论文部分内容阅读
《平行四边形面积》是在长（正）方形面积的基础上进行学习的，也是学习三角形、梯形等平面图形的基点。学生不仅要知道怎么计算，还要知道为什么要这样算，内容体现了“两转折”：一是方法的转折，从数方格向剪拼法的转折；二从直观得出向抽象推理发展转折，合情推理与演绎推理共存。它就像是一把钥匙，其剪拼转化的思想方法打开了平面图形面积与立体图形体积计算的大门。
在实践教学中，一般有这样的两种流程，第一种：通过长方形、平行四边形数方格比大小，利用表格中的数据猜想平行四边形的面积=底×高，通过小组合作、动手操作，运用剪拼法验证得出计算方法；第二种：出示一个长方形测量计算面积，通过拉动框架，明确邻边乘邻边是错误的，再利用剪拼法验证得出计算方法。反思这两种教学，部分学生都会“被剪拼”：第一种方式教学，从结果看，学生还是受易变形的影响，认为周长不变，其面积也是不变的，所以实际的练习中很容易做成邻边乘邻边，而从过程看，学生会有疑惑，邻边乘邻边为什么就不可以呢？第二种方式，只能证明底乘邻边的计算方法是错误的，但不可以否认平行四边形两底的变化、角度的变化的确是会带来面积的变化，从知识衔接的角度看，与长方形面积计算方法的迁移之间断开……针对这些问题，我做了以下一些改进。
一、 巧设疑，数方格中鱼和熊掌兼得
（一） 从学生的认知冲突展开
课堂回放：
今天我们要来学习平行四边形的面积，你认为平行四边形的面积和什么有关？
生1：和底，和那条底也有关。
师：这条底我们称为邻边。（课件动态演示底增长或缩短引起面积的变化。图1）
观察发现：的确，当底增长或缩短时，面积会随着变大或缩小。
师：还可能和什么有关？
生3：和高有关。（动态演示图2）
……
师：平行四边形的面积可能怎么计算？[板书：底×邻边，底×高，（底+邻边）×2]你认为哪一个计算方法肯定错的？学生一下子就排除求周长的）到底哪一个正确？
生1：底×邻边肯定是对的，因为把平行四边形拉一下就变成长方形。
生2：可是如果一直拉扁，这个面积就快变没有了。（学生拉动框架）
师：把平行四边形的框架拉动，什么变了，什么没有变，你们有什么发现？
……
小结：边、周长没有变，面积在变。所以，底×邻边的确是错的。那么，底×高就一定是对的吗？
我的思考：从学生的认知起点出发，不回避学生的原认知。在课前我们曾做过前测，发现354%认为平行四边形的面积=底×高，其中83%知道公式是怎么来的；625%的学生认为是求周长的；还有4375%认为是边×边；43%的学生不知道怎么做。从这些数据看出，还有好多的孩子是认为底和邻边有关的，其实认为底×高、底×邻边也好，都是合情推理，再运用合情推理进行猜想，用演绎推理进行验证，是符合学生的发展规律，也是行之有效的。根据学生的原认知，让学生通过观察感悟到平行四边形的面积也的确和两边的底有关，当底不变，邻边增长时，面积也随之增大；反之，亦然，高同理。在教学时，学生思维转折最困难的是易变性，它在干扰学生知识的生成，利用易变性这一特性，让学生通过操作、辩论、观察明白平行四边形的面积并不是底×邻边，底×邻边是错的，不等同于底×高就是对的，所以再提出思考：底×高就一定正确吗？
（二） 巧数方格渗透转化思想
课堂回放：为了便于研究，我们出示熟悉的方格。
数一数，下面平行四边形的面积是多少平方厘米？（每小格是1平方厘米。）
（出示图3）在学生独立数后，交流，一共有多少平方厘米？（18平方厘米）
师：你是怎么数的？
生1：先数整格有15格，再数半格，半格的格数要除以2，再加起来是18。
生2：把左边的三角形拼到右边，这样就变成一个长方形，三六十八。
生3：左边的那个三角形下面的给上面的，右边的也一样。这样也是三六十八。
师：为什么刚才拉成长方形，我们说底乘邻边是错误的，而现在也是变成长方形，却可以了？
生：前面变成长方形是面积变了，这里大小还是一样的。
师：你认为怎样数比较快？
生：把三角形剪下来拼成长方形比较快，这样只要数一数长有几格，宽有几格，长乘宽就行了，这里的长乘宽就是平行四边形的……
师：那我们就用这种数法准确快速地数。（出示图4）
学生汇报。
师：这儿的长、宽，就是平行四边形的……
师：出示图5，会数吗？（生大喊转过来，可是转过来，还是无法解决，于是提出，像这样普通的平行四边形生活中很多，我们该怎么办？） ……
我的思考：曾一度，教材中的数方格犹如鸡肋，“不足一格的按半格计算”的严谨性受到质疑，也无法为学生解惑“为什么不能用底乘邻边”，仅起到引出猜想的作用。笔者对不同版本教材的进行比对，新人教版与实验版教材的变化不是很大，都是由比较平行四边形和长方形的面积引出，而后通过数格子，在观察中提出猜想；苏教版教材（图6、7）从比较方格纸上每组中的两个图形面积是否相等入手，引导学生把稍复杂的图形转化成简单的、熟悉的图形，让学生感受转化方法在图形面积计算中的作用，并为进一步探索活动提供基本思路。在例2时引导学生通过平移把平行四边形转化为长方形，而这是利用方格为载体。
反思教材为什么都以数方格为载体？细读教材，数方格是连接长方形与平行四边形面积的桥梁，从苏教版教材更可以看出，数方格其实就是转化。
查阅词典与代数后，发现在计算平行四边形、梯形、三角形的面积时，我们常常渗透转化思想，这是我们在代数学中重要的思想和方法——出入相补思想的体现。如果我们再深入地追问一下，这其中的“转化”背后最本源的是什么——用小正方形“密铺”的思想，因此在教学中我们不能紧紧地局限在比较数方格和计算公式的优劣上，在教学中应该重视数方格的方法和测量内容的教育价值，不只是让学生算出面积，重要的是帮助学生建立空间观察。
直接呈现方格，是因为前测中发现学生对于怎样学习长方形的面积已经遗忘，在选择是事先复习，还是课堂中提出，这两种方式都不是特别的恰当，想来想去还是直接请出我们学习面积的好朋友——方格来展开。教学中安排了3次不同要求的数，第一次通过让学生在数方格时交流不同的数法，不同的数法就呈现出：第一种数法，是学生最原始的数法，而第二、三种数法是剪和拼的过程，了解转化的思想；第二次让学生很快地运用这一种数法；第三次正在学生得意之时，提出普通的平行四边形，我们该怎么办？三次的数层层递进，而且第一次为了避免不满半格按整计算给学生造成的困扰，特意选用都是纯半格的。
二、 动手操作，构建平面图形面积转化计算的模型
（一） 思考中理解为什么这样转化
课堂回放：
师：数方格中，我们初步验证了平行四边形的面积等于底乘高，生活中有许多这样普普通通的平行四边形，是否也可以这样计算？
生1：把三角剪下来，拼成长方形。
师：你们认为呢？为什么想到拼成长方形？
生2：长方形的面积我们已经会计算。
……
尝试转化。
四人一组合作，要求：
1. 先独立思考，怎样把平行四边形转化成长方形？小组交流，动手操作，如果操作失败可以启用其他的平行四边形。
2. 转化成长方形后，你发现和原来的平行四边形比，有什么相同的地方，有什么不同的地方？
3. 你知道平行四边形的面积怎么求？为什么？
展示交流讨论：你剪了几次，就能拼成长方形？你发现只要怎样剪，就能拼成长方形？为什么必须沿高剪？
交流汇报后，引导观察：一二两种，有什么相同的地方？什么不同的地方？
思考图10的方法，你认为可以吗？为什么？让学生理解两层：一是要沿着中点剪再拼；二是不仅可以沿着内高转化，也可以沿着外高。
展示没有成功的学生的操作，思考交流：他们为什么失败了呢？
我的思考：在不同的方法转化中，我们抓住本质点——沿高剪拼。在实践中，有的学生可能一次性能转化成长方形，有的同学经过多次剪拼，有的甚至是不成功的，我们不单单关注成功的，更关注为什么他们不会成功转化，他们为什么没有成功？图10的想法，学生往往思考不到，让学生以一种思考的形式展开，为三角形、梯形的转化方法做一个铺垫。以不同的剪拼方法为载体，通过不断地思考、追问，让学生对转化知其然也知其所以然，从而获得更好的思维训练和活动经验。数方格是特例，让学生从数方格到一般的图形转化推导，建构这样的思考模式：在特例中猜想，在普例中验证。
（二） 推导中形成几何思考
如何让学生形成推导的模型，为今后学习平面图形打下扎实的基础呢？
课堂回放：
思考1：剪拼成的图形与原来的平行四边形相比，什么变了？什么没有变？
学生经过小组讨论后反馈交流，形成板书：
思考2：把平行四边形转化成长方形的前提是什么？（面积是不变的）
思考3：为什么要转化成长方形呢？
生：平行四边形的面积我们是不会计算的，长方形的面积我们是已经会计算的。
小结：我们把平行四边形转化成长方形，形状变了，面积不变，像这样的我们称为等积变形。转化真是一个好方法，对你以后的学习有什么帮助呢？
生1：我们以后也可以用于转化学习三角形、梯形等。
生2：可以用不同的方法转化。
生3：三角形沿高剪不一定行。
……
我的思考：平行四边形面积的教学目的不只是解决这一图形的面积，而是引发今后学习所有平面图形的方法，串起平面图形面积转化推导的知识链，抓住什么变了，什么没变，帮助学生进一步理解和掌握等积变形的转化思想。从学生的思考中看出其对其他的平面图形的面积蠢蠢欲动，这便是学习。
三、 练习组织，巩固提升数学思考
（一） 层层递进，清晰运用
课堂回放：
师：要求平行四边形的面积，需要知道什么？
生齐答：底和高。
师：给你底和高。（逐个出示）
下面平行四边形的面积是多少？（单位：厘米）
师：出示图12，现在呢？
生1：四五二十。
生2：4和5不是一对的。跑上来指图说，4要和下面的底是一对，5和另外的一条高是一对。
师：也就是要求面积，底和高是要对应的。那你觉得现在可以求吗？还需要知道什么？（出示下面的底7.5）现在呢？
生3：4×7.5=30（平方厘米）
师：根据现在的信息你能求出什么？
生4：我觉得30÷5=6（厘米），就是下面的底。
图13要求学生独立解决，反馈交流。
师：如果这里的底和高分别用a和b表示，面积用S表示呢？
我的思考：知识的巩固需要在不断地立与破的辩论中深化，在得出计算方法时，学生已经构建平行四边形的面积=底×高，但对于对应的理解部分学生还是比较懵懂，第二小题破了原先的想法，重新构建清晰的知识。设计这样一组题组有几点好处：准确辨析要求面积需要对应的底和高；使学生理解在同一个平行四边形中，两组底乘高的积是相等的，即面积相等，根据面积相等可以求另一组底或高；让字母公式不显得突兀。
（二） 操作思考，提升思维品质
我在方格纸上画一个面积是12平方厘米的平行四边形，每小格边长为1厘米。
分三个层次推进：① 学生独立画后反馈展示、判断；② 除了这些，你觉得还有吗？谁能有序地找完？学生得出1×12，2×6，3×4……追问：如果不要求底和高是整数的，你觉得面积是12平方厘米的平行四边形还有吗？得出只要两个数的乘积是12就行；③ 在这一基础上让学生动态判断，下面的平行四边形可以吗？你发现了什么？
我的思考：练习中，第一层次让学生熟练地利用公式，快速地找到方法是几乘几等于12；第二层次是引导学生有序地思考面积是12平方厘米的平行四边形，从而得出只要两个数相乘的积是12就可以，也渗透学生找一个数因数的方法；第三层次在动态的演示中发现等底等高的平行四边形面积相等。
通过挖掘图形面积的本质，有效改进教学中的思维含量，加深了学生对转化思想的本质理解和转化经验的积累，数学思想、思考的方法不再只是写在目标里，更是显在过程中。
在实践教学中，一般有这样的两种流程，第一种：通过长方形、平行四边形数方格比大小，利用表格中的数据猜想平行四边形的面积=底×高，通过小组合作、动手操作，运用剪拼法验证得出计算方法；第二种：出示一个长方形测量计算面积，通过拉动框架，明确邻边乘邻边是错误的，再利用剪拼法验证得出计算方法。反思这两种教学，部分学生都会“被剪拼”：第一种方式教学，从结果看，学生还是受易变形的影响，认为周长不变，其面积也是不变的，所以实际的练习中很容易做成邻边乘邻边，而从过程看，学生会有疑惑，邻边乘邻边为什么就不可以呢？第二种方式，只能证明底乘邻边的计算方法是错误的，但不可以否认平行四边形两底的变化、角度的变化的确是会带来面积的变化，从知识衔接的角度看，与长方形面积计算方法的迁移之间断开……针对这些问题，我做了以下一些改进。
一、 巧设疑，数方格中鱼和熊掌兼得
（一） 从学生的认知冲突展开
课堂回放：
今天我们要来学习平行四边形的面积，你认为平行四边形的面积和什么有关？
生1：和底，和那条底也有关。
师：这条底我们称为邻边。（课件动态演示底增长或缩短引起面积的变化。图1）
观察发现：的确，当底增长或缩短时，面积会随着变大或缩小。
师：还可能和什么有关？
生3：和高有关。（动态演示图2）
……
师：平行四边形的面积可能怎么计算？[板书：底×邻边，底×高，（底+邻边）×2]你认为哪一个计算方法肯定错的？学生一下子就排除求周长的）到底哪一个正确？
生1：底×邻边肯定是对的，因为把平行四边形拉一下就变成长方形。
生2：可是如果一直拉扁，这个面积就快变没有了。（学生拉动框架）
师：把平行四边形的框架拉动，什么变了，什么没有变，你们有什么发现？
……
小结：边、周长没有变，面积在变。所以，底×邻边的确是错的。那么，底×高就一定是对的吗？
我的思考：从学生的认知起点出发，不回避学生的原认知。在课前我们曾做过前测，发现354%认为平行四边形的面积=底×高，其中83%知道公式是怎么来的；625%的学生认为是求周长的；还有4375%认为是边×边；43%的学生不知道怎么做。从这些数据看出，还有好多的孩子是认为底和邻边有关的，其实认为底×高、底×邻边也好，都是合情推理，再运用合情推理进行猜想，用演绎推理进行验证，是符合学生的发展规律，也是行之有效的。根据学生的原认知，让学生通过观察感悟到平行四边形的面积也的确和两边的底有关，当底不变，邻边增长时，面积也随之增大；反之，亦然，高同理。在教学时，学生思维转折最困难的是易变性，它在干扰学生知识的生成，利用易变性这一特性，让学生通过操作、辩论、观察明白平行四边形的面积并不是底×邻边，底×邻边是错的，不等同于底×高就是对的，所以再提出思考：底×高就一定正确吗？
（二） 巧数方格渗透转化思想
课堂回放：为了便于研究，我们出示熟悉的方格。
数一数，下面平行四边形的面积是多少平方厘米？（每小格是1平方厘米。）
（出示图3）在学生独立数后，交流，一共有多少平方厘米？（18平方厘米）
师：你是怎么数的？
生1：先数整格有15格，再数半格，半格的格数要除以2，再加起来是18。
生2：把左边的三角形拼到右边，这样就变成一个长方形，三六十八。
生3：左边的那个三角形下面的给上面的，右边的也一样。这样也是三六十八。
师：为什么刚才拉成长方形，我们说底乘邻边是错误的，而现在也是变成长方形，却可以了？
生：前面变成长方形是面积变了，这里大小还是一样的。
师：你认为怎样数比较快？
生：把三角形剪下来拼成长方形比较快，这样只要数一数长有几格，宽有几格，长乘宽就行了，这里的长乘宽就是平行四边形的……
师：那我们就用这种数法准确快速地数。（出示图4）
学生汇报。
师：这儿的长、宽，就是平行四边形的……
师：出示图5，会数吗？（生大喊转过来，可是转过来，还是无法解决，于是提出，像这样普通的平行四边形生活中很多，我们该怎么办？） ……
我的思考：曾一度，教材中的数方格犹如鸡肋，“不足一格的按半格计算”的严谨性受到质疑，也无法为学生解惑“为什么不能用底乘邻边”，仅起到引出猜想的作用。笔者对不同版本教材的进行比对，新人教版与实验版教材的变化不是很大，都是由比较平行四边形和长方形的面积引出，而后通过数格子，在观察中提出猜想；苏教版教材（图6、7）从比较方格纸上每组中的两个图形面积是否相等入手，引导学生把稍复杂的图形转化成简单的、熟悉的图形，让学生感受转化方法在图形面积计算中的作用，并为进一步探索活动提供基本思路。在例2时引导学生通过平移把平行四边形转化为长方形，而这是利用方格为载体。
反思教材为什么都以数方格为载体？细读教材，数方格是连接长方形与平行四边形面积的桥梁，从苏教版教材更可以看出，数方格其实就是转化。
查阅词典与代数后，发现在计算平行四边形、梯形、三角形的面积时，我们常常渗透转化思想，这是我们在代数学中重要的思想和方法——出入相补思想的体现。如果我们再深入地追问一下，这其中的“转化”背后最本源的是什么——用小正方形“密铺”的思想，因此在教学中我们不能紧紧地局限在比较数方格和计算公式的优劣上，在教学中应该重视数方格的方法和测量内容的教育价值，不只是让学生算出面积，重要的是帮助学生建立空间观察。
直接呈现方格，是因为前测中发现学生对于怎样学习长方形的面积已经遗忘，在选择是事先复习，还是课堂中提出，这两种方式都不是特别的恰当，想来想去还是直接请出我们学习面积的好朋友——方格来展开。教学中安排了3次不同要求的数，第一次通过让学生在数方格时交流不同的数法，不同的数法就呈现出：第一种数法，是学生最原始的数法，而第二、三种数法是剪和拼的过程，了解转化的思想；第二次让学生很快地运用这一种数法；第三次正在学生得意之时，提出普通的平行四边形，我们该怎么办？三次的数层层递进，而且第一次为了避免不满半格按整计算给学生造成的困扰，特意选用都是纯半格的。
二、 动手操作，构建平面图形面积转化计算的模型
（一） 思考中理解为什么这样转化
课堂回放：
师：数方格中，我们初步验证了平行四边形的面积等于底乘高，生活中有许多这样普普通通的平行四边形，是否也可以这样计算？
生1：把三角剪下来，拼成长方形。
师：你们认为呢？为什么想到拼成长方形？
生2：长方形的面积我们已经会计算。
……
尝试转化。
四人一组合作，要求：
1. 先独立思考，怎样把平行四边形转化成长方形？小组交流，动手操作，如果操作失败可以启用其他的平行四边形。
2. 转化成长方形后，你发现和原来的平行四边形比，有什么相同的地方，有什么不同的地方？
3. 你知道平行四边形的面积怎么求？为什么？
展示交流讨论：你剪了几次，就能拼成长方形？你发现只要怎样剪，就能拼成长方形？为什么必须沿高剪？
交流汇报后，引导观察：一二两种，有什么相同的地方？什么不同的地方？
思考图10的方法，你认为可以吗？为什么？让学生理解两层：一是要沿着中点剪再拼；二是不仅可以沿着内高转化，也可以沿着外高。
展示没有成功的学生的操作，思考交流：他们为什么失败了呢？
我的思考：在不同的方法转化中，我们抓住本质点——沿高剪拼。在实践中，有的学生可能一次性能转化成长方形，有的同学经过多次剪拼，有的甚至是不成功的，我们不单单关注成功的，更关注为什么他们不会成功转化，他们为什么没有成功？图10的想法，学生往往思考不到，让学生以一种思考的形式展开，为三角形、梯形的转化方法做一个铺垫。以不同的剪拼方法为载体，通过不断地思考、追问，让学生对转化知其然也知其所以然，从而获得更好的思维训练和活动经验。数方格是特例，让学生从数方格到一般的图形转化推导，建构这样的思考模式：在特例中猜想，在普例中验证。
（二） 推导中形成几何思考
如何让学生形成推导的模型，为今后学习平面图形打下扎实的基础呢？
课堂回放：
思考1：剪拼成的图形与原来的平行四边形相比，什么变了？什么没有变？
学生经过小组讨论后反馈交流，形成板书：
思考2：把平行四边形转化成长方形的前提是什么？（面积是不变的）
思考3：为什么要转化成长方形呢？
生：平行四边形的面积我们是不会计算的，长方形的面积我们是已经会计算的。
小结：我们把平行四边形转化成长方形，形状变了，面积不变，像这样的我们称为等积变形。转化真是一个好方法，对你以后的学习有什么帮助呢？
生1：我们以后也可以用于转化学习三角形、梯形等。
生2：可以用不同的方法转化。
生3：三角形沿高剪不一定行。
……
我的思考：平行四边形面积的教学目的不只是解决这一图形的面积，而是引发今后学习所有平面图形的方法，串起平面图形面积转化推导的知识链，抓住什么变了，什么没变，帮助学生进一步理解和掌握等积变形的转化思想。从学生的思考中看出其对其他的平面图形的面积蠢蠢欲动，这便是学习。
三、 练习组织，巩固提升数学思考
（一） 层层递进，清晰运用
课堂回放：
师：要求平行四边形的面积，需要知道什么？
生齐答：底和高。
师：给你底和高。（逐个出示）
下面平行四边形的面积是多少？（单位：厘米）
师：出示图12，现在呢？
生1：四五二十。
生2：4和5不是一对的。跑上来指图说，4要和下面的底是一对，5和另外的一条高是一对。
师：也就是要求面积，底和高是要对应的。那你觉得现在可以求吗？还需要知道什么？（出示下面的底7.5）现在呢？
生3：4×7.5=30（平方厘米）
师：根据现在的信息你能求出什么？
生4：我觉得30÷5=6（厘米），就是下面的底。
图13要求学生独立解决，反馈交流。
师：如果这里的底和高分别用a和b表示，面积用S表示呢？
我的思考：知识的巩固需要在不断地立与破的辩论中深化，在得出计算方法时，学生已经构建平行四边形的面积=底×高，但对于对应的理解部分学生还是比较懵懂，第二小题破了原先的想法，重新构建清晰的知识。设计这样一组题组有几点好处：准确辨析要求面积需要对应的底和高；使学生理解在同一个平行四边形中，两组底乘高的积是相等的，即面积相等，根据面积相等可以求另一组底或高；让字母公式不显得突兀。
（二） 操作思考，提升思维品质
我在方格纸上画一个面积是12平方厘米的平行四边形，每小格边长为1厘米。
分三个层次推进：① 学生独立画后反馈展示、判断；② 除了这些，你觉得还有吗？谁能有序地找完？学生得出1×12，2×6，3×4……追问：如果不要求底和高是整数的，你觉得面积是12平方厘米的平行四边形还有吗？得出只要两个数的乘积是12就行；③ 在这一基础上让学生动态判断，下面的平行四边形可以吗？你发现了什么？
我的思考：练习中，第一层次让学生熟练地利用公式，快速地找到方法是几乘几等于12；第二层次是引导学生有序地思考面积是12平方厘米的平行四边形，从而得出只要两个数相乘的积是12就可以，也渗透学生找一个数因数的方法；第三层次在动态的演示中发现等底等高的平行四边形面积相等。
通过挖掘图形面积的本质，有效改进教学中的思维含量，加深了学生对转化思想的本质理解和转化经验的积累，数学思想、思考的方法不再只是写在目标里，更是显在过程中。