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摘 要：全等三角形是学生学习的重点、难点，也是中考的考点，本文归纳概括了它在学习整个平面几何中的重要意义，并说明了学习中遇到的问题，试图找出相应的解决途径。
关键词：教育价值 难点 策略
全等三角形是平面几何中的经典教学内容，对这一内容，我们应该做一番理性思考，重新认识其教育价值。
一、全等三角形是平面几何教学的基础知识
全等三角形包含丰富的基础知识，其性质和判定是研究三角形、四边形的性质和判定以及线段的垂直平分线等内容的基本方法，判定两个三角形全等是解三角形的早期准备，又为解斜三角形有非唯一解的讨论奠定了基础。全等三角形是相似三角形的特殊情况，成为相似三角形判定的重要基础。
二、全等三角形是学习几何证明的最好素材
学习平面几何是培养逻辑思维能力，而几何证明又是培养逻辑思维能力的基本途径。几何证明的必要性、证明思路的灵活性、书写格式的规范化都是初学几何证明难以把握的，然而，若以全等三角形作为素材，便于学生模仿。这是因为，判定两个三角形全等，条件明确，思路单一，书写规范，有章可循，等证明套路熟悉以后，可增强证明的灵活性。
三、全等三角形是几何变换思想的丰富资源
两个三角形全等，实质是其中一个三角形在合同变换（保距和保角）下变成另一个三角形，对一般三角形全等的四种判定方法的理解和掌握，是通过大量变式练习来实现的，包括平移、对称、旋转三种基本变换或它们的组合，在这些基础上总结，可提升几何变换知识，思路顺畅自然。
四、全等三角形是培养学生几何直观的特殊内容
几何是以培养学生的逻辑思维能力为重点，但几何证明的过程往往是在逻辑的指导下运用直观，又在直观的引导下演绎逻辑的过程。我们在分析某一几何证明时，总是运用平面图形的直观效果，先猜想再从已知找判定方法。三角形是最基本的几何图形，具有稳定性，既包含最基本的线段和角，又是研究四边形、多边形的基本单位，具有很好的直观效果。
既然全等三角形的内容如此重要，那么学生在学习全等三角形的内容时，遇到的难点主要有哪些，又该如何解决呢?
1.对定义、性质、判定方法等概念理解不透，特别是重点词“对应”
透彻理解基本概念是学好、用好全等三角形的前提条件，全等的符号是≌,∽代表形状相同，=代表大小相等，这有利于跟后面的相似∽相互联系、区别。性质中“对应边，对应角”相等，就要求书写两个三角形全等时要把对应顶点写在对应位置上，这有利于从中找到对应边、对应角来利用相关性质或者找条件（已知、未知）来证明两个三角形全等。判定方法有四个公理和一个推论（SSS,AAS,SAS,ASA,HL），其适用性有所不同，要特别注意没有SSA、AAA的判定方法并理解缘由。
例1、已知：如图(1)，△ABC≌△DAC,则∠B的对应角是＿＿＿＿。
分析：从图(1)中容易看出∠B的对应角为∠D，但从全等三角形对应顶点写在对应位置来看应为∠DAC，而不是∠D。
说明：在全等三角形的对应边、对应角方面有这样一些规律：全等三角形对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角，两对应边所夹的角是对应角，两对应角所夹的边是对应边，有公共边（角）的是对应边（角），对顶角是对应角，两个全等三角形中最长边（最大角）是对应边（角）。全等三角形的四个判定公理和一个推论都强调了边、角的“对应”相等，“对应”两个字举足轻重，切不可粗心大意。因此在应用两个三角形全等时，一定要把对应顶点写在对应位置上。
2.判定方法的运用，探索思路不够灵活，隐含条件挖掘不深
对于全等三角形的判定有SSS、AAS、SAS、ASA、HL，实际应用时可以把已知条件写成类似的字母表示，在所写的字母前后、中间添加另一字母构成判定方法中的某一种，最后从题中找出关键条件（或直接，或间接），以构成可行的判定法则，从而解决问题。
总结为：已知 需找
SAS
SS SSS
HL(直角三角形)
SAS
SA ASA
AAS
ASA
AA
AAS
例2、如图(2)，AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB，垂足为E、F,AE=BF。证明：∠A=∠B。
分析：欲证∠A=∠B，需证△ADF≌△BCE。由已知CE⊥AB、DF⊥AB，得△ADF和△BCE都是直角三角形，利用直角三角形的判定法则，由斜边AD=BC，只需找另一直角边相等即可。又由AE=BF,知AE+EF=BF+EF,即AF=BE，所以Rt△ADF≌Rt△BCE，原题得证。
说明：探索三角形全等的条件时，要仔细观察图形，善于挖掘隐含条件，如公共边、公共角、对顶角以及等线段加（减）同线段或等线段的和（差）相等……
3.遇到综合难题，不知如何构造全等三角形
例３、如图(3)，在△ABC中，∠BAC=90°, AC=AB, BD是AC边上的中线，AE⊥BD交BD于F，延长AF交BC于E。求证：∠ADF=∠CDE。
分析：（证法一）因结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。因为∠BAC=90°,AE⊥BD，则有∠ABD=∠DAF。又AB=AC，故可以∠DAF为一内角、以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形。为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，得到△ABD≌△CAG，从而∠ADB=∠AGC。对照结论，需证△CGE≌△CDE。由CG=AD=CD，∠ECG=∠ECD=45°,CE=CE，结论成立，证明从略。
（证法二）如图(4),△ABC为等腰直角三角形，出现了45°，也可以从这个角度出发，作∠BAC的平分线AG交BD于G，由∠A =90°，AE⊥BD,知∠ABD=∠DAF；由AC=AB, 知∠C=∠BAG=45°，故△ABG≌△CAE，从而AG=CE。又由AD=CD, ∠DAG=∠C=45°,得△GAD≌△EBD，故∠ADG=∠BDE，原题得证。 4.实际应用能力不强
搞清了全等三角形的证明思路后，还要注意一些解题方法和技巧，并且要重视实际应用问题。常用的思想方法有构造思想、转化思想、数形结合思想及建模思想。
例4、如图(5)是某城市部分街道示意图：AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为公共汽车停靠站点。公共汽车甲从A站出发，按照A→H→G→D→E→C→F的顺序到达F站；公共汽车乙从B站出发，按照B→F→H→E→D→C→G的顺序到达G站。如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，在各站点停靠的时间相同，两车的行驶速度也一样，试问：哪一辆公共汽车先到达指定站点？为什么？
分析：本题是一道有实际背景、结合学生比较熟悉的生活实际而创设的情境性题目，思考方法是分别将甲、乙两公共汽车所行使的路程用图中的线段表示出来并加以比较，从而发现问题的本质。甲公共汽车的行程为AD+DE+EC+CF，乙公共汽车的行程为BE+ED+DC+CG，因DE+EC=ED+DC，故只需比较AD+CF与BE+CG的大小。可分别证明线段AD=BE、CF=CG，由此可以得到结论：两辆公共汽车同时到达指定站点。
解：AB=BC=AC，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE =60°,∠ACD=∠BCE=120°,∠ACG=60°,△ACD≌△BCE(SAS)，AD=BE。∠CAG=∠CBF，∠ACG=∠BCF=60°,AC=BC，△ACG≌△BCF(SAS)，CG=CF。甲公共汽车的行程为：AD+DE+EC+CF，乙公共汽车的行程为：BE+ED+DC+CG，AD+DE+EC+CF=BE+ED+DC+CG，从而两辆公共汽车同时到达指定站点。
说明：解题时要充分利用全等三角形的性质，排除不必要的干扰，直接切入问题的本质。
5.书写规范性不够
证明三角形全等的过程是井然有序的，一般分为四步：
1.已知中没有直接给出的条件需要证出。
2.指明在哪两个三角形中。
3.按判定公理顺序列出三个对应相等的条件（三个等式的左端在一个三角形中，右端在另一个三角形中，除已知、已证外，注上理由）。
4.写出两个全等三角形的结论（注明理由）。若是利用全等三角形来证明边、角相等，可再写一步，对应角、对应边相等（注明理由）。
前面在全等三角形的学习意义中已指出几何书写证题从全等三角形开始，所以必须高度重视。
总的来说，全等三角形是初中几何的重要内容，“对应”的思想贯穿始终，寻找全等三角形的对应部分（对应顶点、对应边、对应角）是学生学习和应用全等三角形知识的重要基础，重点是两个三角形全等的判定方法，难点是证明三角形全等，关键是准确地迅速地寻找出两个全等三角形的对应边、对应角，建立已知和求证的桥梁，可适当作出辅助线以及等量转换来解决一些较复杂的证明、求解题目。
学习这一部分内容要紧扣下面四点：
1.理解“对应”概念，找准“对应”元素。
2.掌握判定公理，清楚证题思路。
3.规范书写格式，注意误区和特殊。
4.认真分析，适当连线，灵活解题。
对这一内容有了全面深刻的理解加上一定量的反复实践训练，能够切实掌握知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力、演绎归纳能力，体现全等三角形在平面几何中的基础性、经典性。
参考文献
[1] 罗妍 林涛 全等三角形的教育价值.数学思考[J],2007，6。
[2] 李其明 学好全等三角形的“三部曲”.名师导学[J],2007，9。
[3] 刘金江 例谈构造全等三角形的基本方法.语数英学习（初中）[J],2003，10。
[4] 于军生 学考第一[M].东北师范大学出版社,2006，12。
关键词：教育价值 难点 策略
全等三角形是平面几何中的经典教学内容，对这一内容，我们应该做一番理性思考，重新认识其教育价值。
一、全等三角形是平面几何教学的基础知识
全等三角形包含丰富的基础知识，其性质和判定是研究三角形、四边形的性质和判定以及线段的垂直平分线等内容的基本方法，判定两个三角形全等是解三角形的早期准备，又为解斜三角形有非唯一解的讨论奠定了基础。全等三角形是相似三角形的特殊情况，成为相似三角形判定的重要基础。
二、全等三角形是学习几何证明的最好素材
学习平面几何是培养逻辑思维能力，而几何证明又是培养逻辑思维能力的基本途径。几何证明的必要性、证明思路的灵活性、书写格式的规范化都是初学几何证明难以把握的，然而，若以全等三角形作为素材，便于学生模仿。这是因为，判定两个三角形全等，条件明确，思路单一，书写规范，有章可循，等证明套路熟悉以后，可增强证明的灵活性。
三、全等三角形是几何变换思想的丰富资源
两个三角形全等，实质是其中一个三角形在合同变换（保距和保角）下变成另一个三角形，对一般三角形全等的四种判定方法的理解和掌握，是通过大量变式练习来实现的，包括平移、对称、旋转三种基本变换或它们的组合，在这些基础上总结，可提升几何变换知识，思路顺畅自然。
四、全等三角形是培养学生几何直观的特殊内容
几何是以培养学生的逻辑思维能力为重点，但几何证明的过程往往是在逻辑的指导下运用直观，又在直观的引导下演绎逻辑的过程。我们在分析某一几何证明时，总是运用平面图形的直观效果，先猜想再从已知找判定方法。三角形是最基本的几何图形，具有稳定性，既包含最基本的线段和角，又是研究四边形、多边形的基本单位，具有很好的直观效果。
既然全等三角形的内容如此重要，那么学生在学习全等三角形的内容时，遇到的难点主要有哪些，又该如何解决呢?
1.对定义、性质、判定方法等概念理解不透，特别是重点词“对应”
透彻理解基本概念是学好、用好全等三角形的前提条件，全等的符号是≌,∽代表形状相同，=代表大小相等，这有利于跟后面的相似∽相互联系、区别。性质中“对应边，对应角”相等，就要求书写两个三角形全等时要把对应顶点写在对应位置上，这有利于从中找到对应边、对应角来利用相关性质或者找条件（已知、未知）来证明两个三角形全等。判定方法有四个公理和一个推论（SSS,AAS,SAS,ASA,HL），其适用性有所不同，要特别注意没有SSA、AAA的判定方法并理解缘由。
例1、已知：如图(1)，△ABC≌△DAC,则∠B的对应角是＿＿＿＿。
分析：从图(1)中容易看出∠B的对应角为∠D，但从全等三角形对应顶点写在对应位置来看应为∠DAC，而不是∠D。
说明：在全等三角形的对应边、对应角方面有这样一些规律：全等三角形对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角，两对应边所夹的角是对应角，两对应角所夹的边是对应边，有公共边（角）的是对应边（角），对顶角是对应角，两个全等三角形中最长边（最大角）是对应边（角）。全等三角形的四个判定公理和一个推论都强调了边、角的“对应”相等，“对应”两个字举足轻重，切不可粗心大意。因此在应用两个三角形全等时，一定要把对应顶点写在对应位置上。
2.判定方法的运用，探索思路不够灵活，隐含条件挖掘不深
对于全等三角形的判定有SSS、AAS、SAS、ASA、HL，实际应用时可以把已知条件写成类似的字母表示，在所写的字母前后、中间添加另一字母构成判定方法中的某一种，最后从题中找出关键条件（或直接，或间接），以构成可行的判定法则，从而解决问题。
总结为：已知 需找
SAS
SS SSS
HL(直角三角形)
SAS
SA ASA
AAS
ASA
AA
AAS
例2、如图(2)，AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB，垂足为E、F,AE=BF。证明：∠A=∠B。
分析：欲证∠A=∠B，需证△ADF≌△BCE。由已知CE⊥AB、DF⊥AB，得△ADF和△BCE都是直角三角形，利用直角三角形的判定法则，由斜边AD=BC，只需找另一直角边相等即可。又由AE=BF,知AE+EF=BF+EF,即AF=BE，所以Rt△ADF≌Rt△BCE，原题得证。
说明：探索三角形全等的条件时，要仔细观察图形，善于挖掘隐含条件，如公共边、公共角、对顶角以及等线段加（减）同线段或等线段的和（差）相等……
3.遇到综合难题，不知如何构造全等三角形
例３、如图(3)，在△ABC中，∠BAC=90°, AC=AB, BD是AC边上的中线，AE⊥BD交BD于F，延长AF交BC于E。求证：∠ADF=∠CDE。
分析：（证法一）因结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。因为∠BAC=90°,AE⊥BD，则有∠ABD=∠DAF。又AB=AC，故可以∠DAF为一内角、以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形。为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，得到△ABD≌△CAG，从而∠ADB=∠AGC。对照结论，需证△CGE≌△CDE。由CG=AD=CD，∠ECG=∠ECD=45°,CE=CE，结论成立，证明从略。
（证法二）如图(4),△ABC为等腰直角三角形，出现了45°，也可以从这个角度出发，作∠BAC的平分线AG交BD于G，由∠A =90°，AE⊥BD,知∠ABD=∠DAF；由AC=AB, 知∠C=∠BAG=45°，故△ABG≌△CAE，从而AG=CE。又由AD=CD, ∠DAG=∠C=45°,得△GAD≌△EBD，故∠ADG=∠BDE，原题得证。 4.实际应用能力不强
搞清了全等三角形的证明思路后，还要注意一些解题方法和技巧，并且要重视实际应用问题。常用的思想方法有构造思想、转化思想、数形结合思想及建模思想。
例4、如图(5)是某城市部分街道示意图：AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为公共汽车停靠站点。公共汽车甲从A站出发，按照A→H→G→D→E→C→F的顺序到达F站；公共汽车乙从B站出发，按照B→F→H→E→D→C→G的顺序到达G站。如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，在各站点停靠的时间相同，两车的行驶速度也一样，试问：哪一辆公共汽车先到达指定站点？为什么？
分析：本题是一道有实际背景、结合学生比较熟悉的生活实际而创设的情境性题目，思考方法是分别将甲、乙两公共汽车所行使的路程用图中的线段表示出来并加以比较，从而发现问题的本质。甲公共汽车的行程为AD+DE+EC+CF，乙公共汽车的行程为BE+ED+DC+CG，因DE+EC=ED+DC，故只需比较AD+CF与BE+CG的大小。可分别证明线段AD=BE、CF=CG，由此可以得到结论：两辆公共汽车同时到达指定站点。
解：AB=BC=AC，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE =60°,∠ACD=∠BCE=120°,∠ACG=60°,△ACD≌△BCE(SAS)，AD=BE。∠CAG=∠CBF，∠ACG=∠BCF=60°,AC=BC，△ACG≌△BCF(SAS)，CG=CF。甲公共汽车的行程为：AD+DE+EC+CF，乙公共汽车的行程为：BE+ED+DC+CG，AD+DE+EC+CF=BE+ED+DC+CG，从而两辆公共汽车同时到达指定站点。
说明：解题时要充分利用全等三角形的性质，排除不必要的干扰，直接切入问题的本质。
5.书写规范性不够
证明三角形全等的过程是井然有序的，一般分为四步：
1.已知中没有直接给出的条件需要证出。
2.指明在哪两个三角形中。
3.按判定公理顺序列出三个对应相等的条件（三个等式的左端在一个三角形中，右端在另一个三角形中，除已知、已证外，注上理由）。
4.写出两个全等三角形的结论（注明理由）。若是利用全等三角形来证明边、角相等，可再写一步，对应角、对应边相等（注明理由）。
前面在全等三角形的学习意义中已指出几何书写证题从全等三角形开始，所以必须高度重视。
总的来说，全等三角形是初中几何的重要内容，“对应”的思想贯穿始终，寻找全等三角形的对应部分（对应顶点、对应边、对应角）是学生学习和应用全等三角形知识的重要基础，重点是两个三角形全等的判定方法，难点是证明三角形全等，关键是准确地迅速地寻找出两个全等三角形的对应边、对应角，建立已知和求证的桥梁，可适当作出辅助线以及等量转换来解决一些较复杂的证明、求解题目。
学习这一部分内容要紧扣下面四点：
1.理解“对应”概念，找准“对应”元素。
2.掌握判定公理，清楚证题思路。
3.规范书写格式，注意误区和特殊。
4.认真分析，适当连线，灵活解题。
对这一内容有了全面深刻的理解加上一定量的反复实践训练，能够切实掌握知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力、演绎归纳能力，体现全等三角形在平面几何中的基础性、经典性。
参考文献
[1] 罗妍 林涛 全等三角形的教育价值.数学思考[J],2007，6。
[2] 李其明 学好全等三角形的“三部曲”.名师导学[J],2007，9。
[3] 刘金江 例谈构造全等三角形的基本方法.语数英学习（初中）[J],2003，10。
[4] 于军生 学考第一[M].东北师范大学出版社,2006，12。