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摘 要：《义务教育数学课程标准》中对证明部分的要求，在于强调通过学生经历观察、实验、猜想等数学活动过程的学习方式，发展学生的合情推理能力和初步的演绎推理能力，能够有条理、清晰地阐述自己的观点，建立初步的符号感，发展抽象思维能力． 因而，我们只有以课标要求为出发点，才能通过对中考试题的研究，真正深入领会命题者的价值意图，从而准确进行中考复习的教学定位，有效提升备考的质量．
关键词：证法研究；内涵分析；反思教学
中考试题历来备受广大一线教师的重视，特别是最后的压轴题，一方面是因为它很大程度上直接影响到中考的成败，另一方面也是教师对自己考前在重要教学内容上的预判和把握的及时反思与调整，从而为下一届毕业班的数学教学工作找准方向和基点． 善于研究优秀的中考试题，不仅可以解读内涵的三维目标信息，更可以深刻领会命题者的价值意图，从而顺利实现与专家们的非接触性的深层次对话．
本文拟以两道“不需要证明”的中考压轴题为例，谈谈有关试题内涵解读中的一些思考．
对“不需要证明的证明”的剖析
1. 一个经典的解题模型
正方形BCGF和正方形CDHN，无论其中的一个正方形如何旋转变化，△BCN≌△GCD，线段BN，DG的关系始终不变，即BN=DG，BN⊥DG．
2. 变换视角下的多解剖析
试题1 【2009年河北卷第24题】在图2至图4中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点． 四边形BCGF和CDHN都是正方形． AE的中点是M．
（1）如图2，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM= MH，FM⊥MH；
（2）将图2中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图3中的CE缩短到图4的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
证法1：（从特殊到一般，类比问题（2）的证法，利用中位线定理，证明两个三角形全等）如图5，连结MB，MD，如图，设FM与AC交于点P．
剖析：平移变换
△GCD利用中位线定理，实现△BCN平移至△MDH，?摇?摇?摇平移至△FBM．
所得两三角形关系与原三角形关系一致．
证法2（借助中点，再次利用中位线定理，证明两个三角形全等）
如图6，连结AF，FC，CH，HE，并延长线段AF到P，使PF=AF，延长线段EH到Q，使QH=EH，连结线段PE，AQ．
剖析：位似变换
以点C为位似中心，将△BCN放大2倍得△ACQ，将△GCD放大2倍得△PCE，所得两三角形关系与原三角形关系一致．
证法3（借助中点，倍长中线，利用直角三角形的性质解决问题）
如图7，延长HM到Q，使QM=HM，连结AQ，HE，HC，FA，FC．
剖析：旋转相似变换
以C点为中心，将△BCN顺时针旋转45°，并放大倍，得△FCH．
以F点为中心，将△FBM逆时针旋转45°，并放大倍，得△FAQ．
由于△BCN与△FBM的关系等价于△BCN与△GCD的关系，因而△FCH与△FAQ也必有同样的关系存在．
证法4（再一次利用中点，构造相似三角形）
如图10，连结AF，FC，CH，HE，AH，取线段FH，AH的中点O，P，连结线段OP，PM．
剖析：旋转相似变换+位似变换
如证法3的剖析，在完成旋转相似变换之后，再利用取中点法，以点H为中心，将图6中的△FAQ缩小一半，化为图10中的△OPM，从而将△FCH与△FAQ之间的关系判断，转化为△FCH与△OPM之间的关系判断问题．
简评：综观以上的各种证法，我们不难看出，解法的实质都是以经典图形中的不变关系，即△BCN与△GCD之间的关系，来作为演绎的根源． 而各证法的差异性的外在表现，主要是由于各自最终选取的彼此等价的三角形载体的不同所产生的，而如何构造出形式、位置各异的三角形，需要较深的解题功底．
试题2 【2009年山东德州卷第23题】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连结DF，G为DF中点，连结EG，CG．
（1）求证：EG=CG．
（2）将图11中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图12所示，取DF中点G，连结EG，CG，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．?摇?摇
（3）将图11中△BEF绕B点旋转任意角度，如图13所示，再连结相应的线段，（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
3. 证法评析
试题整体结构分析
证法剖析：在《一道“不要求证明”的中考题的证明》一文中，作者给出了两种证明，但只要对本题稍作变化，我们其实不难看出，这道题实质上同试题1完全相同，证法又何止两种呢？
试题价值分析
按照《课程标准》的要求，这两道题都从初中毕业水平的考生所应形成的整体学习习惯、学习过程、学习结果来设计考题，注意所考查的数学知识之间的内在联系，加强了对数学思想方法的考查，
这两道题的主旨定位于考查学生的推理能力（合情推理与演绎推理），但通过旋转和放缩的变换，构造出了一个“从特殊到一般”的三种图形状态，其中蕴涵了“运动与静止的对立统一”、“在变化过程中寻找某些量的不变属性”这一重要的数学基本观念． 将学生的观察操作、猜想推断、演绎论证等数学活动有机地融为一个整体． 这样做，既使学生获得了一种科学探究的思维模式，又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地，从而通过对不同层次的学生采用不同的评价，体现了尊重学生的数学个体差异，有利于激发学生的思维激情和潜能，增加自信心和成就感，同时也有效地提高了试题的信度与效度．
反思
1. 准确把握新课程标准，是解读试题内涵价值的首要基础
《课程标准》指出：推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程． 义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式． 推理包括合情推理和演绎推理． 教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；……
如果教师试图将这两道不需要证明的问题，演变为以证明教学为重点的问题，想要通过难度训练，以达到提高学生的数学能力的愿望，那么显然是不合适的，试想，在简单呈现纷繁复杂的证法演示之后，由于学生特定的能力水平的限制，除了增加学生对几何学习的恐惧感之外，很难让学生获得对证法本源的深刻认识． 因而加强对《课程标准》的学习与研究，准确把握新课程标准，才能正确解读试题的内涵价值，才能不断转变我们的教学观念．
2. 践行“过程教学”的新课程理念，是解读试题内涵价值的关键
“重结论、轻过程”，仍是当前教学中的一个重要误区． 这种忽视知识形成过程的教学，会导致学生只重视结论本身，甚至死记硬背结论，“只知其然，而不知其所以然”，也就更谈不上在考场上灵活运用与迁移转化了．
因此在教学过程中，一定要从重视知识结论转向重视知识的形成过程． 要真正改变现有的教学方式，关注学生的学习方式，使教学的过程变成一个学生思维方式不断发展的过程．
不能通过要求学生机械记忆概念、公式、定理、法则来实现，而是要将这些核心知识的理解与掌握，置于解决具体数学问题的过程中，所以适当的解题训练是必要的． 但加强推理教学，又不能仅靠大量的不加选择的解题来完成，更不能异化为题海战术．
要认识到，推理能力的提升不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程． 在日常教学中，学生对数学知识的初次认知尤为重要，因此一定要留给学生充分的探究发现、归纳概括的时间，扎扎实实地掌握好每一个数学概念． 任何匆忙追求教学进度、最后依靠机械性的强化训练的做法，都不可能取得真正良好的效果．
关键词：证法研究；内涵分析；反思教学
中考试题历来备受广大一线教师的重视，特别是最后的压轴题，一方面是因为它很大程度上直接影响到中考的成败，另一方面也是教师对自己考前在重要教学内容上的预判和把握的及时反思与调整，从而为下一届毕业班的数学教学工作找准方向和基点． 善于研究优秀的中考试题，不仅可以解读内涵的三维目标信息，更可以深刻领会命题者的价值意图，从而顺利实现与专家们的非接触性的深层次对话．
本文拟以两道“不需要证明”的中考压轴题为例，谈谈有关试题内涵解读中的一些思考．
对“不需要证明的证明”的剖析
1. 一个经典的解题模型
正方形BCGF和正方形CDHN，无论其中的一个正方形如何旋转变化，△BCN≌△GCD，线段BN，DG的关系始终不变，即BN=DG，BN⊥DG．
2. 变换视角下的多解剖析
试题1 【2009年河北卷第24题】在图2至图4中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点． 四边形BCGF和CDHN都是正方形． AE的中点是M．
（1）如图2，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM= MH，FM⊥MH；
（2）将图2中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图3中的CE缩短到图4的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
证法1：（从特殊到一般，类比问题（2）的证法，利用中位线定理，证明两个三角形全等）如图5，连结MB，MD，如图，设FM与AC交于点P．
剖析：平移变换
△GCD利用中位线定理，实现△BCN平移至△MDH，?摇?摇?摇平移至△FBM．
所得两三角形关系与原三角形关系一致．
证法2（借助中点，再次利用中位线定理，证明两个三角形全等）
如图6，连结AF，FC，CH，HE，并延长线段AF到P，使PF=AF，延长线段EH到Q，使QH=EH，连结线段PE，AQ．
剖析：位似变换
以点C为位似中心，将△BCN放大2倍得△ACQ，将△GCD放大2倍得△PCE，所得两三角形关系与原三角形关系一致．
证法3（借助中点，倍长中线，利用直角三角形的性质解决问题）
如图7，延长HM到Q，使QM=HM，连结AQ，HE，HC，FA，FC．
剖析：旋转相似变换
以C点为中心，将△BCN顺时针旋转45°，并放大倍，得△FCH．
以F点为中心，将△FBM逆时针旋转45°，并放大倍，得△FAQ．
由于△BCN与△FBM的关系等价于△BCN与△GCD的关系，因而△FCH与△FAQ也必有同样的关系存在．
证法4（再一次利用中点，构造相似三角形）
如图10，连结AF，FC，CH，HE，AH，取线段FH，AH的中点O，P，连结线段OP，PM．
剖析：旋转相似变换+位似变换
如证法3的剖析，在完成旋转相似变换之后，再利用取中点法，以点H为中心，将图6中的△FAQ缩小一半，化为图10中的△OPM，从而将△FCH与△FAQ之间的关系判断，转化为△FCH与△OPM之间的关系判断问题．
简评：综观以上的各种证法，我们不难看出，解法的实质都是以经典图形中的不变关系，即△BCN与△GCD之间的关系，来作为演绎的根源． 而各证法的差异性的外在表现，主要是由于各自最终选取的彼此等价的三角形载体的不同所产生的，而如何构造出形式、位置各异的三角形，需要较深的解题功底．
试题2 【2009年山东德州卷第23题】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连结DF，G为DF中点，连结EG，CG．
（1）求证：EG=CG．
（2）将图11中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图12所示，取DF中点G，连结EG，CG，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．?摇?摇
（3）将图11中△BEF绕B点旋转任意角度，如图13所示，再连结相应的线段，（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
3. 证法评析
试题整体结构分析
证法剖析：在《一道“不要求证明”的中考题的证明》一文中，作者给出了两种证明，但只要对本题稍作变化，我们其实不难看出，这道题实质上同试题1完全相同，证法又何止两种呢？
试题价值分析
按照《课程标准》的要求，这两道题都从初中毕业水平的考生所应形成的整体学习习惯、学习过程、学习结果来设计考题，注意所考查的数学知识之间的内在联系，加强了对数学思想方法的考查，
这两道题的主旨定位于考查学生的推理能力（合情推理与演绎推理），但通过旋转和放缩的变换，构造出了一个“从特殊到一般”的三种图形状态，其中蕴涵了“运动与静止的对立统一”、“在变化过程中寻找某些量的不变属性”这一重要的数学基本观念． 将学生的观察操作、猜想推断、演绎论证等数学活动有机地融为一个整体． 这样做，既使学生获得了一种科学探究的思维模式，又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地，从而通过对不同层次的学生采用不同的评价，体现了尊重学生的数学个体差异，有利于激发学生的思维激情和潜能，增加自信心和成就感，同时也有效地提高了试题的信度与效度．
反思
1. 准确把握新课程标准，是解读试题内涵价值的首要基础
《课程标准》指出：推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程． 义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式． 推理包括合情推理和演绎推理． 教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；……
如果教师试图将这两道不需要证明的问题，演变为以证明教学为重点的问题，想要通过难度训练，以达到提高学生的数学能力的愿望，那么显然是不合适的，试想，在简单呈现纷繁复杂的证法演示之后，由于学生特定的能力水平的限制，除了增加学生对几何学习的恐惧感之外，很难让学生获得对证法本源的深刻认识． 因而加强对《课程标准》的学习与研究，准确把握新课程标准，才能正确解读试题的内涵价值，才能不断转变我们的教学观念．
2. 践行“过程教学”的新课程理念，是解读试题内涵价值的关键
“重结论、轻过程”，仍是当前教学中的一个重要误区． 这种忽视知识形成过程的教学，会导致学生只重视结论本身，甚至死记硬背结论，“只知其然，而不知其所以然”，也就更谈不上在考场上灵活运用与迁移转化了．
因此在教学过程中，一定要从重视知识结论转向重视知识的形成过程． 要真正改变现有的教学方式，关注学生的学习方式，使教学的过程变成一个学生思维方式不断发展的过程．
不能通过要求学生机械记忆概念、公式、定理、法则来实现，而是要将这些核心知识的理解与掌握，置于解决具体数学问题的过程中，所以适当的解题训练是必要的． 但加强推理教学，又不能仅靠大量的不加选择的解题来完成，更不能异化为题海战术．
要认识到，推理能力的提升不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程． 在日常教学中，学生对数学知识的初次认知尤为重要，因此一定要留给学生充分的探究发现、归纳概括的时间，扎扎实实地掌握好每一个数学概念． 任何匆忙追求教学进度、最后依靠机械性的强化训练的做法，都不可能取得真正良好的效果．