【摘要】本文介绍一种逆函数积分法，来求解一些常见的、比较难积的定积分.
　　【关键词】逆函数；定积分
　　一些比较简单函数的逆函数的定积分往往比较复杂，有时通过逆函数的定积分来求解原函数的定积分，往往会给解题过程带来很大的方便.
　　当f（x）的逆函数f-1（x）存在时，有如下等式成立：
　　∫baf（x）dx=bf（b）-af（a）-∫f(b)f(a)f-1（x）dx.（1）
　　上式的成立条件是f（x）的逆函数f-1（x）存在，即f（x）为单调函数.
　　简要说明如下：
　　
　　由定积分的意义知，积分值就是函数曲线与x轴之间的面积，如图所示，即S0=∫baf（x）dx.
　　由几何关系：
　　S0=S-S1-S2=bf（b）-af（a）-S1.
　　S1可以用f（x）的逆函数f-1（x）表示出来，以y为自变量，x为因变量，因而x=f-1（y），于是：
　　S1=∫f(b)f(a)f-1（y）dy=∫f(b)f(a)f-1（x）dx，
　　所以S0=bf（b）-af（a）-∫f(b)f(a)f-1（x）dx，
　　即∫baf（x）dx=bf（b）-af（a）-∫f(b)f(a)f-1（x）dx.
　　虽然，在此（1）式是以第一象限的单调递增函数得到的，但利用同样的分析方法，可以推广到整个x-y平面.
　　首先，以一道简单的例子验证（1）式：
　　例1 求∫21xdx的值.
　　解 显然，∫210.5xdx=0.25x2|21=0.75.
　　利用（1）式：
　　∫21xdx=2×1-1×0.5-∫1052xdx=1.5-x2|105=0.75.
　　显然，利用逆函数积分法（1）式的计算结果与直接计算的结果是相符的.
　　下面利用逆函数积分法来计算一下常规方法比较难以积出来的定积分.
　　一、利用逆函数积分法可以很方便地解出反三角函数的定积分
　　例2 求∫10arccosxdx，0≤x≤π2.
　　解 利用逆函数积分法：
　　∫10arccosxdx=1×0-0×π2-∫0π2cosxdx
　　=∫π20cosxdx
　　=sinxπ20=1.
　　
　　二、利用逆函数积分法可以很方便地解出对数函数的定积分
　　例3 求∫21lnxdx.
　　解 令y=lnx，于是ey=x，
　　即y=lnx的逆函数为y=ex.
　　利用逆函数积分法：
　　∫21lnxdx=2×ln2-1×0-∫ln20exdx
　　=2ln2-（eln2-1）=2ln2-1.
　　因此，只要被积函数的逆函数比原函数容易积，都可以采用逆函数积分法来求解.（1）式只能对单调函数成立，为了更适用于一般的函数，可以将逆函数积分法（1）式作推广.显然，只要把被积函数按照单调性分为若干区间，于是在每个区间上被积函数都单调，再应用（1）式即可.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文