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【摘要】S-系的相对平坦性研究是S-系平坦性理论研究的重要的组成部分.本文利用S-系的相对平坦性的思想，给出了满足条件的一类S-系的等价刻画
【关键词】S-系；条件；A-平坦.
准备知识
文献[1]中首次引入了S-系的相对平坦性的思想.对应于S-系范畴中的条件和平坦，在文献[1]中提出了条件和A-平坦的概念，从而进一步刻画了满足这两个条件的S-系的相对平坦性（见[1～3]）.作为条件的一种推广，文献[4]给出了条件.本文针对条件，结合相对平坦性的思想，提出了条件，刻画了满足条件的一类S-系的相对平坦性.
则称B是满足条件的.
特别，当取时，条件和条件等价.
由定义可以看出，条件条件，下面的例子说明，其逆是不成立的，即条件是条件的真推广.
设是幺半群的真右理想，是三个符号.
则构成左S-系，由文献[5]命题2.1知，对任意幺半群，不满足条件.特别，当取时，不满足条件，但当是左逆幺半群时，由文献[4]定理2.2知满足条件.
引理1 设A是右S-系，则左S-系B是A-平坦的当且仅当对任意，，任意，若在中有，则在中有
依据A-平坦的定义，这一命题的结论是显然的.
定理2 S是幺半群，和分别是右、左S-系.若满足条件，则是A-平坦的.
证明 设在中有，由满足条件，知存在， ，使得
下面的例子说明A-平坦不蕴含条件.
例2 设，则是只含一个幂等元的幺半群.令，，是的真右理想，作左S-系（的作法参见文献[4]例2.2），由文献[5]知是平坦的，从而是A-平坦的，但不满足条件[6]，注意到当时，条件和条件是等价的，故也不满足条件.
定理3 设A是正则右S-系，则左S-系B是A-平坦的当且仅当满足条件.
证明 依照文献[1]引理1.9和本文定理2可证得.
2.满足条件的循环S-系
引理4[3] 设A是右S-系， ρ是S上的左同余，则S/ρ满足条件（PA）当且仅当对任意s，t∈S，若sρt， ，则对任意a∈A，存在u，v∈S，使得asu=atv，且uρ1ρv.
引理5 若S是幺半群，ρ是S上的左同余，A是右S-系.若S/ρ满足条件则有：对任意，若uρv，则对任意a∈A，存在s，t，e2=e， f2=f∈S，使得
esρe，ftρf，aue=au，avf=av，aus=avt.
证明 设uρv，则对任意a∈A，有auρ=avρ，即au1ρ=av1ρ，则存在s′，t′，e2=e， f2=f∈S，∈S/ρ，使得e（1ρ）= e s′x′，f（1ρ）=f t′x′，aue=au，avf=av，au s′=avt′
设x′=xρ，并记s= s′x，t= t′x，则有
eρes，fρft，aus=aus′x=avt′x=avt.
定理6 设S是幺半群，A是右S-系，p，q 是非负整数，且P< q，如果S/ρ（xP，xq）满足条件，那么对任意a∈A，有axp=axq， 或者存在m∈S，使得axp=axpmxp
证明 假设axp≠axq，由于xpρ（xP，xq）xq，则由引理5知对任意a∈A，存在s，t，e2=e，f2=f∈S 使得
esρe，ftρf，axpe=axp，axq=axqf，axps=axqt.
再由文献[5]引理2.8知存在u，v，u′，v′∈S，使得
es=e或者es=uxp，e=vxp
ft=f或者ft=u′xp，f=v′xp
若es=e， 则ft≠f，否则我们有axp=axpe=axpes=axqt=axqft=axqf=axq，矛盾，所以有ft=u′xp， f=v′xp，则有axp=axpe=axpes=axqs=axqt=axqft=axpft=axpxq-pu′xp，令m=xq-pu′即可，另一方面，若es≠e，则es=uxp，e=vxp， 这样axp=axpe=axpvxp，这里取m=v.
推论7 若S 是一个幺半群，A是右S-系， x∈S，如果S/ρ（x，x 2）满足条件，则对任意a∈A，存在u∈S，使得 ax=a（xux）
证明 由命题6易得.
下面举例说明不蕴含条件.
例3 设x不是幺半群S中的正则元，则由文献[4]引理2.6知S/ρ（x，x2）不满足条件，令A={a}，规定S在A上的作用为as=a，对任意b，b′∈s/ρ（x，x2），设ab=ab′，b=ur，b′=vr， 只要取e=f=1，b″=1r s=u，t=v，就有
eb=es b″，fb′=ft b″，ae=a，af=a，as=a′t.
则s/ρ（x，x2） 滿足条件.
参考文献：
[1]刘仲奎.强忠实右S-系.数学杂志，1995，15（4）：429-435.
[2]冯德成.具有相对平坦性的S-系.南京理工大学学报（自然科学版），2003，27（1）：98-101.
[6]刘仲奎.半群的S-系理论.北京：科学出版社，1999.
[4]A.golchin and j.renshaw.a flatness property of acts over monoids，to appear.
[5]S.Bulman-Fleming.Flat and strongly flat S-systems.Communications in Algebra， 1992，20（9）：2553-2567.
[6]Liu Zhongkui.A characterization of regular monoids by flatness of left acts.Semigroup forum，1993，46：85-89.
【关键词】S-系；条件；A-平坦.
准备知识
文献[1]中首次引入了S-系的相对平坦性的思想.对应于S-系范畴中的条件和平坦，在文献[1]中提出了条件和A-平坦的概念，从而进一步刻画了满足这两个条件的S-系的相对平坦性（见[1～3]）.作为条件的一种推广，文献[4]给出了条件.本文针对条件，结合相对平坦性的思想，提出了条件，刻画了满足条件的一类S-系的相对平坦性.
则称B是满足条件的.
特别，当取时，条件和条件等价.
由定义可以看出，条件条件，下面的例子说明，其逆是不成立的，即条件是条件的真推广.
设是幺半群的真右理想，是三个符号.
则构成左S-系，由文献[5]命题2.1知，对任意幺半群，不满足条件.特别，当取时，不满足条件，但当是左逆幺半群时，由文献[4]定理2.2知满足条件.
引理1 设A是右S-系，则左S-系B是A-平坦的当且仅当对任意，，任意，若在中有，则在中有
依据A-平坦的定义，这一命题的结论是显然的.
定理2 S是幺半群，和分别是右、左S-系.若满足条件，则是A-平坦的.
证明 设在中有，由满足条件，知存在， ，使得
下面的例子说明A-平坦不蕴含条件.
例2 设，则是只含一个幂等元的幺半群.令，，是的真右理想，作左S-系（的作法参见文献[4]例2.2），由文献[5]知是平坦的，从而是A-平坦的，但不满足条件[6]，注意到当时，条件和条件是等价的，故也不满足条件.
定理3 设A是正则右S-系，则左S-系B是A-平坦的当且仅当满足条件.
证明 依照文献[1]引理1.9和本文定理2可证得.
2.满足条件的循环S-系
引理4[3] 设A是右S-系， ρ是S上的左同余，则S/ρ满足条件（PA）当且仅当对任意s，t∈S，若sρt， ，则对任意a∈A，存在u，v∈S，使得asu=atv，且uρ1ρv.
引理5 若S是幺半群，ρ是S上的左同余，A是右S-系.若S/ρ满足条件则有：对任意，若uρv，则对任意a∈A，存在s，t，e2=e， f2=f∈S，使得
esρe，ftρf，aue=au，avf=av，aus=avt.
证明 设uρv，则对任意a∈A，有auρ=avρ，即au1ρ=av1ρ，则存在s′，t′，e2=e， f2=f∈S，∈S/ρ，使得e（1ρ）= e s′x′，f（1ρ）=f t′x′，aue=au，avf=av，au s′=avt′
设x′=xρ，并记s= s′x，t= t′x，则有
eρes，fρft，aus=aus′x=avt′x=avt.
定理6 设S是幺半群，A是右S-系，p，q 是非负整数，且P< q，如果S/ρ（xP，xq）满足条件，那么对任意a∈A，有axp=axq， 或者存在m∈S，使得axp=axpmxp
证明 假设axp≠axq，由于xpρ（xP，xq）xq，则由引理5知对任意a∈A，存在s，t，e2=e，f2=f∈S 使得
esρe，ftρf，axpe=axp，axq=axqf，axps=axqt.
再由文献[5]引理2.8知存在u，v，u′，v′∈S，使得
es=e或者es=uxp，e=vxp
ft=f或者ft=u′xp，f=v′xp
若es=e， 则ft≠f，否则我们有axp=axpe=axpes=axqt=axqft=axqf=axq，矛盾，所以有ft=u′xp， f=v′xp，则有axp=axpe=axpes=axqs=axqt=axqft=axpft=axpxq-pu′xp，令m=xq-pu′即可，另一方面，若es≠e，则es=uxp，e=vxp， 这样axp=axpe=axpvxp，这里取m=v.
推论7 若S 是一个幺半群，A是右S-系， x∈S，如果S/ρ（x，x 2）满足条件，则对任意a∈A，存在u∈S，使得 ax=a（xux）
证明 由命题6易得.
下面举例说明不蕴含条件.
例3 设x不是幺半群S中的正则元，则由文献[4]引理2.6知S/ρ（x，x2）不满足条件，令A={a}，规定S在A上的作用为as=a，对任意b，b′∈s/ρ（x，x2），设ab=ab′，b=ur，b′=vr， 只要取e=f=1，b″=1r s=u，t=v，就有
eb=es b″，fb′=ft b″，ae=a，af=a，as=a′t.
则s/ρ（x，x2） 滿足条件.
参考文献：
[1]刘仲奎.强忠实右S-系.数学杂志，1995，15（4）：429-435.
[2]冯德成.具有相对平坦性的S-系.南京理工大学学报（自然科学版），2003，27（1）：98-101.
[6]刘仲奎.半群的S-系理论.北京：科学出版社，1999.
[4]A.golchin and j.renshaw.a flatness property of acts over monoids，to appear.
[5]S.Bulman-Fleming.Flat and strongly flat S-systems.Communications in Algebra， 1992，20（9）：2553-2567.
[6]Liu Zhongkui.A characterization of regular monoids by flatness of left acts.Semigroup forum，1993，46：85-89.