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《义务教育数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”在教学中，教师应该根据学生实际经验和已有知识设计富有情趣的数学活动，让学生在课堂上真正动起来，融入学习数学的情境，从而培养他们的思维能力。下面，笔者以教学《圆锥的体积》为例，谈谈如何设计有效数学的活动。
新世纪小学数学（北师大版）教材六年级下册《圆锥的体积》是一节空间与图形知识的教学，是学生积累研究图形的活动经验和发展空间观念的重要内容，也是渗透“类比”“数学模型”等思想方法的重要载体，是小学学习立体图形体积计算的飞跃，其目标是结合具体情境和实践活动，了解圆锥体积，直观引导学生经历类比猜想—验证的活动，探索“圆锥体积”计算方法，让学生体会从特殊到一般的认识规律，从而得出一般性结论。本节课教学，笔者结合山区农村孩子的实际，以动画的形式设计孩子们熟悉的农村晒谷场上收稻谷的情景，以一对爷孙的对话引出“圆锥的体积”，学生通过对圆锥体积的类比猜想—验证—推理—归纳—总结—再验证—应用的知识建构过程，理解掌握求圆锥体积的计算公式，这样既培养学生学习数学的兴趣，还帮助学生建立空间观念，提高学生自主解决问题的能力，同时渗透了类比与数学模型思想。
一、设疑猜想，激发学生求知欲
【片段一】
出示农村晒谷场收稻谷的情境，由小红和爷爷的对话引出“圆锥的体积”。
师：同学们，前面我们在推导圆柱体积时是把它转化成我们学过的正方体，那圆锥的体积也可以转化成我们学过的图形吗？你们猜它可能与什么图形有关系？可能是几倍的关系？小红要帮爷爷算出近似圆锥谷堆的体积，应该知道什么条件？小组内先说说你的猜想，并把你的猜想记下来。
生小组合作讨论后全班汇报交流。
生1：我猜圆锥的体积与圆柱有关系，因为它的底面也是圆的。
师：你猜会是几倍关系？如果要求它的体积要知道什么条件？
生1：我猜是2倍。如果要求它的体积，应该知道底面积和高。
生2：我猜也是与圆柱有关，但我认为是3倍的关系，如果要求它的体积应该知道底面半径和高。
生3：如果和圆柱有关系的话，那知道底面直径（或周长）和高也行，应该是2倍关系。
师：还有不同猜想吗？
生4：我猜也是与圆柱有关，是 的关系。
当老师把学生的猜想都呈现在黑板时，大家议论纷纷，都想知道谁的对，求知欲自然而然地被激发出来。正如牛顿所说：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发明和发现。”
二、验证猜想，培养自主获取知识的能力
心理學家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”小学生以形象思维为主，他们对数学的理解是从动手操作开始的，所以笔者及时为学生设计动手实验、验证猜想的活动。
【片段二】
师：（课件出示实验要求）
1.小组内从课前准备的工具中选好实验工具和材料。
2.分工合作，边实验边记录有关数据。
3.实验结束后，小组内互相讨论，分析实验数据，总结实验结果，写在学习单上，并对比自己的猜想。
学生读懂实验要求后，开始实验。讨论后各小组汇报实验结果，要求到讲台上边说边演示。
第5小组：我们组用圆锥装满沙往圆柱里倒，倒了三次，刚好倒满，四人轮流换做都是三次倒满，所以我们得出圆柱体积是圆锥的3倍。
师：请问你们的圆柱与圆锥的底面积和高是什么关系？
生拿起圆锥和圆柱说：我们的圆锥与圆柱的底面积和高都是相等的。（边说边演示）
师：很好。我们把底面积和高都相等用一个词语“等底等高”来表示吧。你能把刚才的结论重新完整说一遍吗？
生：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍。
师：你的总结能力真不错。哪个小组再来分享实验结果？
第2小组：我们组先用圆锥装满水往圆柱倒，倒了三次，还差一点点，再做第二次，我们发现在倒的过程中会抖出水，第三次我们用一个盘在下面放着，倒了三次水后，把抖出的水再从盘里倒进圆柱，圆柱的水就基本满了。所以我们得出等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱的。
师：你们是细心的孩子，注意到了实验过程中因为水抖出而造成的误差。哪个小组再来分享实验结果？
第4小组：我们组是用圆柱装满沙往圆锥里倒，才倒了圆柱中的1份就把圆锥装满，倒了三次，刚好倒完，然后我们又用圆锥装这些沙往圆柱里倒，也是倒了三次，圆柱刚好装满。所以我们得出，等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱的。还有就是等底等高的情况下，圆柱比圆锥多出2份。
师：你们真是爱动脑筋的孩子，虽然实验方法和其它组不一样的，但结论是一样的。同学们，刚才大家表现都很优秀，在实验过程中都能积极动手、动口、动脑，互相合作，认真观察，分析总结得出“等底等高的情况下，圆锥体积是圆柱的 。”
接下来请大家判断“圆锥体积是圆柱的 ”这句话对吗？
生1：对。
生2：对。
生3：不对。如果圆锥比圆柱高很多就不成立。
师：你的意思是要考虑圆锥和圆柱的什么条件？
生3：我们要考虑圆锥和圆柱的底面积和高是否相等，这句话并没说明这圆锥和圆柱是不是等底等高。如果不是等底等高就不一定。
师：你是个爱分析的好孩子。不是等底等高就不一定，是这样吗？请两个同学到讲台上从老师的教具中挑一个圆锥和一个圆柱再次实验验证，其他同学认真观察。
生1生2边说边演示：我们挑的是等底不等高的圆锥和圆柱，现在用圆锥装满沙往圆柱里倒，请认真观察。 当实验中的同学把第三次的沙往圆柱倒时，大家发现，第三次的沙没倒多少，圆柱就满了。
师：下面换两个同学上来换两个工具再做一次实验。
生3生4：我们挑的是不等底不等高的圆锥和圆柱，用圆柱装满水往圆锥里倒，请认真观察。
当倒完三次后，圆柱还有差不多一份的水。
师：通过这两个实验，你们有什么想说的？
生：圆锥体积是圆柱的 ，必须是在等底等高的情况下才成立。
师：现在再看看你自己的猜想，有猜对吗？
学生笑着议论开了。
波利亞说过：“学习任何知识的最佳途径，必须都由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律，性质和联系。”当学生都想知道自己的猜想对不对时，笔者给他们提供从事学习数学活动的机会，让他们自己动手实验，验证猜想，自主获取知识，既激发学生的学习兴趣，又培养学生发现问题，探究问题、解决问题的能力。当他们从实验中得出“等底等高情况下，圆锥体积是圆柱的 ”时，笔者及时制造认知冲突，让他们从平衡到不平衡，然后再次实验验证，既加深学生对自主获取知识的理解，又让学生从不平衡回到平衡，初步感悟圆锥与圆柱的内在联系，建构了数学模型。整个活动过程，学生在教师的引导下，经历对数学知识的验证过程，对所学知识产生深刻的体验，不仅知其然，更知其所以然。学生积累了活动经验，提高了数学素养，让学生在真正意义上实现独立自主地学习，成为教学活动中自主探索和自我发展的主体。
三、解决问题，促进“做”的内化，提升思维
【片段三】
师：同学们，我们通过猜想—验证—质疑—再验证得出：
V锥= V柱=Sh，现在如果给出一组数据，可以帮助小红解决近似圆锥谷堆的体积了吗？
生：能。
师：（课件出示）这里有四组数据
1.如果谷堆的底面积为12.56m2，高为1.5m，这堆稻谷的体积是多少立方米？
2.如果谷堆的底面半径为2m，高为1.5m，这堆稻谷的体积是多少立方米？
3. 如果谷堆的底面直径为4m，高为15dm，这堆稻谷的体积是多少立方米？
4. 如果谷堆的底面周长为12.56m，高为1.5m，这堆稻谷的体积是多少立方米？
请四人小组分工合作共同完成，并讨论这组题的异同点。
小组合作学习后全班汇报交流。
第2小组：
生1：我负责完成第1题，这道题给出底面积和高，求V锥，直接套公式：V=Sh，V=×12.56×1.5=6.28（m3）
生2：我负责完成第2题，这道题给出底面半径和高，求V锥，我先通过半径求出底面积，再套公式求V锥。
①S=3.14×22=12.56（m2 ）
②V=×12.56×1.5=（6.28m3）
生3：我负责完成第3题，这道题给出底面直径和高，求V锥，我先通过直径求出底面积，再套公式求V锥。但是高的单位不同，所以我先转化单位。
①15dm=1.5m
②S=3.14×（4÷2）2=（12.56m2）
③V=×12.56×1.5=（6.28m3）
生4：我负责完成第4题，这道题给出底面周长和高，求V锥，我先通过周长求出半径，再求底面积，然后套公式求V锥。
①r=12.56÷3.14÷2=2（m）
②S=3.14×22=（12.56m2）
③V=×12.56×1.5=（6.28m3）
师：这组题有什么异同点？
组长：通过比较分析，我们发现求的是同一谷堆的体积，只是给出的第一个条件不同，第2、3、4节我们可以通过第一个条件用以前学过的知识求出底面积，再套公式就可以了，只是在做题时要注意，单位要相同。
师：同学们同意第2小组组长的分析吗？
生：同意。
师：第2小组的四位同学解题思路清晰，回答问题声音响亮，合作得不错。有哪个组解题思路不相同的？
第5小组：我们组的2、3、4节是先通过已知条件求出等底等高圆柱的体积，然后再乘以 得出V锥。
师：这种方法可以吗？
生：可以。
师：为什么？
生：因为等底等高情况下，V锥=V柱
师：还有不同的吗？
第1小组：我们组的题3不同。
师：怎么不同？
生：我们没注意到单位不同。
师：我们以后在解决问题时，一定要认真审题，看清楚条件和问题，注意单位是否统一。
这个环节，笔者利用改变信息，对比教学设计教学活动，放手让学生自己到情境中去帮小红解决生活中的数学问题。通过观察、对比、分析 、判断，从不变中找到变化，从变化中把握不变，灵活发现变式中存在的隐形要素，加深对公式的理解和运用，掌握了解答此类题关键要知道底面积和高这两个条件，还要注意单位是否统一，从而提高观察、判断、推理、分析等数学逻辑思维能力，促进“做”的内化，实现灵活解题，变通思维，提升数学思维，构建解题的技能技巧。
国家基础教育课程改革就是要倡导学生主动参与的探究式学习。构建以人为本，以学生为主体的课堂，让学生在学习中积极思考，“人人学有价值的数学”，焕发出思维的活力。因此，设计有效的数学活动，让学生主动参与，才能达到让学生在课堂上活跃起来，培养他们的思维能力。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]教育部.教师教学用书（北师大版小学数学六年级下册）[S].北京：北京师范大学出版社，2006.
新世纪小学数学（北师大版）教材六年级下册《圆锥的体积》是一节空间与图形知识的教学，是学生积累研究图形的活动经验和发展空间观念的重要内容，也是渗透“类比”“数学模型”等思想方法的重要载体，是小学学习立体图形体积计算的飞跃，其目标是结合具体情境和实践活动，了解圆锥体积，直观引导学生经历类比猜想—验证的活动，探索“圆锥体积”计算方法，让学生体会从特殊到一般的认识规律，从而得出一般性结论。本节课教学，笔者结合山区农村孩子的实际，以动画的形式设计孩子们熟悉的农村晒谷场上收稻谷的情景，以一对爷孙的对话引出“圆锥的体积”，学生通过对圆锥体积的类比猜想—验证—推理—归纳—总结—再验证—应用的知识建构过程，理解掌握求圆锥体积的计算公式，这样既培养学生学习数学的兴趣，还帮助学生建立空间观念，提高学生自主解决问题的能力，同时渗透了类比与数学模型思想。
一、设疑猜想，激发学生求知欲
【片段一】
出示农村晒谷场收稻谷的情境，由小红和爷爷的对话引出“圆锥的体积”。
师：同学们，前面我们在推导圆柱体积时是把它转化成我们学过的正方体，那圆锥的体积也可以转化成我们学过的图形吗？你们猜它可能与什么图形有关系？可能是几倍的关系？小红要帮爷爷算出近似圆锥谷堆的体积，应该知道什么条件？小组内先说说你的猜想，并把你的猜想记下来。
生小组合作讨论后全班汇报交流。
生1：我猜圆锥的体积与圆柱有关系，因为它的底面也是圆的。
师：你猜会是几倍关系？如果要求它的体积要知道什么条件？
生1：我猜是2倍。如果要求它的体积，应该知道底面积和高。
生2：我猜也是与圆柱有关，但我认为是3倍的关系，如果要求它的体积应该知道底面半径和高。
生3：如果和圆柱有关系的话，那知道底面直径（或周长）和高也行，应该是2倍关系。
师：还有不同猜想吗？
生4：我猜也是与圆柱有关，是 的关系。
当老师把学生的猜想都呈现在黑板时，大家议论纷纷，都想知道谁的对，求知欲自然而然地被激发出来。正如牛顿所说：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发明和发现。”
二、验证猜想，培养自主获取知识的能力
心理學家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”小学生以形象思维为主，他们对数学的理解是从动手操作开始的，所以笔者及时为学生设计动手实验、验证猜想的活动。
【片段二】
师：（课件出示实验要求）
1.小组内从课前准备的工具中选好实验工具和材料。
2.分工合作，边实验边记录有关数据。
3.实验结束后，小组内互相讨论，分析实验数据，总结实验结果，写在学习单上，并对比自己的猜想。
学生读懂实验要求后，开始实验。讨论后各小组汇报实验结果，要求到讲台上边说边演示。
第5小组：我们组用圆锥装满沙往圆柱里倒，倒了三次，刚好倒满，四人轮流换做都是三次倒满，所以我们得出圆柱体积是圆锥的3倍。
师：请问你们的圆柱与圆锥的底面积和高是什么关系？
生拿起圆锥和圆柱说：我们的圆锥与圆柱的底面积和高都是相等的。（边说边演示）
师：很好。我们把底面积和高都相等用一个词语“等底等高”来表示吧。你能把刚才的结论重新完整说一遍吗？
生：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍。
师：你的总结能力真不错。哪个小组再来分享实验结果？
第2小组：我们组先用圆锥装满水往圆柱倒，倒了三次，还差一点点，再做第二次，我们发现在倒的过程中会抖出水，第三次我们用一个盘在下面放着，倒了三次水后，把抖出的水再从盘里倒进圆柱，圆柱的水就基本满了。所以我们得出等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱的。
师：你们是细心的孩子，注意到了实验过程中因为水抖出而造成的误差。哪个小组再来分享实验结果？
第4小组：我们组是用圆柱装满沙往圆锥里倒，才倒了圆柱中的1份就把圆锥装满，倒了三次，刚好倒完，然后我们又用圆锥装这些沙往圆柱里倒，也是倒了三次，圆柱刚好装满。所以我们得出，等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱的。还有就是等底等高的情况下，圆柱比圆锥多出2份。
师：你们真是爱动脑筋的孩子，虽然实验方法和其它组不一样的，但结论是一样的。同学们，刚才大家表现都很优秀，在实验过程中都能积极动手、动口、动脑，互相合作，认真观察，分析总结得出“等底等高的情况下，圆锥体积是圆柱的 。”
接下来请大家判断“圆锥体积是圆柱的 ”这句话对吗？
生1：对。
生2：对。
生3：不对。如果圆锥比圆柱高很多就不成立。
师：你的意思是要考虑圆锥和圆柱的什么条件？
生3：我们要考虑圆锥和圆柱的底面积和高是否相等，这句话并没说明这圆锥和圆柱是不是等底等高。如果不是等底等高就不一定。
师：你是个爱分析的好孩子。不是等底等高就不一定，是这样吗？请两个同学到讲台上从老师的教具中挑一个圆锥和一个圆柱再次实验验证，其他同学认真观察。
生1生2边说边演示：我们挑的是等底不等高的圆锥和圆柱，现在用圆锥装满沙往圆柱里倒，请认真观察。 当实验中的同学把第三次的沙往圆柱倒时，大家发现，第三次的沙没倒多少，圆柱就满了。
师：下面换两个同学上来换两个工具再做一次实验。
生3生4：我们挑的是不等底不等高的圆锥和圆柱，用圆柱装满水往圆锥里倒，请认真观察。
当倒完三次后，圆柱还有差不多一份的水。
师：通过这两个实验，你们有什么想说的？
生：圆锥体积是圆柱的 ，必须是在等底等高的情况下才成立。
师：现在再看看你自己的猜想，有猜对吗？
学生笑着议论开了。
波利亞说过：“学习任何知识的最佳途径，必须都由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律，性质和联系。”当学生都想知道自己的猜想对不对时，笔者给他们提供从事学习数学活动的机会，让他们自己动手实验，验证猜想，自主获取知识，既激发学生的学习兴趣，又培养学生发现问题，探究问题、解决问题的能力。当他们从实验中得出“等底等高情况下，圆锥体积是圆柱的 ”时，笔者及时制造认知冲突，让他们从平衡到不平衡，然后再次实验验证，既加深学生对自主获取知识的理解，又让学生从不平衡回到平衡，初步感悟圆锥与圆柱的内在联系，建构了数学模型。整个活动过程，学生在教师的引导下，经历对数学知识的验证过程，对所学知识产生深刻的体验，不仅知其然，更知其所以然。学生积累了活动经验，提高了数学素养，让学生在真正意义上实现独立自主地学习，成为教学活动中自主探索和自我发展的主体。
三、解决问题，促进“做”的内化，提升思维
【片段三】
师：同学们，我们通过猜想—验证—质疑—再验证得出：
V锥= V柱=Sh，现在如果给出一组数据，可以帮助小红解决近似圆锥谷堆的体积了吗？
生：能。
师：（课件出示）这里有四组数据
1.如果谷堆的底面积为12.56m2，高为1.5m，这堆稻谷的体积是多少立方米？
2.如果谷堆的底面半径为2m，高为1.5m，这堆稻谷的体积是多少立方米？
3. 如果谷堆的底面直径为4m，高为15dm，这堆稻谷的体积是多少立方米？
4. 如果谷堆的底面周长为12.56m，高为1.5m，这堆稻谷的体积是多少立方米？
请四人小组分工合作共同完成，并讨论这组题的异同点。
小组合作学习后全班汇报交流。
第2小组：
生1：我负责完成第1题，这道题给出底面积和高，求V锥，直接套公式：V=Sh，V=×12.56×1.5=6.28（m3）
生2：我负责完成第2题，这道题给出底面半径和高，求V锥，我先通过半径求出底面积，再套公式求V锥。
①S=3.14×22=12.56（m2 ）
②V=×12.56×1.5=（6.28m3）
生3：我负责完成第3题，这道题给出底面直径和高，求V锥，我先通过直径求出底面积，再套公式求V锥。但是高的单位不同，所以我先转化单位。
①15dm=1.5m
②S=3.14×（4÷2）2=（12.56m2）
③V=×12.56×1.5=（6.28m3）
生4：我负责完成第4题，这道题给出底面周长和高，求V锥，我先通过周长求出半径，再求底面积，然后套公式求V锥。
①r=12.56÷3.14÷2=2（m）
②S=3.14×22=（12.56m2）
③V=×12.56×1.5=（6.28m3）
师：这组题有什么异同点？
组长：通过比较分析，我们发现求的是同一谷堆的体积，只是给出的第一个条件不同，第2、3、4节我们可以通过第一个条件用以前学过的知识求出底面积，再套公式就可以了，只是在做题时要注意，单位要相同。
师：同学们同意第2小组组长的分析吗？
生：同意。
师：第2小组的四位同学解题思路清晰，回答问题声音响亮，合作得不错。有哪个组解题思路不相同的？
第5小组：我们组的2、3、4节是先通过已知条件求出等底等高圆柱的体积，然后再乘以 得出V锥。
师：这种方法可以吗？
生：可以。
师：为什么？
生：因为等底等高情况下，V锥=V柱
师：还有不同的吗？
第1小组：我们组的题3不同。
师：怎么不同？
生：我们没注意到单位不同。
师：我们以后在解决问题时，一定要认真审题，看清楚条件和问题，注意单位是否统一。
这个环节，笔者利用改变信息，对比教学设计教学活动，放手让学生自己到情境中去帮小红解决生活中的数学问题。通过观察、对比、分析 、判断，从不变中找到变化，从变化中把握不变，灵活发现变式中存在的隐形要素，加深对公式的理解和运用，掌握了解答此类题关键要知道底面积和高这两个条件，还要注意单位是否统一，从而提高观察、判断、推理、分析等数学逻辑思维能力，促进“做”的内化，实现灵活解题，变通思维，提升数学思维，构建解题的技能技巧。
国家基础教育课程改革就是要倡导学生主动参与的探究式学习。构建以人为本，以学生为主体的课堂，让学生在学习中积极思考，“人人学有价值的数学”，焕发出思维的活力。因此，设计有效的数学活动，让学生主动参与，才能达到让学生在课堂上活跃起来，培养他们的思维能力。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]教育部.教师教学用书（北师大版小学数学六年级下册）[S].北京：北京师范大学出版社，2006.