摘 要 金融衍生物的定价是近代金融界所关注的重要问题，同时由于金融衍生物的定价受到多方面因素的影响，金融衍生物的定价成为困扰很多学者的问题。1973年美国经济学家Black和Scholes建立了后来被广泛接受的Black-Scholes定价模型，之后诸多学者从事该方面的研究，对定价模型进行进一步发展。本文将研究Black-Scholes定价公式及其特征分析，并研究Black-Scholes定价模型在金融工程中的运用。
　　关键词 Black-Scholes定价模型微分方程 金融工程
　　
　　一、证券定价模型研究综述
　　金融衍生物的定价是近代金融界所关注的重要问题，从Bachelier在1900年从事证券价格变化情况后[1]，越来越多的学者开始证券价格变化的模型，在Bachelier的研究中，算术布朗运动模型计算的价格为负值，随后Samuelson提出了几何布朗运动的模型[2]，建模计算证券价格，由于布朗运动具有很好的随机分布计算性质，因此后来被广泛地应用于定价模型的建立和计算。但是在实际证券市场中，由于很多股票市场出现肥尾，自相似等因素，使得使用布朗运动模型计算的价格往往不符合真是的市场。由于定价模型的不适用性，Mandelbrot和Van Ness提出了分数布朗运动[3]弥补了定价模型的缺陷，后来又有学者证明了分数Black-Scholes市场存在套利，而Black-Scholes模型也成为证券市场最为常用的定价模型。而Black-Scholes定价模型是在基于几何布朗运动的条件，下面就证明关于几何布朗运动的定理证明
　　二、Black-Scholes定价模型假设
　　Black-Scholes通过变量替换，利用一些数学技巧将微分方程转换成标准的抛物型方程，在建立定价模型时，Black-Scholes模型是基于若干假设的。
　　Black-Scholes模型的假设：
　　市场套利都是有风险的，换言之，市场是没有无风险的套利机会的。
　　市场没有税收和交易成本。
　　市场允许卖空，即投资者可以卖空衍生物。
　　股票的价格都是服从对数正态分布[4]。
　　虽然上述的假设与实际投资市场有很大的不一致，比如假设中第二条，假设市场没有税收和交易成本，但是在实际投资市场中是存在税收及交易成本，但是在推导过程中，上述的假设条件可以稍加弱化。
　　三、Black-Scholes定价微分方程
　　假设一衍生物的价格是，t表示衍生证券的持有时间，而s是表示金融衍生物的基本价格，假设基本价格s服从几何布朗运动，则有
　　下面对此式进行证明：
　　首先，我们知道其中服从标准正态分布，有标准正态分布的性质可知：
　　由于是有限的，由极限知识知道，当时，趋向于零。并且当时，有
　　根据二元函数的泰勒公式，可以将函数展开成为如下形式：
　　当时，上式从第三项之后都是的高阶无穷小。将（1）和（2）代入（3）式，可以得到：
　　由此我们证明了如果衍生证券的价格中的变量s，也就是证券的基本价格服从几何布朗运动，那么证券价格满足微分方程（4）式。这是Black-Scholes定价模型的中价格函数所满足的微分方程，这对Black-Scholes定价公式的具体推导有着很重要的价值。
　　Black-Scholes定价模型提供了一种估算证券定价的模型，在金融工程上有着重要价值，但是对于真实的证券市场，证券定价受到很多因素的影响，任何模型都只是对现实问题的抽象和模拟，总是要基于一些假设，或者不能考虑所有的影响因素，这就使得定价模型不能准确地模拟现实。Black-Scholes定价模型也存在着缺陷，其中一些假设是与真实情况不符合的，但是Black-Scholes定价模型仍然给出了现实比较好的模拟，具有其重要价值。
　　
　　参考文献：
　　[1]Bachelier L. Theory of Speculation. Cootner P. The random charater of stock market prices. P 14-90
　　[2]Sumuelson Rational theory of warrant pricing. Industrial Management Review P 45-89
　　[3]Mandelbrot Fractional Brownian motion, fractional noises and application P343-412
　　[4]施兵超.金融期货与期权 P78-123