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摘 要:利用同余法,遞归数列法,pell方程相关理论解决了特殊不定方程的整数解。
关键词:三次不定方程 整数解 pell方程
中图分类号:O156.2 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2013)02(a)-0213-01
关于不定方程(,且不含平方因子)D中不含有型素因子时已有了很多研究成果。当含有型素因子时方程求解困难。1991年曹玉书研究了方程中含有型素因子的情况[1]。罗明1995年解决了方程的整数解的问题[2]。本文证明了下列结论:
定理1 不定方程仅有整数解
定理2 不定方程仅有平凡解
引理1[3] 不定方程仅有整数解,。
引理2[4] 不定方程仅有平凡解。
定理1的证明:当时有,方程两边同时除以125得令可得由引理1可知,或者即或者。
因为所以(1)有以下两种情形:
情形①
情形②
对于情形①中式可得:即通过因式分解可解得经验证只有当是原方程的解。
对于情形②由后式可得:将前式带入可得:,借助工具Mathematica及pell方程相关理论,可得方程的全部解又以下两个类给出:
其中是方程的最小正数解,是pell方程的基本解。由F-L与不定方程的关系易得:
由③可知又所以与⑴矛盾所以无解:同理可得④无解:定理1证毕。
定理2的证明:当时有,得令可得由引理2可知无正整数解。
当5不整除时,原方程化为 (2)
因为所以(2)有以下两种情形:
情形⑤
情形⑥
对于情形⑤可得可得
由⑨可知又所以与(2)矛盾所以无解:同理可得⑩无解。
情形⑥后式可得即通过分解因式可得经验证无解。同理可得⑦式无解。定理证毕。
参考文献
[1] 曹玉书.关于丢番图方程[J].黑龙江大学自然科学学报,1991(1):18-21.
[2] 罗明.关于不定方程[J].重庆师范学院学报.自然科学版),1995(3):29-31.
[3] 倪谷炎.关于不定方程[J][J].哈尔滨师范大学自然科学学报,1999(3):13-15.
[4] 倪谷炎.关于不定方程[J].国防科技大学学报,1999(5):109-111.
[5] 周持中.斐波那契—— 卢卡斯序列及其应用[M].湖南科学技术出版发行社,1993:280-289.
[6] 柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].哈尔滨工业大学出版社,2011,20-28.
关键词:三次不定方程 整数解 pell方程
中图分类号:O156.2 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2013)02(a)-0213-01
关于不定方程(,且不含平方因子)D中不含有型素因子时已有了很多研究成果。当含有型素因子时方程求解困难。1991年曹玉书研究了方程中含有型素因子的情况[1]。罗明1995年解决了方程的整数解的问题[2]。本文证明了下列结论:
定理1 不定方程仅有整数解
定理2 不定方程仅有平凡解
引理1[3] 不定方程仅有整数解,。
引理2[4] 不定方程仅有平凡解。
定理1的证明:当时有,方程两边同时除以125得令可得由引理1可知,或者即或者。
因为所以(1)有以下两种情形:
情形①
情形②
对于情形①中式可得:即通过因式分解可解得经验证只有当是原方程的解。
对于情形②由后式可得:将前式带入可得:,借助工具Mathematica及pell方程相关理论,可得方程的全部解又以下两个类给出:
其中是方程的最小正数解,是pell方程的基本解。由F-L与不定方程的关系易得:
由③可知又所以与⑴矛盾所以无解:同理可得④无解:定理1证毕。
定理2的证明:当时有,得令可得由引理2可知无正整数解。
当5不整除时,原方程化为 (2)
因为所以(2)有以下两种情形:
情形⑤
情形⑥
对于情形⑤可得可得
由⑨可知又所以与(2)矛盾所以无解:同理可得⑩无解。
情形⑥后式可得即通过分解因式可得经验证无解。同理可得⑦式无解。定理证毕。
参考文献
[1] 曹玉书.关于丢番图方程[J].黑龙江大学自然科学学报,1991(1):18-21.
[2] 罗明.关于不定方程[J].重庆师范学院学报.自然科学版),1995(3):29-31.
[3] 倪谷炎.关于不定方程[J][J].哈尔滨师范大学自然科学学报,1999(3):13-15.
[4] 倪谷炎.关于不定方程[J].国防科技大学学报,1999(5):109-111.
[5] 周持中.斐波那契—— 卢卡斯序列及其应用[M].湖南科学技术出版发行社,1993:280-289.
[6] 柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].哈尔滨工业大学出版社,2011,20-28.