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1.案例背景
数学概念是数学知识中最基本的内容，反映着人们对现实世界空间形式和数量关系的丰富和深刻的认识。一切数学思维都以数学概念为基础，凭借数学概念来进行，所以数学概念的学习在数学学习中占有极重要的地位。学生对数学概念的学习不仅是重要的，而且是困难的。在有关学生概念学习的大量实践研究中，多次证明了这一点。作为一线教师，我在教学实践中也是深有体会的。
科学研究表明从婴儿开始，人就具有组织经验的能力，对面孔、声音、表情、颜色等等进行分类，形成了儿童自己的一些概念。来到课堂中的学生并不是一张白纸。这些儿童已经具有的前概念是我们进行教学的起始基础。学生学习数学概念，是在他们己有的认知结构的基础上进行的。我认为：有效的概念教学应将概念的逻辑联系与学习者已有经验有机结合起来，在此基础上设计教学过程。
基于以上认识，我在教学五年级下册《分数的意义》一课前做了认真的分析。这部分内容是在学生已有了初步认识分数的基础上展开的。在三年级上册，学生已经学习了把一个物体、一个图形平均分成几份，用几分之一、几分之几表示其中的一份或几份。在三年级下册，学生又学习了把若干个物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几表示这样的一份或几份。五年级下册的《认识分数》单元主要引导学生抽象出单位“1”的概念，概括分数的意义、认识分数的单位。以对分数单位的认识为基础，认识真分数、假分数。探讨分数与除法的关系，扩展对分数意义的理解，继而用分数与除法之间关系进一步掌握求一个数是另一个数的几分之几的方法等等。分数的意义是这一系列知识的核心概念，后续知识都是围绕它而展开的。整个知识系统如图所示：
在分数意义这个核心概念中，帮助学生抽象出单位“1”是教学的关键。而对于单位“1”的认识，学生是有经验的，学生在三年级的学习中已经有了较为充分的感性认识。结合小班教学的特点，我决定放手让学生自主探究，通过交流、讨论、思维的碰撞来得出新概念。
2.案例回放
师：今天这节课我们来研究分数。
生：老师，我们在以前已经学习过分数了。
师：真的吗？你们已经认识分数了？
生齐说：是的。
师：那就请告诉我究竟什么是分数吧！（有学生举手想说）但是说的得让大家清楚明白。请同学们先在小组内交流、讨论一下，看看你的想法能不能让小组内的同学听明白。
学生在小组里交流。全班汇报：
第一组学生代表：分数是指把一个物体平均分成几份表示其中的一份或几份的数。（教师相机板书）
师：我有一个问题，“一个物体”指什么呢？
生：可以是任意的一样东西，一个苹果、一个西瓜、一块蛋糕、一杯水等等。
（教师相机板书学生举的实例。）
师：底下的同学们同意他们组的说法吗？
学生表示认可。
教师出示：
师：这几副图能用分数表示吗？
生汇报答案，并说说自己是怎样想的。
师：不对呀！最后一幅图也能用分数表示吗？按照你们的定义，分数是把“一个物体”平均分成几份表示其中的一份或几份的数呀。这里可不是把“一个物体”平均分呀！
学生们沉默了一会儿。
有学生说：最后一幅图是把6个圆看成一个整体，进行平均分的。
师：是的，我们可以把几个物体看成一个整体，进行平均分，再表示出相应的分数。在这里平均分的是“几个物体”而不是“一个物体”，你们的定义完整、准确吗？
学生沉默了一会儿，摇了摇头。
师：请同学们在小组里再次讨论，究竟什么是分数？怎样让我们的表述更加准确？（学生组内交流）
小组代表汇报：把一个物体或几个物体组成的一个整体平均分成几份，表示其中的一份或几份的数，是分数。（教师相机板书）
师：经过这样的修改，我们的认识更加完善了。其实刚刚同学们只是在原有的初次定义中做了一点添加，但是这一点点的改动是我们积极思考的结果，是智慧的显现。许多科学概念就是在这样的思考中不断完善的。
师出示：
能用分数表示吗？（指名汇报。）
师：老师又有问题了？这里的“1米”是“一个物体”吗？是“几个物体组成的整体”吗？那它怎么可以用分数表示呢？刚才的定义有漏洞吗？
生：有。我觉得1米、一个物体、一个整体都可以看做“1”。
师：那你想怎么定义分数？
生：把“1”平均分成平均分成几份，表示其中的一份或几份的数，是分数。
（教师相机板书）
师：这样说，可以吗？
生：我觉得这样说比较简洁了。但是写1的话，会让人产生误会的。我们知道这个1是有含义的，特殊的。人家也许会以为是数字1。
许多学生表示赞同。
师：那该怎么办呢？既要简洁又要能准确表达。（学生们陷入沉思）
师：其实数学家们也遇上了这样的问题，经过思考他们决定用——单位“1”来表示这样的“一个物体”、“几个物体组成的一个整体”、“一个计量单位”等等。有了这样的规定，现在你能说一说什么是分数了吗？
生：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或是几份的数，叫做分数。
师出示刚才的几幅图，问：能说说这几道题中什么是单位“1”吗？（学生汇报）组织学生交流这些分数分别是把单位“1”平均分成了几份，表示这样的几份？由此概括出分数的意义。
3.案例反思
脑科学研究表明：人对概念的接受有两种情况。一种情况是概念发生根本性的移转，即需要重新建构概念。让学生重新构建概念的学习是困难的，常常经过一、两节课的教学都不能解决问题。另一种是在已有的概念结构上增加一些知识，增加的知识和原来学生持有的概念之间不存在冲突，这种微小的概念变化不需要将原来的知识重新建构，就比较容易被学生接受。上述《分数意义》的案例中，学生以往所学的“认识分数”的知识就是认知结构中原有的前概念，“单位1”则是需要增加的知识，而这个知识又是与学生原有认知不冲突的概念。只要教学得法，学生是能够理解的。 学生基于旧知识认知建构新概念的学习，即从已知的经验迁移到未知，简单地说是从旧知识推出新知识，再加以应用。学习者总是以其自身的经验来理解和建构新的知识或信息，也就是说学生不是空着脑袋过来学习的，而脑袋里装着什么，也就是我们所说的学生的已有经验，是我们设计教学过程的前提和基础。
3.1 从学生已有生活经验出发，建构概念。
在日常生活中，在以往的学习过程中学生已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙星体运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有自己的看法，有了自己的理解。这就要求教师在教学中要善于把数学概念与学生的生活经验联系起来，并通过数学活动，让学生理解概念。例如：在教学低年级“相邻数”这一概念时，让学生运用“邻居”这一生活经验来理解“相邻”的含义。并让学生排排队，找一找谁与自己相邻，从而理解了比一个数大1，比一个数小1的数，都是与这个数相邻的数。
3.2 从学生已有知识经验出发，建构概念。
课堂教学过程目的是将教材的知识结构转化为学生的知识结构。让学生把新概念内化，同已有的概念形成概念体系。这就要求我们不能单纯地将学生已有知识概念再教一次，也不可认为学生已经会了，就放任不教。我们说尊重学生已有的知识经验就是帮助学生找到新旧概念的“连结点”，让新旧概念之间建立其非人为的实质性联系，实现知识地迁移，更好的形成概念体系。教学《分数意义》一课时，我在充分调动学生已有经验的基础上，层层推进。引导学生从已有概念出发，将已有的单位“1”的经验抽象概括化，逐步呈现出“分数意义”的概念。既符合学生的认知规律，又降低了学生学习的难度。学生亲历概念形成的过程，在掌握概念的同时，也学会了抽象概括的方法，培养了探究的能力。
3.3 从学生已有认知能力出发，建构概念。
学生在学习过程中，在生活实践中，对很多问题都形成了自己的能力和方法，都有了自己的“起点能力”。当遇到类似问题的时候，学生会自然而然的想到以前运用的认知策略，产生尝试一下的冲动。教师的教学不能无视学习者的应有能力，简单强硬地从外部对学习者实施知识的“填灌”。如果让他们亲自尝试用已有的经验解决身边问题，发现已有的经验与现实的不一致，甚至矛盾冲突之处，他们才会心服口服地审视、反思并修正自己的经验和认识，提出或接受“更为科学”的新解释、新假设、新概念，从而自觉投入到学习中，概念的建构中。这样的活动，才属真正意义上的、有效的概念构建。在上述的案例中，“单位1”的概念就是在不断的矛盾冲突中，在不断的思辨中，逐步完善，总结出来的。有了这样的过程，学生才能真正的接受、理解这个概念。
数学概念是数学知识中最基本的内容，反映着人们对现实世界空间形式和数量关系的丰富和深刻的认识。一切数学思维都以数学概念为基础，凭借数学概念来进行，所以数学概念的学习在数学学习中占有极重要的地位。学生对数学概念的学习不仅是重要的，而且是困难的。在有关学生概念学习的大量实践研究中，多次证明了这一点。作为一线教师，我在教学实践中也是深有体会的。
科学研究表明从婴儿开始，人就具有组织经验的能力，对面孔、声音、表情、颜色等等进行分类，形成了儿童自己的一些概念。来到课堂中的学生并不是一张白纸。这些儿童已经具有的前概念是我们进行教学的起始基础。学生学习数学概念，是在他们己有的认知结构的基础上进行的。我认为：有效的概念教学应将概念的逻辑联系与学习者已有经验有机结合起来，在此基础上设计教学过程。
基于以上认识，我在教学五年级下册《分数的意义》一课前做了认真的分析。这部分内容是在学生已有了初步认识分数的基础上展开的。在三年级上册，学生已经学习了把一个物体、一个图形平均分成几份，用几分之一、几分之几表示其中的一份或几份。在三年级下册，学生又学习了把若干个物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几表示这样的一份或几份。五年级下册的《认识分数》单元主要引导学生抽象出单位“1”的概念，概括分数的意义、认识分数的单位。以对分数单位的认识为基础，认识真分数、假分数。探讨分数与除法的关系，扩展对分数意义的理解，继而用分数与除法之间关系进一步掌握求一个数是另一个数的几分之几的方法等等。分数的意义是这一系列知识的核心概念，后续知识都是围绕它而展开的。整个知识系统如图所示：
在分数意义这个核心概念中，帮助学生抽象出单位“1”是教学的关键。而对于单位“1”的认识，学生是有经验的，学生在三年级的学习中已经有了较为充分的感性认识。结合小班教学的特点，我决定放手让学生自主探究，通过交流、讨论、思维的碰撞来得出新概念。
2.案例回放
师：今天这节课我们来研究分数。
生：老师，我们在以前已经学习过分数了。
师：真的吗？你们已经认识分数了？
生齐说：是的。
师：那就请告诉我究竟什么是分数吧！（有学生举手想说）但是说的得让大家清楚明白。请同学们先在小组内交流、讨论一下，看看你的想法能不能让小组内的同学听明白。
学生在小组里交流。全班汇报：
第一组学生代表：分数是指把一个物体平均分成几份表示其中的一份或几份的数。（教师相机板书）
师：我有一个问题，“一个物体”指什么呢？
生：可以是任意的一样东西，一个苹果、一个西瓜、一块蛋糕、一杯水等等。
（教师相机板书学生举的实例。）
师：底下的同学们同意他们组的说法吗？
学生表示认可。
教师出示：
师：这几副图能用分数表示吗？
生汇报答案，并说说自己是怎样想的。
师：不对呀！最后一幅图也能用分数表示吗？按照你们的定义，分数是把“一个物体”平均分成几份表示其中的一份或几份的数呀。这里可不是把“一个物体”平均分呀！
学生们沉默了一会儿。
有学生说：最后一幅图是把6个圆看成一个整体，进行平均分的。
师：是的，我们可以把几个物体看成一个整体，进行平均分，再表示出相应的分数。在这里平均分的是“几个物体”而不是“一个物体”，你们的定义完整、准确吗？
学生沉默了一会儿，摇了摇头。
师：请同学们在小组里再次讨论，究竟什么是分数？怎样让我们的表述更加准确？（学生组内交流）
小组代表汇报：把一个物体或几个物体组成的一个整体平均分成几份，表示其中的一份或几份的数，是分数。（教师相机板书）
师：经过这样的修改，我们的认识更加完善了。其实刚刚同学们只是在原有的初次定义中做了一点添加，但是这一点点的改动是我们积极思考的结果，是智慧的显现。许多科学概念就是在这样的思考中不断完善的。
师出示：
能用分数表示吗？（指名汇报。）
师：老师又有问题了？这里的“1米”是“一个物体”吗？是“几个物体组成的整体”吗？那它怎么可以用分数表示呢？刚才的定义有漏洞吗？
生：有。我觉得1米、一个物体、一个整体都可以看做“1”。
师：那你想怎么定义分数？
生：把“1”平均分成平均分成几份，表示其中的一份或几份的数，是分数。
（教师相机板书）
师：这样说，可以吗？
生：我觉得这样说比较简洁了。但是写1的话，会让人产生误会的。我们知道这个1是有含义的，特殊的。人家也许会以为是数字1。
许多学生表示赞同。
师：那该怎么办呢？既要简洁又要能准确表达。（学生们陷入沉思）
师：其实数学家们也遇上了这样的问题，经过思考他们决定用——单位“1”来表示这样的“一个物体”、“几个物体组成的一个整体”、“一个计量单位”等等。有了这样的规定，现在你能说一说什么是分数了吗？
生：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或是几份的数，叫做分数。
师出示刚才的几幅图，问：能说说这几道题中什么是单位“1”吗？（学生汇报）组织学生交流这些分数分别是把单位“1”平均分成了几份，表示这样的几份？由此概括出分数的意义。
3.案例反思
脑科学研究表明：人对概念的接受有两种情况。一种情况是概念发生根本性的移转，即需要重新建构概念。让学生重新构建概念的学习是困难的，常常经过一、两节课的教学都不能解决问题。另一种是在已有的概念结构上增加一些知识，增加的知识和原来学生持有的概念之间不存在冲突，这种微小的概念变化不需要将原来的知识重新建构，就比较容易被学生接受。上述《分数意义》的案例中，学生以往所学的“认识分数”的知识就是认知结构中原有的前概念，“单位1”则是需要增加的知识，而这个知识又是与学生原有认知不冲突的概念。只要教学得法，学生是能够理解的。 学生基于旧知识认知建构新概念的学习，即从已知的经验迁移到未知，简单地说是从旧知识推出新知识，再加以应用。学习者总是以其自身的经验来理解和建构新的知识或信息，也就是说学生不是空着脑袋过来学习的，而脑袋里装着什么，也就是我们所说的学生的已有经验，是我们设计教学过程的前提和基础。
3.1 从学生已有生活经验出发，建构概念。
在日常生活中，在以往的学习过程中学生已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙星体运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有自己的看法，有了自己的理解。这就要求教师在教学中要善于把数学概念与学生的生活经验联系起来，并通过数学活动，让学生理解概念。例如：在教学低年级“相邻数”这一概念时，让学生运用“邻居”这一生活经验来理解“相邻”的含义。并让学生排排队，找一找谁与自己相邻，从而理解了比一个数大1，比一个数小1的数，都是与这个数相邻的数。
3.2 从学生已有知识经验出发，建构概念。
课堂教学过程目的是将教材的知识结构转化为学生的知识结构。让学生把新概念内化，同已有的概念形成概念体系。这就要求我们不能单纯地将学生已有知识概念再教一次，也不可认为学生已经会了，就放任不教。我们说尊重学生已有的知识经验就是帮助学生找到新旧概念的“连结点”，让新旧概念之间建立其非人为的实质性联系，实现知识地迁移，更好的形成概念体系。教学《分数意义》一课时，我在充分调动学生已有经验的基础上，层层推进。引导学生从已有概念出发，将已有的单位“1”的经验抽象概括化，逐步呈现出“分数意义”的概念。既符合学生的认知规律，又降低了学生学习的难度。学生亲历概念形成的过程，在掌握概念的同时，也学会了抽象概括的方法，培养了探究的能力。
3.3 从学生已有认知能力出发，建构概念。
学生在学习过程中，在生活实践中，对很多问题都形成了自己的能力和方法，都有了自己的“起点能力”。当遇到类似问题的时候，学生会自然而然的想到以前运用的认知策略，产生尝试一下的冲动。教师的教学不能无视学习者的应有能力，简单强硬地从外部对学习者实施知识的“填灌”。如果让他们亲自尝试用已有的经验解决身边问题，发现已有的经验与现实的不一致，甚至矛盾冲突之处，他们才会心服口服地审视、反思并修正自己的经验和认识，提出或接受“更为科学”的新解释、新假设、新概念，从而自觉投入到学习中，概念的建构中。这样的活动，才属真正意义上的、有效的概念构建。在上述的案例中，“单位1”的概念就是在不断的矛盾冲突中，在不断的思辨中，逐步完善，总结出来的。有了这样的过程，学生才能真正的接受、理解这个概念。