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【摘要】 灵活性是小学数学学习中应重点培养的思维品质之一，本文论述了四点实用培养策略：1. 重视归纳概括，夯实知识间的联系和综合；2. 重视变式训练，促进灵活迁移；3. 重视多角度思考，培养发散思维；4. 重视学习方式的多样化，亲历数学知识的形成过程.
【关键词】 数学思维灵活性；概括；变式；多角度思考；多种学习方式
思维灵活性是数学思维的重要品质之一. 小学生具备了数学思维的灵活性，概括方面，能快速归纳出数、式、形等各种关系特征、规律，轻松地实现类化；理解方面，能迅速地抓住知识、技能的实质，熟练地进行等价变换；迁移方面，能用压缩的结构进行数学思维，快捷简明地实现泛化；推理方面，能从冗长的分析中解脱出来，简缩推理过程和相关的运算系统. 它是高效建构数学知识、生成数学能力的必要前提之一，是迁移、创新的核心思维品质之一. 下面重点谈谈四点实践经验：
1. 重视归纳概括，夯实知识间的联系和综合
概括是一切数学思维品质的基础，没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批评性也就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性与创造性也就无从谈起；没有概括，就不能实现思维的“缩减”或“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现. 数学是以逻辑思维为主的学科，数与代数、空间与图形、统计与概率几大领域内部相互关联，领域之间具有实质性的联系，通过概括，理清这些联系和实质，使之形成网络化、综合化、简约化的认知结构，从而更好地实现在数学学习中同化、迁移、调整的灵活性. 例如，在教学完平面图形的面积计算公式后，引导学生归纳出一个能囊括各个平面图形面积的计算公式——梯形的面积计算公式：因为梯形的面积计算公式是（上底 + 下底） × 高 ÷ 2，长方形、正方形、平行四边形的上底和下底相等，即可将这公式变成：2 × 底（长、边长） × 高（宽、边长） ÷ 2 = 底（长、边长） × 高（宽、边长）；又因为圆面积公式是根据长方形的面积公式推导出来的，因此，梯形的面积公式对圆也同样适用；当梯形的上底是零时，即梯形成了一个三角形，这时梯形的面积公式成了：底 × 高 ÷ 2，这就成了三角形的面积公式. 这样，各公式都简约概括于梯形公式中，既梳理了知识内部的联系，又加深了理解，使知识在类化、泛化中更趋灵活性和高效性.
2. 重视变式训练，促进灵活迁移
变式是变更对象的非本质属性的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质属性的方法，一句话，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化. 掌握了变式，学生就可以以不变应万变，于纷繁复杂的各种情景中灵活迁移所学的数学知识，从而形成真正的数学能力. 如，原计划20天修筑路300米，实际15天完成. 实际每天比原计划多修筑多少米？■ - ■ = f. 这是以“两商之差”数量关系为基本结构的应用题，抓住■ - ■ = f这一结构形式，可变化出多个变式：
（1） 要修筑路300米，实际15天完成，每天比原计划多修筑5米，原计划多少天完成？（■ - ■ = 5）
（2）要修筑一段路，原计划每天修筑15米，实际每天修筑20米，结果提前5天完成，这段路有多长？（■ - ■ = 5）（3）要修筑300米的路，原计划每天修筑的路是实际修筑路的■，实际提前5天完成，实际每天修筑路多少米？[300 /（■） - ■ = 5]
……
某些数学应用题尽管在具体内容上不同，但实际上具有相同的结构形式，这就是同构异素问题. 教学时可以围绕相同的结构形式设计变式，以帮助学生把握形式的本质，从而保证了形式的稳固性、清晰性、涵盖性和易迁移性，有力地培养了学生数学思维的灵活性.
3. 重视多角度思考，培养发散思维
由于应试教育的影响，好多教师过分强调程式化和模式化，例题教学中给学生归纳了各种类型，要求学生按部就班，不许越雷池一步，布置大量重复性的练习，减少了学生自己思考和探索的机会……由此导致的思维僵化，正成为阻碍学生灵活建构数学知识、解决数学问题的严重阻碍. 例如，“已知甲船每小时航行80千米，乙船每小时航行60千米. 现在两船从相距200千米的A，B两地同时出发，经过2小时航行，两船相距多少千米？”在解这道应用题时，由于思维僵化，大多数学生只给出了一种情况的解法，得到了唯一的答案，实际上这道题有四种实际情况，与之相应的有四种解法，四种答案：
（1）两船同时相对而行，相遇后又拉开距离：（80 + 60） × 2 - 200 = 80（千米）.
（2）两船同时相背而行：（80 + 60） × 2 + 200 = 480（千米）.
（3）两船同向而行，甲船在前面乙船在后面：80 × 2 + 200 - 60 × 2 = 240（千米），
（4）两船同向而行，乙船在前面甲船在后面：60 × 2 + 200 - 80 × 2 = 160（千米）.
这种多角度思考问题的训练，可以帮助学生有力地克服思维僵化的现象，从而使数学知识的学习、数学能力的形成更加灵活而又高效.
4. 重视学习方式的多样化，亲历数学知识的形成过程
数学思维的灵活性，有赖于学生对相关数学知识建构的深刻性、全面性，这就要求学生不仅记住结论，还要亲历数学知识的形成过程. 为此，动手实践、自主探索与合作交流应成为学生学习数学的重要方式，让学生有机会去从事“观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”，以达到使用各种数学语言表达问题，建立数学模型，获得合理的解答，以利于理解并掌握相关的知识与方法，形成良好的数学思维习惯和用数学的意识，感受数学创造的乐趣.
【关键词】 数学思维灵活性；概括；变式；多角度思考；多种学习方式
思维灵活性是数学思维的重要品质之一. 小学生具备了数学思维的灵活性，概括方面，能快速归纳出数、式、形等各种关系特征、规律，轻松地实现类化；理解方面，能迅速地抓住知识、技能的实质，熟练地进行等价变换；迁移方面，能用压缩的结构进行数学思维，快捷简明地实现泛化；推理方面，能从冗长的分析中解脱出来，简缩推理过程和相关的运算系统. 它是高效建构数学知识、生成数学能力的必要前提之一，是迁移、创新的核心思维品质之一. 下面重点谈谈四点实践经验：
1. 重视归纳概括，夯实知识间的联系和综合
概括是一切数学思维品质的基础，没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批评性也就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性与创造性也就无从谈起；没有概括，就不能实现思维的“缩减”或“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现. 数学是以逻辑思维为主的学科，数与代数、空间与图形、统计与概率几大领域内部相互关联，领域之间具有实质性的联系，通过概括，理清这些联系和实质，使之形成网络化、综合化、简约化的认知结构，从而更好地实现在数学学习中同化、迁移、调整的灵活性. 例如，在教学完平面图形的面积计算公式后，引导学生归纳出一个能囊括各个平面图形面积的计算公式——梯形的面积计算公式：因为梯形的面积计算公式是（上底 + 下底） × 高 ÷ 2，长方形、正方形、平行四边形的上底和下底相等，即可将这公式变成：2 × 底（长、边长） × 高（宽、边长） ÷ 2 = 底（长、边长） × 高（宽、边长）；又因为圆面积公式是根据长方形的面积公式推导出来的，因此，梯形的面积公式对圆也同样适用；当梯形的上底是零时，即梯形成了一个三角形，这时梯形的面积公式成了：底 × 高 ÷ 2，这就成了三角形的面积公式. 这样，各公式都简约概括于梯形公式中，既梳理了知识内部的联系，又加深了理解，使知识在类化、泛化中更趋灵活性和高效性.
2. 重视变式训练，促进灵活迁移
变式是变更对象的非本质属性的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质属性的方法，一句话，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化. 掌握了变式，学生就可以以不变应万变，于纷繁复杂的各种情景中灵活迁移所学的数学知识，从而形成真正的数学能力. 如，原计划20天修筑路300米，实际15天完成. 实际每天比原计划多修筑多少米？■ - ■ = f. 这是以“两商之差”数量关系为基本结构的应用题，抓住■ - ■ = f这一结构形式，可变化出多个变式：
（1） 要修筑路300米，实际15天完成，每天比原计划多修筑5米，原计划多少天完成？（■ - ■ = 5）
（2）要修筑一段路，原计划每天修筑15米，实际每天修筑20米，结果提前5天完成，这段路有多长？（■ - ■ = 5）（3）要修筑300米的路，原计划每天修筑的路是实际修筑路的■，实际提前5天完成，实际每天修筑路多少米？[300 /（■） - ■ = 5]
……
某些数学应用题尽管在具体内容上不同，但实际上具有相同的结构形式，这就是同构异素问题. 教学时可以围绕相同的结构形式设计变式，以帮助学生把握形式的本质，从而保证了形式的稳固性、清晰性、涵盖性和易迁移性，有力地培养了学生数学思维的灵活性.
3. 重视多角度思考，培养发散思维
由于应试教育的影响，好多教师过分强调程式化和模式化，例题教学中给学生归纳了各种类型，要求学生按部就班，不许越雷池一步，布置大量重复性的练习，减少了学生自己思考和探索的机会……由此导致的思维僵化，正成为阻碍学生灵活建构数学知识、解决数学问题的严重阻碍. 例如，“已知甲船每小时航行80千米，乙船每小时航行60千米. 现在两船从相距200千米的A，B两地同时出发，经过2小时航行，两船相距多少千米？”在解这道应用题时，由于思维僵化，大多数学生只给出了一种情况的解法，得到了唯一的答案，实际上这道题有四种实际情况，与之相应的有四种解法，四种答案：
（1）两船同时相对而行，相遇后又拉开距离：（80 + 60） × 2 - 200 = 80（千米）.
（2）两船同时相背而行：（80 + 60） × 2 + 200 = 480（千米）.
（3）两船同向而行，甲船在前面乙船在后面：80 × 2 + 200 - 60 × 2 = 240（千米），
（4）两船同向而行，乙船在前面甲船在后面：60 × 2 + 200 - 80 × 2 = 160（千米）.
这种多角度思考问题的训练，可以帮助学生有力地克服思维僵化的现象，从而使数学知识的学习、数学能力的形成更加灵活而又高效.
4. 重视学习方式的多样化，亲历数学知识的形成过程
数学思维的灵活性，有赖于学生对相关数学知识建构的深刻性、全面性，这就要求学生不仅记住结论，还要亲历数学知识的形成过程. 为此，动手实践、自主探索与合作交流应成为学生学习数学的重要方式，让学生有机会去从事“观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”，以达到使用各种数学语言表达问题，建立数学模型，获得合理的解答，以利于理解并掌握相关的知识与方法，形成良好的数学思维习惯和用数学的意识，感受数学创造的乐趣.