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摘 要：本文探讨了对于一个问题从两个模式，即“探究→建模”与“建模→探究”，进行建模，并阐述了建模教学应该要让学生学到解决问题的方法，要教会学生探究和交流，要培养其创新思维能力.
关键词：建模；拓展；应用；联想；创新思维
义务教育阶段的初中数学课程强调从学生已有的经验出发，让学生亲身经历探究活动，体验数学发现和创造的历程． 教师就要善于给学生创设思维空间，引导学生在学习的过程中敢于质疑、勤于反思、善于拓展、大胆联想，不拘泥于套用一种模型，学会多角度、多层次地审视问题，在建模解题过程中锻炼学生思维的灵活性，提高学生的分析问题的能力． 本文尝试把鲜活的2011年中考数学试题编拟到课堂教学设计中，挖掘中考试题所蕴涵的创新教育功能，拓展学生的认知水平，激发起学生的创造性思维意识． 尝试先探究后建模与先建模后探究二种教学形式对矩形周长最小值问题的处理策略进行剖析，就此抛砖引玉为同行教学提供参考．
探究→建模
1. 观察计算、引导学生思考
例1?摇（德州市2011年中考数学第22题）
当a=5，b=3时，与的大小关系是__________．
当a=4，b=4时， 与的大小关系是__________．
解析?摇由特殊值引导学生思考、创设辨识问题情境、强化辨异对比、引导学生去认识究竟a，b满足什么条件时才能判断与的大小关系．
2. 探究证明、寻求规律
如图1所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
（1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
解析：由表及里、究根问底，由代数不等式问题迁移至圆的相关问题，摆脱不等式解法的定式，发挥想象，引导学生善于识别具有本质的因素，把不等式的数量关系转化到线段OC与OD长，展开探究．
（1）如图1，OC=，有△ACD∽△CBD，所以=. 即CD2=AD·BD=ab，所以CD=.
（2）当a=b时，OC=CD， =；a≠b时，OC>CD， >．
3. 归纳结论、建立模型
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：__________．
解析：数学教学的真谛不在于全盘授予，而在于教会学生自主探究.一堂高效的数学课，不是教师个性能力的体现，而是学生感悟和参与的过程，在学生主动探究、证明推理的过程中感悟与的大小关系，即≥．
4. 实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
解析：从知识的掌握到知识的应用不是自然而成的简单运算，数学的应用意识只有在充分、有意识的训练基础上，学会从烦乱的数学问题中抽象出恰当的数学模型．
设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，则l=2·x+ ≥4=4． 当x=，即x=1（米）时，镜框周长最小． 此时四边形为正方形时，周长最小为4米.
建模→探究
1. 创设问题情境
例2 （南京市2011年中考数学第28题）
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
2. 转化问题，给出数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2x+（x＞0）．
解析：突破传统，上题是通过探究得出不等式模型，再求解，本题大胆猜想打破思维的固有模式，直接给出函数模型求解矩形的最小值问题．
3. 寻根究底、大胆探究
（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象性质．
①填写下表，在图1上作出函数的图象.
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+（x＞0）的最小值．
解析：引导学生大胆猜想，通过先建模再探究，类比求二次函数最大（小）值的方法，大胆猜想对新的问题能合理地选择有效的手段和策略，灵活运用所学的函数知识和配方法、图象法进行探索研究，既体现了数形结合思想，又体现了转化的数学思想，深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系．理清解决问题的思路后搭好探究的大方向，引导学生创造性地解决问题，通过不断的探索、总结、反思从图象的最低点处，发现图象最小值的含义，达到理性升华．
①，，，2，，，．
函数y=x+（x>0）的图象如图3．
②当01时，y随x增大而增大；当x=1时，函数y=x+（x>0）的最小值为2．
③y=x+=（）2+2＝（）2+2－2·+2··=－2+2． 当－=0时，即x=1时，函数y=x+（x>0）的最小值为2．
4. 解决问题
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
解析：从理性证明推理过渡到正确应用，解决“问题情境”中的问题，即当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为4．
数学建模要教什么
1. 淡化形式、注重实质
数学建模是数学的基本方法之一，在数学建模教学过程中，淡化建模的形式化、套路化，要强调对数学本质的认识，不管建模顺序先后，教学中应用“教者有意，学者无心”的形式，用建模解决问题的形式潜移默化地影响学生，使学生有意识地领会建模思想达到孕育建模的境界． 在建模过程中学生学到解决问题的方法，体验到知识的产生过程，发挥学生学习的自主性、主动性．
2. 教会学生探究与交流
新课程倡导数学学习的过程应该表现为一个探索与交流的过程，在探究的过程中形成自己对数学的理解，引导学生通过建模教学对数学问题要一题多解，追根溯源、横向类比、巧妙转化，强化数学体验，要时刻引导学生通过设计“问题链”、主动构知识，只有通过自身经历和再创造的做，帮助学生逐步形成和发展数学的应用意识. 数学教学已经不是机械化的解题教学，而是通过“随风潜入夜，润物细无声”式的教学模式，引导学生在探究中感悟、理解，启发学生在充分展示思考问题的思维过程中相互探讨、改正错误、完善解题过程，增强师生、生生之间的信息交流，鼓励学生通过建模积极思考，主动进行知识的有效延伸和拓展．
3. 培养创新思维能力
数学教学的核心是培养学生的创新思维能力，学起于思、思起于疑，疑则激发创新． 本案例对于同一问题从不同角度建模，从不等式建模到函数建模，激发学生在质疑、探索和求异中有所发现和创新，体会数学建模是桥梁.在教师合理设计和组织下，抓住教学契机让学生思维飞扬，跨越思维障碍，引向纵深，推向高潮. 经历艰难曲折的思维过程才能提高思维层次，发展思维能力，建模过程就是数学思维的碰撞与整合的过程，是认知策略与学习策略的形成、改变与完善的过程，数学建模是数学思维的活动．
苏霍姆林斯基曾说：“教给学生能借助已有的知识获取新的知识，这是最高的教学技巧所在．” 这正是运用建模思想解决数学问题的真实写照，通过建模引导学生对数学问题的探究思维过程充分展示剖析，让学生了解探究问题的思维发展过程，从模仿体验到实践探究，掌握类比、对比、联想、归纳、猜想等多种问题的探究方法，鼓励学生从多角度建模，去思考． 建模教学要从学生的认知特点出发，把握好建模的时机与目的，处理好建模与探究的关系，即在建模教学过程中什么地方适时介入探究、探究什么，只有正确处理好这一问题才能发挥探究学习在建模教学中应有的作用． 同时也把所探究的问题上升到多角度分析、灵活处理、恰当选择的数学思维高度，体现数学课程的发展性．
关键词：建模；拓展；应用；联想；创新思维
义务教育阶段的初中数学课程强调从学生已有的经验出发，让学生亲身经历探究活动，体验数学发现和创造的历程． 教师就要善于给学生创设思维空间，引导学生在学习的过程中敢于质疑、勤于反思、善于拓展、大胆联想，不拘泥于套用一种模型，学会多角度、多层次地审视问题，在建模解题过程中锻炼学生思维的灵活性，提高学生的分析问题的能力． 本文尝试把鲜活的2011年中考数学试题编拟到课堂教学设计中，挖掘中考试题所蕴涵的创新教育功能，拓展学生的认知水平，激发起学生的创造性思维意识． 尝试先探究后建模与先建模后探究二种教学形式对矩形周长最小值问题的处理策略进行剖析，就此抛砖引玉为同行教学提供参考．
探究→建模
1. 观察计算、引导学生思考
例1?摇（德州市2011年中考数学第22题）
当a=5，b=3时，与的大小关系是__________．
当a=4，b=4时， 与的大小关系是__________．
解析?摇由特殊值引导学生思考、创设辨识问题情境、强化辨异对比、引导学生去认识究竟a，b满足什么条件时才能判断与的大小关系．
2. 探究证明、寻求规律
如图1所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
（1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
解析：由表及里、究根问底，由代数不等式问题迁移至圆的相关问题，摆脱不等式解法的定式，发挥想象，引导学生善于识别具有本质的因素，把不等式的数量关系转化到线段OC与OD长，展开探究．
（1）如图1，OC=，有△ACD∽△CBD，所以=. 即CD2=AD·BD=ab，所以CD=.
（2）当a=b时，OC=CD， =；a≠b时，OC>CD， >．
3. 归纳结论、建立模型
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：__________．
解析：数学教学的真谛不在于全盘授予，而在于教会学生自主探究.一堂高效的数学课，不是教师个性能力的体现，而是学生感悟和参与的过程，在学生主动探究、证明推理的过程中感悟与的大小关系，即≥．
4. 实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
解析：从知识的掌握到知识的应用不是自然而成的简单运算，数学的应用意识只有在充分、有意识的训练基础上，学会从烦乱的数学问题中抽象出恰当的数学模型．
设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，则l=2·x+ ≥4=4． 当x=，即x=1（米）时，镜框周长最小． 此时四边形为正方形时，周长最小为4米.
建模→探究
1. 创设问题情境
例2 （南京市2011年中考数学第28题）
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
2. 转化问题，给出数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2x+（x＞0）．
解析：突破传统，上题是通过探究得出不等式模型，再求解，本题大胆猜想打破思维的固有模式，直接给出函数模型求解矩形的最小值问题．
3. 寻根究底、大胆探究
（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x＞0）的图象性质．
①填写下表，在图1上作出函数的图象.
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y=x+（x＞0）的最小值．
解析：引导学生大胆猜想，通过先建模再探究，类比求二次函数最大（小）值的方法，大胆猜想对新的问题能合理地选择有效的手段和策略，灵活运用所学的函数知识和配方法、图象法进行探索研究，既体现了数形结合思想，又体现了转化的数学思想，深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系．理清解决问题的思路后搭好探究的大方向，引导学生创造性地解决问题，通过不断的探索、总结、反思从图象的最低点处，发现图象最小值的含义，达到理性升华．
①，，，2，，，．
函数y=x+（x>0）的图象如图3．
②当0
③y=x+=（）2+2＝（）2+2－2·+2··=－2+2． 当－=0时，即x=1时，函数y=x+（x>0）的最小值为2．
4. 解决问题
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
解析：从理性证明推理过渡到正确应用，解决“问题情境”中的问题，即当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为4．
数学建模要教什么
1. 淡化形式、注重实质
数学建模是数学的基本方法之一，在数学建模教学过程中，淡化建模的形式化、套路化，要强调对数学本质的认识，不管建模顺序先后，教学中应用“教者有意，学者无心”的形式，用建模解决问题的形式潜移默化地影响学生，使学生有意识地领会建模思想达到孕育建模的境界． 在建模过程中学生学到解决问题的方法，体验到知识的产生过程，发挥学生学习的自主性、主动性．
2. 教会学生探究与交流
新课程倡导数学学习的过程应该表现为一个探索与交流的过程，在探究的过程中形成自己对数学的理解，引导学生通过建模教学对数学问题要一题多解，追根溯源、横向类比、巧妙转化，强化数学体验，要时刻引导学生通过设计“问题链”、主动构知识，只有通过自身经历和再创造的做，帮助学生逐步形成和发展数学的应用意识. 数学教学已经不是机械化的解题教学，而是通过“随风潜入夜，润物细无声”式的教学模式，引导学生在探究中感悟、理解，启发学生在充分展示思考问题的思维过程中相互探讨、改正错误、完善解题过程，增强师生、生生之间的信息交流，鼓励学生通过建模积极思考，主动进行知识的有效延伸和拓展．
3. 培养创新思维能力
数学教学的核心是培养学生的创新思维能力，学起于思、思起于疑，疑则激发创新． 本案例对于同一问题从不同角度建模，从不等式建模到函数建模，激发学生在质疑、探索和求异中有所发现和创新，体会数学建模是桥梁.在教师合理设计和组织下，抓住教学契机让学生思维飞扬，跨越思维障碍，引向纵深，推向高潮. 经历艰难曲折的思维过程才能提高思维层次，发展思维能力，建模过程就是数学思维的碰撞与整合的过程，是认知策略与学习策略的形成、改变与完善的过程，数学建模是数学思维的活动．
苏霍姆林斯基曾说：“教给学生能借助已有的知识获取新的知识，这是最高的教学技巧所在．” 这正是运用建模思想解决数学问题的真实写照，通过建模引导学生对数学问题的探究思维过程充分展示剖析，让学生了解探究问题的思维发展过程，从模仿体验到实践探究，掌握类比、对比、联想、归纳、猜想等多种问题的探究方法，鼓励学生从多角度建模，去思考． 建模教学要从学生的认知特点出发，把握好建模的时机与目的，处理好建模与探究的关系，即在建模教学过程中什么地方适时介入探究、探究什么，只有正确处理好这一问题才能发挥探究学习在建模教学中应有的作用． 同时也把所探究的问题上升到多角度分析、灵活处理、恰当选择的数学思维高度，体现数学课程的发展性．