率的极限。”(陈希儒语)陈老的这句话不禁令我豁然开朗,也让我对先前的曲解不甚汗颜。我陷入了深深的思考:“概率有其固有的思考方法,有别于讲究因果关系的逻辑思维和确定性思维。”游戏规则的公平性是可能性相等的预设与推想,而实验结果的不确定性只是一种确定的特殊状态,也正因为如此游戏才能充分彰显其内在的魅力,吸引人们不断去尝试、去体验。而“可能性相等”中的“相等”,其实就存在于随着实验次数的不断增大而不断逼近“几分之一”这样一个数值的过程中。
“可能性相等”并不是简单的数值相等,可能性是对事件没有发生时的一种预测,不是事件发生的必然结果。仅凭学生在有限的时间内进行有限次的实验,是很难让学生体会可能性相等的偶然中的必然性或不确定性中的确定性。为此,我认为:操作上述的摸球游戏,不妨先让学生分组搜集较少实验的数据,再把各组的实验数据汇总形成较大数量的实验数据,甚至可以把全班学生的实验数据汇总起来,最后把这些小、中、大的实验数据一并以条形统计图形式呈现出来,相信形象的“振幅”会使得趋向数值更为形象和清晰,学生对游戏规则的公平性将有更深入的认识与思考。
看来,一节平常课,只有深入研究、认真挖掘,才能让我们澄清对许多问题的片面认识,才能让我们的视野更为广阔和深远。
(责编杜华)