论文部分内容阅读
高中数学几何问题主要包括立体几何和解析几何两大部分，它们构成了高考的两大主体考点，随着近年来对高考研究的不断深入，一大批格调清新、设计独特的几何问题在高考和平时的模考中闪亮登场。这些问题推陈出新，题型新颖，值得我们去认真探究。本文推出以下相关的几何问题供读者赏析，希望对大家有所启发和帮助。
【例1】（原创题）过直线l：y=2x上一点P作圆M：（x-3）2+（y-2）2=45的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线l对称时，求∠APB.
分析由于过直线l上的点P作圆M的两条切线l1，l2，可知切线长PA，PB相等，又当直线l1，l2关于直线l对称，因此只要过圆心M作直线l的垂线，垂足即为P在直线l上的位置，利用勾股定理计算即可。
解过圆心M作直线l的垂线，垂足为P，则切线l1，l2关于直线l对称.此时M到直线l：2x-y=0的距离MP=|2×3-2|5=45，又圆M的半径r=25，在直角△MPA中，∴∠MPA=30°，∴∠APB=60°.
点拨在直线与圆的位置关系研究中，如果涉及切线问题，通常可以利用平面几何中的对称知识进行求解。
【例2】（2012·苏大考前预测题（原创））已知椭圆C1：x22+y2=1 和圆C2：x2+y2=1，左顶点和下顶点分别为A，B，F是椭圆C1的右焦点.
（1）点P是曲线C1上位于第二象限的一点，若△APF的面积为12+24，求证：AP⊥OP；
（2）点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点.
分析第（1）问，关键是求P点的坐标，证明AP⊥OP可以用斜率或向量计算得到；第（2）问，设直线BM的斜率为k，则由题意可得到直线BN的斜率为2k，通过解方程组，用k表示点M和N的坐标，写出直线MN的方程以确定其恒过定点。
解（1）设曲线C1上的点P（x0，y0），且x0<0，y0>0，由题意A（-2，0），F（1，0），∵△APF的面积为12+24，∴S△APF=12·AF·y=12（1+2）y0=12+24，解得y0=22，x0=-22，即P-22，22
∴AP·OP=22，22·-22，22=0，
∴AP⊥OP.
（2）设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点B（0，-1），
∴直线BM的方程为y=kx-1，直线BN的方程为y=2kx-1.
由y=kx-1
x2+2y2=2，得（1+2k2）x2-4kx=0，
解得xM=4k2k2+1，yM=k·4k2k2+1-1=2k2-12k2+1，即M4k2k2+1，2k2-12k2+1.
y=2kx-1，
x2+2y2=2，得（1+4k2）x2-4kx=0，
解得xN=4k4k2+1，yN=2k·4k4k2+1-1=4k2-14k2+1，即N4k4k2+1，4k2-14k2+1.
直线MN的斜率kMN=4k2-14k2+1-2k2-12k2+14k4k2+1-4k2k2+1=（4k2-1）（2k2+1）-（4k2+1）（2k2-1）4k（2k2+1）-4k（4k2+1）=-12k，
∴直线MN的方程为y-2k2-12k2+1=-12kx-4k2k2+1，
整理得，y=-12kx+1，∴直线MN恒过定点（0，1）.
点拨在求解第（2）问时，我们可以猜想直线MN可能恒过椭圆的上顶点。事实上，如果MN过椭圆的上顶点B1，由椭圆和性质得kMB·kMB1=-b2a2=-12，由圆的性质得kNB·kNB1=-1，而M，N，B1共线，则kMB1=kNB1=kMN，所以直线MN的斜率为-12k。由此可知，若椭圆的离心率为22，不改变题意，都可以证明直线MN恒过上顶点；若椭圆的离心率为32时，只要改变题目中的条件“直线BN的斜率是直线BM斜率的4倍”，仍然可以证明直线MN恒过上顶点；读者不妨一试。
【例3】 （2012·南京金陵中学考前预测卷）如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为AC的中点.梯形ACDE中，DE∥AC，且AC=2DE，平面ACDE⊥平面ABC.
求证：（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面BAE.
分析在利用面面垂直的性质定理时，考虑到圆的性质，第（1）问要注意到隐含条件∠BAC=90°；第（2）问要注意隐含条件OF⊥AC。
解（1） 因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，AB平面ABC，又在半圆O中，AB⊥AC.所以AB⊥平面ACDE.因为AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACDE.
（2）设线段AC与OF交于点M，连接MD.因为F为AC的中点，所以OF⊥AC，M为AC的中点.因为AB⊥AC，OF⊥AC，所以OF∥AB.又OF平面BAE，AB平面ABE，
所以OF∥平面BAE.因为M为AC的中点，且DE∥AC，AC=2DE，所以DE∥AM，且DE=AM.
所以四边形AMDE为平行四边形，所以DM∥AE.又DM平面BAE，AE平面ABE，所以DM∥平面BAE.又OF∥平面BAE，MD∩OF=M，MD平面OFD，OF平面OFD，所以平面OFD∥平面BAE.
点拨处理立体几何中的线面或面面位置关系时，一方面要正确运用定理，另一方面要特别注意所给几何模型的特点，挖掘特殊几何体中所隐含的几何关系（如垂直和平行的条件）。
【例4】 （2012·天津卷）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角APCD的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.
分析对于底面是一个不规则图形，而条件中又有直线与平面垂直的条件，结合底面四边形的垂直关系，我们可以选取以AD，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法解决比较方便。
解（1）以为AD，AC，AP为x，y，z正半轴方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则D（2，0，0），C（0，1，0），B-12，12，0，P（0，0，2）
∴PC=（0，1，-2），AD=（2，0，0），∴PC·AD=0，∴PC⊥AD.
（2）PC=（0，1，-2），CD=（2，-1，0），设平面PCD的法向量n=（x，y，z），则n·PC=0，
n·CD=0，即y-2z=0
2x-y=0，取z=1，则x=1，y=2，∴n=（1，2，1）.又AD=（2，0，0）是平面PAC的法向量，
∴cos〈AD，n〉=AD·n|AD|·|n|=66，设二面角APCD=θ，
∴二面角APCD的正弦值sinθ=306.
（3）设AE=h∈[0，2]，则，AE=（0，0，2），BE=12，-12，h，CD=（2，-1，0），
∵cos〈BE，CD〉=BE·CD|BE|·|CD|，
∴310+20h2=32，解得h=1010，即AE=1010.
点拨试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
牛刀小试
1. （2012·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则k的最大值是.
1. 过点M（12，1）的直线l与圆C：（x-1）2+y2=4交于A，B两点，当 ∠ACB最小时，直线l的方程为.
2. 如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=2，BC=2，E是CD的中点，BE交AC于M，将△CBE沿BE折起，使平面C′BE⊥平面ABED.
（1）求证：BE⊥平面C′AM；
（2）若F是AC′的中点，求证：DF∥平面C′BE；
（3）求三棱锥EABC′的体积.
3. 如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点为F1、F2，点P为椭圆上动点，弦PA，PB分别过点F1，F2.
（1）若F1（-3，0），当PF1⊥F1F2时，点O到PF2的距离为2417，求椭圆的方程；
（2）设PF1=λ1F1A，PF2=λ2F2B，求证：λ1+λ2为定值.
5. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P在棱CC1上，且∠A1PB=π2.
（1）求PC的长；
（2）求钝二面角AA1B-P的大小.
（作者：吴锷江苏省苏州第十中学）
【例1】（原创题）过直线l：y=2x上一点P作圆M：（x-3）2+（y-2）2=45的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线l对称时，求∠APB.
分析由于过直线l上的点P作圆M的两条切线l1，l2，可知切线长PA，PB相等，又当直线l1，l2关于直线l对称，因此只要过圆心M作直线l的垂线，垂足即为P在直线l上的位置，利用勾股定理计算即可。
解过圆心M作直线l的垂线，垂足为P，则切线l1，l2关于直线l对称.此时M到直线l：2x-y=0的距离MP=|2×3-2|5=45，又圆M的半径r=25，在直角△MPA中，∴∠MPA=30°，∴∠APB=60°.
点拨在直线与圆的位置关系研究中，如果涉及切线问题，通常可以利用平面几何中的对称知识进行求解。
【例2】（2012·苏大考前预测题（原创））已知椭圆C1：x22+y2=1 和圆C2：x2+y2=1，左顶点和下顶点分别为A，B，F是椭圆C1的右焦点.
（1）点P是曲线C1上位于第二象限的一点，若△APF的面积为12+24，求证：AP⊥OP；
（2）点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点.
分析第（1）问，关键是求P点的坐标，证明AP⊥OP可以用斜率或向量计算得到；第（2）问，设直线BM的斜率为k，则由题意可得到直线BN的斜率为2k，通过解方程组，用k表示点M和N的坐标，写出直线MN的方程以确定其恒过定点。
解（1）设曲线C1上的点P（x0，y0），且x0<0，y0>0，由题意A（-2，0），F（1，0），∵△APF的面积为12+24，∴S△APF=12·AF·y=12（1+2）y0=12+24，解得y0=22，x0=-22，即P-22，22
∴AP·OP=22，22·-22，22=0，
∴AP⊥OP.
（2）设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点B（0，-1），
∴直线BM的方程为y=kx-1，直线BN的方程为y=2kx-1.
由y=kx-1
x2+2y2=2，得（1+2k2）x2-4kx=0，
解得xM=4k2k2+1，yM=k·4k2k2+1-1=2k2-12k2+1，即M4k2k2+1，2k2-12k2+1.
y=2kx-1，
x2+2y2=2，得（1+4k2）x2-4kx=0，
解得xN=4k4k2+1，yN=2k·4k4k2+1-1=4k2-14k2+1，即N4k4k2+1，4k2-14k2+1.
直线MN的斜率kMN=4k2-14k2+1-2k2-12k2+14k4k2+1-4k2k2+1=（4k2-1）（2k2+1）-（4k2+1）（2k2-1）4k（2k2+1）-4k（4k2+1）=-12k，
∴直线MN的方程为y-2k2-12k2+1=-12kx-4k2k2+1，
整理得，y=-12kx+1，∴直线MN恒过定点（0，1）.
点拨在求解第（2）问时，我们可以猜想直线MN可能恒过椭圆的上顶点。事实上，如果MN过椭圆的上顶点B1，由椭圆和性质得kMB·kMB1=-b2a2=-12，由圆的性质得kNB·kNB1=-1，而M，N，B1共线，则kMB1=kNB1=kMN，所以直线MN的斜率为-12k。由此可知，若椭圆的离心率为22，不改变题意，都可以证明直线MN恒过上顶点；若椭圆的离心率为32时，只要改变题目中的条件“直线BN的斜率是直线BM斜率的4倍”，仍然可以证明直线MN恒过上顶点；读者不妨一试。
【例3】 （2012·南京金陵中学考前预测卷）如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为AC的中点.梯形ACDE中，DE∥AC，且AC=2DE，平面ACDE⊥平面ABC.
求证：（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面BAE.
分析在利用面面垂直的性质定理时，考虑到圆的性质，第（1）问要注意到隐含条件∠BAC=90°；第（2）问要注意隐含条件OF⊥AC。
解（1） 因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，AB平面ABC，又在半圆O中，AB⊥AC.所以AB⊥平面ACDE.因为AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACDE.
（2）设线段AC与OF交于点M，连接MD.因为F为AC的中点，所以OF⊥AC，M为AC的中点.因为AB⊥AC，OF⊥AC，所以OF∥AB.又OF平面BAE，AB平面ABE，
所以OF∥平面BAE.因为M为AC的中点，且DE∥AC，AC=2DE，所以DE∥AM，且DE=AM.
所以四边形AMDE为平行四边形，所以DM∥AE.又DM平面BAE，AE平面ABE，所以DM∥平面BAE.又OF∥平面BAE，MD∩OF=M，MD平面OFD，OF平面OFD，所以平面OFD∥平面BAE.
点拨处理立体几何中的线面或面面位置关系时，一方面要正确运用定理，另一方面要特别注意所给几何模型的特点，挖掘特殊几何体中所隐含的几何关系（如垂直和平行的条件）。
【例4】 （2012·天津卷）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角APCD的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.
分析对于底面是一个不规则图形，而条件中又有直线与平面垂直的条件，结合底面四边形的垂直关系，我们可以选取以AD，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法解决比较方便。
解（1）以为AD，AC，AP为x，y，z正半轴方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则D（2，0，0），C（0，1，0），B-12，12，0，P（0，0，2）
∴PC=（0，1，-2），AD=（2，0，0），∴PC·AD=0，∴PC⊥AD.
（2）PC=（0，1，-2），CD=（2，-1，0），设平面PCD的法向量n=（x，y，z），则n·PC=0，
n·CD=0，即y-2z=0
2x-y=0，取z=1，则x=1，y=2，∴n=（1，2，1）.又AD=（2，0，0）是平面PAC的法向量，
∴cos〈AD，n〉=AD·n|AD|·|n|=66，设二面角APCD=θ，
∴二面角APCD的正弦值sinθ=306.
（3）设AE=h∈[0，2]，则，AE=（0，0，2），BE=12，-12，h，CD=（2，-1，0），
∵cos〈BE，CD〉=BE·CD|BE|·|CD|，
∴310+20h2=32，解得h=1010，即AE=1010.
点拨试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
牛刀小试
1. （2012·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则k的最大值是.
1. 过点M（12，1）的直线l与圆C：（x-1）2+y2=4交于A，B两点，当 ∠ACB最小时，直线l的方程为.
2. 如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=2，BC=2，E是CD的中点，BE交AC于M，将△CBE沿BE折起，使平面C′BE⊥平面ABED.
（1）求证：BE⊥平面C′AM；
（2）若F是AC′的中点，求证：DF∥平面C′BE；
（3）求三棱锥EABC′的体积.
3. 如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点为F1、F2，点P为椭圆上动点，弦PA，PB分别过点F1，F2.
（1）若F1（-3，0），当PF1⊥F1F2时，点O到PF2的距离为2417，求椭圆的方程；
（2）设PF1=λ1F1A，PF2=λ2F2B，求证：λ1+λ2为定值.
5. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P在棱CC1上，且∠A1PB=π2.
（1）求PC的长；
（2）求钝二面角AA1B-P的大小.
（作者：吴锷江苏省苏州第十中学）