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[摘 要]
数学课题学习是将生活中的数学与课堂上的数学联系在一起，为研究性学习提供了课程平台。在多个“做数学”课题学习活动中，教师所设计的问题难度适中，由浅入深，层层递进，让学生充分体验到知识的发现过程及解决问题的思维方法。
[关键词]
课题学习；归纳；猜想
“课题学习”是《数学课程标准》初中内容中的一个重要部分，是“实践与综合应用”领域内容的重要呈现。通过课题学习，教师应着力培养学生归纳能力、探究能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力。本文以《数格点，找规律，算面积》课堂教学为例，谈谈课题学习研究的实践与应用的方略。
一、创设情境，引发兴趣
师：如图1，每个格点之间的距离都为1。如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形。思考一下，在图1的两个格点多边形中，哪个的面积大？
生1：可以用割补法。用大长方形的面积减去其他的小直角三角形的面积就可以计算左右两边多边形的面积。
生2：也可以把这两个图形分割成多个梯形和三角形来计算面积。
师：这两种直观的方法都非常好。还有没有其他的更好的方法来计算多边形面积呢？（学生思考时无结果）
师：今天，我们就来学习借助数格点来计算多边形面积的方法。
【自我点评】
问题的建立给了学生思维的空间，而且学生特别想知道还有什么其他办法来计算格点多边形的面积，学习积极性被迅速调动起来。
二、小组讨论，思考方法
师：设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，下面我们来研究S、N、L三者之间的关系。（学生以小组为单位进行讨论）
生：可以先从简单的情况开始研究，看看这三个量之间有什么关系，然后再继续研究复杂的情况。
师：非常好。当我们遇到复杂问题的时候，先可以从简单的问题入手研究，然后循序渐进研究复杂的问题。
【自我点评】
教师创设了一个以计算格点多边形面积为背景的问题，为学生提供了一个动手操作实践的数学环境，让学生在“做数学”的过程中体验知识的发现过程及解决问题的思维方法。该问题的设计体现了从简单到复杂、从特殊到一般的不完全归纳的数学思想，更加注重知识的形成过程的引领，符合新课程落实“过程性目标”的指导思想。
三、动手实践，猜想结论
活动1：
（1）如图2-①②③都是满足N=0的格点多边形，请你在图2-④中再画出一个N=0的格点多边形。
（2）根据图2，完成下表：
师：当N=0时，S与L有什么关系？
生：通过计算发现S=[12L-1]。
师：在你画的2-④图中，这个关系式是否仍然成立？
生：成立。
【自我点评】
教师在带领学生研究有挑战性的问题时，要降低切入点的难度，以提升学生解决问题的信心，最大限度地调动学习的积极性。活动1是从最特殊的N=0的情况开始入手，把研究的问题简单化，便于学生入手。学生通过亲身实践，很容易得出了S=[12L-1]的结论。
活动2：
（1）如图3-①②③都是满足N=1的格点多边形，请你在图3-④中再画出一个N=1的格点多边形。
（2）根据图3，完成下表：
师：当N=1时，S与[12L-1]仍相等吗？
生：（异口同声）不相等。
师：大家思考下，S与L有怎样的数量关系呢？
生：当N=1时，S=[12L]。
……
【自我点评】
活动2的设置是为了引发学生的认知冲突。学生通过计算发现，在活动1中得出的结论不适用于N=1的格点多边形面积的计算，只有继续研究其他情况来发现其中的规律。接下来教师的提问可以分为两种形式：一是问，怎样用N、L的代数式来表示S？二是问，S与L有怎样的数量关系？如果按照第一种方法来提问，学生马上会通过数值来研究三者的关系来思考，那么这是教师牵着学生过河，学生的思维只会被限制在教师设置的条条框框中。因此，教师首先不能急于给学生带路，要留有余地，给学生主动探究的时间和空间，促进学生的探究力和思维力的发展。同时，学生学过的函数只是研究过两个变量之间的关系，如果此时研究S、N、L三个量之间的关系，对于学生来说难度较大。过难的问题会极大地抑制学生探究问题的欲望和积极性。所以教师设计的问题情境的难度要适中，由浅入深，由易到难，层层递进，这便于学生上手操作研究。
四、深入研究，猜想结论
活动3：
（1）如图4-①②③都是满足N=2的格点多边形，请你在图4-④中再画出一个N=2的格点多边形。
（2）根据图4，完成下表：
师：当N=2时，S与L有什么关系？
生：当N=2时，S=[12L 1]。
……
活动4：
（1）如图5-①②③都是满足N=3的格点多边形，请你在图5-④中再画出一个N=3的格点多边形。
（2）根据图5，完成下表：
师：当N=3时，S与L有什么关系？
生：当N=3时，S=[12L 2]。
师：我们一起研究了当N=0、1、2、3时，S与L的关系，同学们还有什么发现吗？
生：我发现当N=0、1、2、3时，S始终等于[12L]加上一个数。
师：你认为加上的这个数是任意的，还是存在什么规律？
生：加上的这个数始终等于N-1。
师：现在我们能得到格点多边形的面积S与多边形内部的格点数N、边上的格点数L之间的数量关系式吗？
生：关系式为S=[N 12L-1]。
师：回答得非常好。我们刚才研究并验证的关系式就是著名的“皮克定理”。
……
【自我点评】
在上述的环节活动中，学生经历了画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证了S、N、L三者之间的关系，即S=[N 12L-1]。同时，学生初步认识了“特殊与一般”之间的辩证关系，获取了由“简单到复杂”的探究问题的方法和经验，提高了分析问题和解决问题的能力。
五、拓展延伸，创新留白
（1）如果每相邻的四个点构成的小长方形的面积是1，如图6，那么还能用“皮克定理”来求多边形的面积吗？
（2）如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1，如图7，那么还能用“皮克定理”来求多边形的面积吗？
【自我点评】
俗话说：“师傅领进门，修行在个人”，上课既然是“领进门”，就要让学生从教师讲课的字里行间看出个广阔天地。拓展性的问题情境，既联系着当前教学应当解决的问题，又蕴含着与当前问题有关，让学生自己去回味、思考的问题，营造了一种完而未完，意犹未尽的教学心理境界，学生会迫不及待地去继续学习、探究。教师不把问题讲尽、讲完，要有意识地把一些加深、加宽的内容留到习题和课外去，让学生独立去想，目的在于激发学生循着教师讲课的线索去继续深入地思考问题，使课堂教学具有延伸性。同时，这也减少了课外学习的盲目性和被动型。
[参 考 文 献]
[1]王锋.“课题学习”的案例探究与启示[J].中国数学教育，2012（1-2）.
（责任编辑：张华伟）
数学课题学习是将生活中的数学与课堂上的数学联系在一起，为研究性学习提供了课程平台。在多个“做数学”课题学习活动中，教师所设计的问题难度适中，由浅入深，层层递进，让学生充分体验到知识的发现过程及解决问题的思维方法。
[关键词]
课题学习；归纳；猜想
“课题学习”是《数学课程标准》初中内容中的一个重要部分，是“实践与综合应用”领域内容的重要呈现。通过课题学习，教师应着力培养学生归纳能力、探究能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力。本文以《数格点，找规律，算面积》课堂教学为例，谈谈课题学习研究的实践与应用的方略。
一、创设情境，引发兴趣
师：如图1，每个格点之间的距离都为1。如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形。思考一下，在图1的两个格点多边形中，哪个的面积大？
生1：可以用割补法。用大长方形的面积减去其他的小直角三角形的面积就可以计算左右两边多边形的面积。
生2：也可以把这两个图形分割成多个梯形和三角形来计算面积。
师：这两种直观的方法都非常好。还有没有其他的更好的方法来计算多边形面积呢？（学生思考时无结果）
师：今天，我们就来学习借助数格点来计算多边形面积的方法。
【自我点评】
问题的建立给了学生思维的空间，而且学生特别想知道还有什么其他办法来计算格点多边形的面积，学习积极性被迅速调动起来。
二、小组讨论，思考方法
师：设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，下面我们来研究S、N、L三者之间的关系。（学生以小组为单位进行讨论）
生：可以先从简单的情况开始研究，看看这三个量之间有什么关系，然后再继续研究复杂的情况。
师：非常好。当我们遇到复杂问题的时候，先可以从简单的问题入手研究，然后循序渐进研究复杂的问题。
【自我点评】
教师创设了一个以计算格点多边形面积为背景的问题，为学生提供了一个动手操作实践的数学环境，让学生在“做数学”的过程中体验知识的发现过程及解决问题的思维方法。该问题的设计体现了从简单到复杂、从特殊到一般的不完全归纳的数学思想，更加注重知识的形成过程的引领，符合新课程落实“过程性目标”的指导思想。
三、动手实践，猜想结论
活动1：
（1）如图2-①②③都是满足N=0的格点多边形，请你在图2-④中再画出一个N=0的格点多边形。
（2）根据图2，完成下表：
师：当N=0时，S与L有什么关系？
生：通过计算发现S=[12L-1]。
师：在你画的2-④图中，这个关系式是否仍然成立？
生：成立。
【自我点评】
教师在带领学生研究有挑战性的问题时，要降低切入点的难度，以提升学生解决问题的信心，最大限度地调动学习的积极性。活动1是从最特殊的N=0的情况开始入手，把研究的问题简单化，便于学生入手。学生通过亲身实践，很容易得出了S=[12L-1]的结论。
活动2：
（1）如图3-①②③都是满足N=1的格点多边形，请你在图3-④中再画出一个N=1的格点多边形。
（2）根据图3，完成下表：
师：当N=1时，S与[12L-1]仍相等吗？
生：（异口同声）不相等。
师：大家思考下，S与L有怎样的数量关系呢？
生：当N=1时，S=[12L]。
……
【自我点评】
活动2的设置是为了引发学生的认知冲突。学生通过计算发现，在活动1中得出的结论不适用于N=1的格点多边形面积的计算，只有继续研究其他情况来发现其中的规律。接下来教师的提问可以分为两种形式：一是问，怎样用N、L的代数式来表示S？二是问，S与L有怎样的数量关系？如果按照第一种方法来提问，学生马上会通过数值来研究三者的关系来思考，那么这是教师牵着学生过河，学生的思维只会被限制在教师设置的条条框框中。因此，教师首先不能急于给学生带路，要留有余地，给学生主动探究的时间和空间，促进学生的探究力和思维力的发展。同时，学生学过的函数只是研究过两个变量之间的关系，如果此时研究S、N、L三个量之间的关系，对于学生来说难度较大。过难的问题会极大地抑制学生探究问题的欲望和积极性。所以教师设计的问题情境的难度要适中，由浅入深，由易到难，层层递进，这便于学生上手操作研究。
四、深入研究，猜想结论
活动3：
（1）如图4-①②③都是满足N=2的格点多边形，请你在图4-④中再画出一个N=2的格点多边形。
（2）根据图4，完成下表：
师：当N=2时，S与L有什么关系？
生：当N=2时，S=[12L 1]。
……
活动4：
（1）如图5-①②③都是满足N=3的格点多边形，请你在图5-④中再画出一个N=3的格点多边形。
（2）根据图5，完成下表：
师：当N=3时，S与L有什么关系？
生：当N=3时，S=[12L 2]。
师：我们一起研究了当N=0、1、2、3时，S与L的关系，同学们还有什么发现吗？
生：我发现当N=0、1、2、3时，S始终等于[12L]加上一个数。
师：你认为加上的这个数是任意的，还是存在什么规律？
生：加上的这个数始终等于N-1。
师：现在我们能得到格点多边形的面积S与多边形内部的格点数N、边上的格点数L之间的数量关系式吗？
生：关系式为S=[N 12L-1]。
师：回答得非常好。我们刚才研究并验证的关系式就是著名的“皮克定理”。
……
【自我点评】
在上述的环节活动中，学生经历了画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证了S、N、L三者之间的关系，即S=[N 12L-1]。同时，学生初步认识了“特殊与一般”之间的辩证关系，获取了由“简单到复杂”的探究问题的方法和经验，提高了分析问题和解决问题的能力。
五、拓展延伸，创新留白
（1）如果每相邻的四个点构成的小长方形的面积是1，如图6，那么还能用“皮克定理”来求多边形的面积吗？
（2）如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1，如图7，那么还能用“皮克定理”来求多边形的面积吗？
【自我点评】
俗话说：“师傅领进门，修行在个人”，上课既然是“领进门”，就要让学生从教师讲课的字里行间看出个广阔天地。拓展性的问题情境，既联系着当前教学应当解决的问题，又蕴含着与当前问题有关，让学生自己去回味、思考的问题，营造了一种完而未完，意犹未尽的教学心理境界，学生会迫不及待地去继续学习、探究。教师不把问题讲尽、讲完，要有意识地把一些加深、加宽的内容留到习题和课外去，让学生独立去想，目的在于激发学生循着教师讲课的线索去继续深入地思考问题，使课堂教学具有延伸性。同时，这也减少了课外学习的盲目性和被动型。
[参 考 文 献]
[1]王锋.“课题学习”的案例探究与启示[J].中国数学教育，2012（1-2）.
（责任编辑：张华伟）