摘 要：我们知道在极限运算中，公式■1+■x=e占有比较重要的地位，常用于求1∞类型的未定式的极限，而几乎所有中高等数学教材都采用拼凑法来解决问题，即主要利用换元法把问题转化为公式形式，再去套用公式．这种方法虽然能解决大部分较简单习题，但它具有一定的机械性和局限性，如求■1+■5x2-2，这一极限运算符合公式的要求，但硬套公式则要费尽周折；又如求■（1+2x）■，这种极限与公式相似，但与公式有一定的差距，看似可以用公式解决，但用公式又是不能解决的． 鉴于这一公式的缺陷，能否找到更灵活、更全面解决问题的方法呢？本文通过假设并证明一个命题，探讨一种新的解法．
　　关键词：公式■1+■x=e；应用；探讨
　　
　　■命题假设及求证
　　要克服原有公式的缺陷，有必要分析公式的实质，建立一般普通模型，公式的右端可表示为■（1+0）∞，即公式的实质就是要求1∞类型的未定式的极限，根据这一实质，我们设想一种普通模型，设x→x0（x→∞）时，g（x）→0，f（x）→∞，则■［1+g（x）］f（x）的类型完全形如■（1+0）∞，如果■［1+g（x）］f（x）能求解，那么所有这一类型的极限均可求解．
　　命题假设 如果■g（x）=0，■g（x）·f（x）=A，那么■［1+g（x）］f（x）=eA．
　　即要求■［1+g（x）］f（x）的极限，只需求出■g（x）·f（x）的极限，这样就把复杂特殊极限问题化为一般简单极限问题了．
　　证明 实施恒等变换，■［1+g（x）］f（x）=■ef（x）ln［1+g（x）］=e■f（x）·ln［1+g（x）］，其中
　　■f（x）·ln［1+g（x）］=■f（x）·g（x）·■=■f（x）·g（x）■ln［1+g（x）］■=A·ln■［1+g（x）］■=A·lne=A，所以■［1+g（x）］f（x）=eA．?摇?摇?摇
　　在命题结论中，我们对f（x）没有作严格限制，只要求■g（x）·f（x）=A，现讨论x→x■时f（x）为有界函数的情形．
　　推论?摇若x→x0时，f（x）为有界函数，并且■g（x）=0，那么■［1+g（x）］f（x）=1．
　　证明 应用无穷小与有界函数的关系有，■g（x）·f（x）=0，由命题结论知，
　　■［1+g（x）］f（x）=e0=1．
　　例1?摇 求■1－■3x．
　　解?摇 因为■－■·3x=－6，
　　所以■1－■3x=e-6．
　　例2 求■1+■sinx．
　　解?摇 因为■■sinx=0，
　　所以■1+■sinx=e0=1．
　　
　　■推广应用
　　现在我们用命题结论来解决篇首的两个问题
　　例3?摇 求■（1+2x）■．
　　解?摇 ■2x·■=6■■=6，
　　所以■（1+2x）■=e6．
　　例4 求■1+■5x2-2．
　　解 ■■·（5x2－2）=■，
　　所以■1+■5x2-2=e■．
　　例5?摇求■■■．
　　解：■■■=■1+■■
　　?摇■■·■=■■■=■·■=■，所以■■■=e■．
　　
　　■特例质疑
　　在命题的结论中，我们要求■g（x）·f（x）存在，如果■g（x）·f（x）不存在时，有两种情况：（1）■g（x）·f（x）=∞，（2）■g（x）·f（x）极限不确定．
　　当■g（x）·f（x）=∞时，■［1+g（x）］f（x）要么为0，要么为∞．
　　例如■1+■x2=∞，■1-■x2=0．
　　当■g（x）·f（x）极限不确定时，因为我们所给出的命题是■g（x）·f（x）=A的类型，故■g（x）·f（x）极限为不确定的情况不作系统证明，只给出特例分析．
　　例6 求■1+■x．
　　如果应用命题结论得■■·x=■cosx，该极限不存在，是否命题结论失效呢？
　　当x→∞时，cosx在区间［－1，1］上不断变化取值，不能靠近一个常数，现在我们特分别取
　　cosx=0，cosx=1，cosx=－1代入原式有：
　　■1+■x=1，?摇■1+■x=e，?摇■1-■x=e-1，
　　这样看来极限■1+■x本身不存在，并非命题结论失效．
　　
　　■实践应用
　　这一命题的结论不仅在证明和计算中极为简便，而且在逆向构造函数时也具有价值．
　　例如，已知■［1+g（x）］f（x）=e3，请写出函数g（x），f（x）的表达式．
　　由■g（x）=0，■g（x）f（x）=3，可以写出很多g（x）和f（x）的表达式．