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在初中数学教学中发现：五花八门的习题集将学生拉进题海之中，学生经过贪黑起早、翻来覆去的做、练之后依旧不得要领，并时常出现“同一个问题隔一段时间再做或稍作变型再做又不会了”的现象。做为老师，是把学生曾经做过的现在又不会的问题不厌其烦地再讲一遍？还是对学生进行一番训教，然后将问题丢给学生，让他们自己解决？还是对学生进行适当地引导，使学生通过观察、比较、尝试、归纳、概括等，将通法（即解决一类题的方法）总结、提炼出来，并从中有所得、有所悟？笔者主张对学生进行适当地引导，下面举例说明。
变1：如图1，四边形ABCD中，BE=ED, ∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为4，则BE=?
图1
这是一道初三期中考试题，当时一些学生没有做出来，原因是不知从何下手。在讲评卷子时，我不仅讲了此题，还总结了几种方法，并留了作业让学生重做。在中考复习时我们又遇到与此题十分类似的习题：
变2.(2011枣庄)如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC,
∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F点，连接EF.
（1）证明：EF=CF。
图2
结果一些学生又将变2作为他们的难题还给了老师，在此，我做如下引导：
1. 设置问题，为学生的“悟”做铺垫
在学生不能“吃一堑长一智”的时候，老师讲不如不讲，但不讲不等于什么都不做，老师应该为学生营造反思、探索的氛围，为学生的“悟”做适当的铺垫。首先拿出与这两道题都有关的基本题（见例），让学生从“最基本”入手。
例： 正方形ABCD,E,F分别为BC,CD上一点，∠EAF=45°,试判断线段EF,BE,DF的关系，并说明理由。见图3.
图3
然后让学生回答以下思考题：
（1） 用什么方法解决这个例题？
（2） 此例除了所给的结论，还可以得到哪些结论？
（3） 此例的条件和结论是否可以互换？怎么换？
（4） 能否用解决此例的方法或此例的一些结论来解决变1和变2中的问题？
（5） 你发现此例与变1、变2之间的关系了吗？它们之间的联系和区别你能找到哪些？
（6） 例题、变1、变2都包含的条件是什么？解决它们的基本方法是什么？
经过解答和思考，学生可以很快地答出（1）问：用旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，使点B与点D重合，然后利用全等可得。见图4.
图4
经过引导学生可以通过证明回答问题（2）：S△ADF+S△ABE=S△AEF；△AEF边EF的高=正方形边长；旋转后可以得到AE=AG, AE⊥AG, ∠G=∠AEB,∠GAF=∠EAF=45°,或说AF平分∠EAG等。
问题（3）可以由老师点出：此例可以换条件和结论，如变成：正方形ABCD,E,F分别为BC,CD上一点，EF=BE+DF，求证：∠EAF=45°或求∠EAF的度数。并让学生解答。
经过分析、比较、尝试之后，学生可以得出：利用例中旋转图形法可以解决变1和变2，因此，问题（4）的回答是肯定的。
通过解答、比较、归纳、概括，学生可以得到问题（5）的答案：在图4的基础上减线，就可以使图4变成图1或图2；变1和变2的解法都与例类似；只是条件与结论和例有所不同。通过这样的引导，使学生认识到问题的本质，抓住它们之间内在的联系，并从中找到解决问题的突破点。
在回答问题（6）时，尽量引导学生用数学符号和文字两种形式表示，如用数学符号表示前面三道习题都包含的条件是：在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=AD, ∠A=90°，DE⊥DC交AB于E（见图2），然后尽量让学生用自己的语言叙述这段符号表述；解决前面三道习题的基本方法都是旋转图形法。通过回答问题（6），使学生清楚地认识到：在基本条件符合之后，就可以用类似的方法来解决问题，使学生在学习的过程中总结出一类题的通法及认识到通法的作用。
2. 给出变式，给学生“悟”的机会
此时学生也许会有些感觉，但真正做起来还是困难重重，而且，在前面三道习题的铺垫下，学生尚不能对问题的本质有比较深刻的理解和认识，需要给学生自己发现、观察、对照、尝试的时间，这是一个“悟”的过程，老师应该给出适当的变式，并尽可能地放手让学生自己做及开展独立思考后的讨论交流，必要时再给予适时、适量的指导。
变3：在梯形ABCD中，BC﹥AD,AD∥BC, ∠D=90°,BC=CD=12, ∠ABE=45°,若AE=10,则CE的长为多少？见图5.
图5
变4：（2008年齐齐哈尔市）（本小题满分8分）
已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于点 ．
当 绕点 旋转到 时（如图6），易证 ．
（1）当 绕点 旋转到 时（如图7），线段 和 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当 绕点 旋转到如图8的位置时，线段 和 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（此题只让学生做第（2）问，将“请直接写出你的猜想”换成“写出猜想并加以证明”）
变5：在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F,若AE=10,试求AD、DE、CF的长。见图9.
图9
3. 要让学生“悟”到点上
通过前面的习题和思考题的设置和解答，老师应该给学生这样的讲解：很多题是一个题变出来的，所谓的“万变不离其宗”可以在这里略见一斑。在学习数学的过程中，对基本题进行深挖掘，并在它变化的过程中透过现象看本质，把握题与题之间的内在联系，用已解决的问题的方法来解决新问题。这样的讲解可以体现老师“授之以渔”的教学理念和风格，也给学生的“悟”画一个小句号，帮助学生“悟”到点上，并能在一定程度上引导学生从“同一个问题隔一段时间再做或稍作变型再做又不会了”的困惑中走出来。
4. 学生尚需一个消化、“悟”的过程
这种方法经过尝试发现：短时间内见效不大，需要老师在教学中不断渗透，经常运用此方法引导学生，在学生经历了一个消化、“悟”的过程后，一些学生会自觉地运用这个方法，并会得到事半功倍的效果。
变1：如图1，四边形ABCD中，BE=ED, ∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为4，则BE=?
图1
这是一道初三期中考试题，当时一些学生没有做出来，原因是不知从何下手。在讲评卷子时，我不仅讲了此题，还总结了几种方法，并留了作业让学生重做。在中考复习时我们又遇到与此题十分类似的习题：
变2.(2011枣庄)如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC,
∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F点，连接EF.
（1）证明：EF=CF。
图2
结果一些学生又将变2作为他们的难题还给了老师，在此，我做如下引导：
1. 设置问题，为学生的“悟”做铺垫
在学生不能“吃一堑长一智”的时候，老师讲不如不讲，但不讲不等于什么都不做，老师应该为学生营造反思、探索的氛围，为学生的“悟”做适当的铺垫。首先拿出与这两道题都有关的基本题（见例），让学生从“最基本”入手。
例： 正方形ABCD,E,F分别为BC,CD上一点，∠EAF=45°,试判断线段EF,BE,DF的关系，并说明理由。见图3.
图3
然后让学生回答以下思考题：
（1） 用什么方法解决这个例题？
（2） 此例除了所给的结论，还可以得到哪些结论？
（3） 此例的条件和结论是否可以互换？怎么换？
（4） 能否用解决此例的方法或此例的一些结论来解决变1和变2中的问题？
（5） 你发现此例与变1、变2之间的关系了吗？它们之间的联系和区别你能找到哪些？
（6） 例题、变1、变2都包含的条件是什么？解决它们的基本方法是什么？
经过解答和思考，学生可以很快地答出（1）问：用旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，使点B与点D重合，然后利用全等可得。见图4.
图4
经过引导学生可以通过证明回答问题（2）：S△ADF+S△ABE=S△AEF；△AEF边EF的高=正方形边长；旋转后可以得到AE=AG, AE⊥AG, ∠G=∠AEB,∠GAF=∠EAF=45°,或说AF平分∠EAG等。
问题（3）可以由老师点出：此例可以换条件和结论，如变成：正方形ABCD,E,F分别为BC,CD上一点，EF=BE+DF，求证：∠EAF=45°或求∠EAF的度数。并让学生解答。
经过分析、比较、尝试之后，学生可以得出：利用例中旋转图形法可以解决变1和变2，因此，问题（4）的回答是肯定的。
通过解答、比较、归纳、概括，学生可以得到问题（5）的答案：在图4的基础上减线，就可以使图4变成图1或图2；变1和变2的解法都与例类似；只是条件与结论和例有所不同。通过这样的引导，使学生认识到问题的本质，抓住它们之间内在的联系，并从中找到解决问题的突破点。
在回答问题（6）时，尽量引导学生用数学符号和文字两种形式表示，如用数学符号表示前面三道习题都包含的条件是：在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=AD, ∠A=90°，DE⊥DC交AB于E（见图2），然后尽量让学生用自己的语言叙述这段符号表述；解决前面三道习题的基本方法都是旋转图形法。通过回答问题（6），使学生清楚地认识到：在基本条件符合之后，就可以用类似的方法来解决问题，使学生在学习的过程中总结出一类题的通法及认识到通法的作用。
2. 给出变式，给学生“悟”的机会
此时学生也许会有些感觉，但真正做起来还是困难重重，而且，在前面三道习题的铺垫下，学生尚不能对问题的本质有比较深刻的理解和认识，需要给学生自己发现、观察、对照、尝试的时间，这是一个“悟”的过程，老师应该给出适当的变式，并尽可能地放手让学生自己做及开展独立思考后的讨论交流，必要时再给予适时、适量的指导。
变3：在梯形ABCD中，BC﹥AD,AD∥BC, ∠D=90°,BC=CD=12, ∠ABE=45°,若AE=10,则CE的长为多少？见图5.
图5
变4：（2008年齐齐哈尔市）（本小题满分8分）
已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于点 ．
当 绕点 旋转到 时（如图6），易证 ．
（1）当 绕点 旋转到 时（如图7），线段 和 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当 绕点 旋转到如图8的位置时，线段 和 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（此题只让学生做第（2）问，将“请直接写出你的猜想”换成“写出猜想并加以证明”）
变5：在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F,若AE=10,试求AD、DE、CF的长。见图9.
图9
3. 要让学生“悟”到点上
通过前面的习题和思考题的设置和解答，老师应该给学生这样的讲解：很多题是一个题变出来的，所谓的“万变不离其宗”可以在这里略见一斑。在学习数学的过程中，对基本题进行深挖掘，并在它变化的过程中透过现象看本质，把握题与题之间的内在联系，用已解决的问题的方法来解决新问题。这样的讲解可以体现老师“授之以渔”的教学理念和风格，也给学生的“悟”画一个小句号，帮助学生“悟”到点上，并能在一定程度上引导学生从“同一个问题隔一段时间再做或稍作变型再做又不会了”的困惑中走出来。
4. 学生尚需一个消化、“悟”的过程
这种方法经过尝试发现：短时间内见效不大，需要老师在教学中不断渗透，经常运用此方法引导学生，在学生经历了一个消化、“悟”的过程后，一些学生会自觉地运用这个方法，并会得到事半功倍的效果。