论文部分内容阅读
“掌握数学就意味着善于解题”（波利亚语），解题教学是一项重要的数学教学活动，以解题教学为载体，去深化“四基”、涵养“四能”，使学生学会调度知识、迁移方法，学会思考探究、反思质疑，达至发展思维、提高学力的目的.基于此，笔者有意识地遴选教材或辅助材料中有价值的题目，通过有目的的策划与组织，变身自己教学的优质资源，除了通透那一道题目外，更重要的是涵养了学生发现问题、提出问题的创新意识，帮助学生历练了知识技能，丰富了思想方法，锻炼了思维，提升了内能.物色到一个好的问题，就如同择到了既“新鲜”又“对味”的食材，但如何烹出“美味小鲜”，还需要教师的妙手.
题目 如图1，等边△ABC，点O是∠CAB、∠CBA的角平分线的交点，AO、BO的中垂线PM、QN分别交AB于点M、点N，求证：AM=MN=BN.
教学意图 以题目为载体，以作图为主线，使条件逐步展开，通过解题教学，进一步熟悉三类基本的尺规作图；在作图过程中，学生历经图形的构建过程，并在这一过程中唤起记忆，进一步熟悉等边（腰）三角形、角的平分线、中垂线的性质与判定，形成知识组块；借助观察，启迪思维，引导发现，发展学生的问题意识与思维能力.
教学过程
1.作图导引，步步为营
（设计说明：循着作图的轨迹，移步换景，在真实作图中触摸、联想、发现，把相关的知识、技能嵌进去，然后再把这些知识、技能摆出来，便于学生对条件的深刻理解，为学生解题蓄势蓄能.同时，以“你能想到相关的哪些数学知识？”、“你能发现什么？”等元认知性问题导引，层层深入、步步逼近，以开放作基调放逐学生的多向性思维，力求实现预设与生成的和谐，达成本节的教学意图.）
出示作图1：已知线段a，
求作：线段AB=a.
过程略，这个作图没有阻力，学生都能独立完成.
师：呈现在我们面前的是一条线段，你能想到相关的哪些数学知识？
生1：两点之间线段最短；
生2：线段有两个端点，线段可度量，能进行大小比较；
生3：线段是轴对称图形，有两条对称轴：一是自身所在的直线，二是自身的中垂线；
师：说得比较全面，这种联想很重要，是审题的开始！
作图2：然后以AB为边作一个正△ABC.
这个组合作图也没问题，学生完成顺利.
师：现在我们面前的是一个端庄的正三角形，你能发现什么？
生4：三条边相等、三个角相等，都等于60°；
生5：三线合一；
生6：是一个轴对称图形，有3条对称轴.
师：说得很好，从边、角、线、对称等角度作了说明，这其实就是研究几何封闭图形的基本角度.很显然，这些内容都是图形的性质，那我们还可以从哪一个角度研究问题？
生7：图形的判定.
师：是的，图形的性质与判定相谐而生、相逆而生，那谁来表述一下正三角形的判定方法？
生8：根据定义，三条边相等的三角形；
生9：三个角都相等的三角形；
生10：有一个角为60°的等腰三角形.
师：这样一来，等边三角形的知识就来了一个大翻底，面对图形我们要敢于展开想象，唤起自己的记忆，为问题的解决提供物质准备.
作图3：分别作∠A、∠B的角平分线，交点记作O.
这一作图有少部分同学不能自己完成，通过小组帮扶最后全体通过.
师：图形至此，我们在原来的基础上还能发现什么？
生11：发现△OAB是等腰三角形；
生12：有30°的角；
生13：由30°角可以想到直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半；
生14∶O点到三边的距离相等.
师：我们的发现是否一定正确，请发现者依次给出证明.
生11：由于△ABC是等边三角形，所以∠CAB=∠CBA=60°，又OA、OB分别平分∠CAB、∠CBA，所以∠OAB=∠OBA=30°，故OA=OB，得证；
生12：生11的证明过程已经说明；
生13：若作出等腰△OAB底边上的高，就可以得到这个高是OA的一半；
生14：因为点O是∠CAB、∠CBA的平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到三边的距离相等.
师：同学们发现问题以及解决问题的思路愈来愈开阔了，通过推证阐明了发现的正确与否，把想和做对接起来，熟练了知识技能、熟悉了基本方法！
作图4：分别作OA、OB的中垂线，交AB于点M、点N.
这一作图出现“作图3”的境况，发动学生通过“兵教兵”完成.
师：至此，同学们又发现了什么？
生15：由垂直平分线，我想到“中垂线上任一点到线段两端点的距离相等”，因此，我会把OM、ON连接起来；
生16：我能进一步发现△OMN为新的正三角形；
生17：这样的话线段AM=MN=NB了，也就是说线段AB被M、N三等分了！
师：生15的想法非常好，其实这就是“基本图形”的意识，这一连，把中垂线的性质摆在了桌面上，可以说一目了然！下面请生16、生17说一说自己发现结论的依据？
生16：OM一连，∠OMN成了△OAM的一个外角，根据中垂线上任一点到线段两端点的距离相等可知OM=AM，所以∠MOA=∠MAO=30°，则∠OMN=∠MOA+∠MAO=60°，同理∠ONM=60°，所以∠MON=60°，故OM=MN=ON，得证；
生18：我用全等也能证，通过证△ODM与△OEN全等得OM=ON，得出等腰三角形，然后再证出∠MON=60°； 师：两位同学的思路都很好，这是证明一个图形是正三角形的两个基本方法，对本题来说都是可行的！
生17：我借用生16的证明一下子就能得到，既然OM=MN=ON，又AM=OM，BN=ON，所以AM=MN=NB.
师：这位同学借力生16的证明，瞬时得证，我们稍一留意，就可以发现两人的发现是一脉相承的，它们的证明自然可以顺势而为.
师：通过交流可以看出，同学们的目光很敏锐、认识很深刻，我们的原题就是证明“AM=MN=NB”（呈现原题），至此已告破！更为可喜的是我们得到了一个尺规“三等分线段”的好方法！那谁能把这一方法作系统性的表述？
生19：（1）作线段AB=a，以AB为边作等边△ABC；
（2）分别作∠A、∠B的角平分线，两线交于点O；
（3）分别作AO、BO的中垂线MP、NQ依次交AB于点M、点N.
则点M、点N即为AB的三等分点.
师：层次清晰，说得很好！“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”，一个题目的解决顺便获得了一个经典的尺规“三等分线段”的方法.我们知道，原来只能用尺规把线段2等分、4等分……，现在可以用尺规把线段3等分了，这可是一个很大的收获！
（教学说明：画图是学习图形的开始，通过尺规作图，一步一步把图形分解，缓推慢进，细化了学生的所视、所想，完整体验了图形的形成过程，这种审题是彻底的、通透的，若直接观察图形，往往由于线的纵横交错，理不出头绪，思路不好形成.但一步一步的作图不然，边做边想，知识不断回旋于大脑，在回旋中重组，形成解题的基本思路，这种方法其实也是拉长过程的方法，是一种慢的浸润，也是学生深入认识图形的开始，是“做中学”的真实体现！）
2.再观图形，再现风景
师：请同学们根据上述作图过程，借助终结图（请参照图1）设计自己的问题？
（设计说明：这一开放性的设计意在再次激发学生的发现欲，对学生而言，问题自己提能满足他们“自己是创造者”的心理需求，打开他们思维的闸门，把思考引向深入，让学生在问题的解答中暴露思维过程，能更好地落实以学定教.）
生20：证明点P、点Q分别是AC、BC的三等分点；
生21：若PM、QN的交点为F，则△MNF为正三角形；
生22：找出图中所有的正三角形；
生23：连结CO交AB于点H，则点H为M、N的中点；
生24：点P、O、Q三点共线；
生25：若把“等边△ABC”改为“等腰△ABC（AC=BC）”时，原题的结论是否还成立？
生26：有没有其他的三等分线段的尺规作图法？
师：请全体同学独立解答问题.20-24
学生解答较顺利，少数同学在生24的问题上出现偏差，以下略作说明：
生20的问题，只要证出△AMP与△BNQ均为等边三角形即可；
生21的问题承接上一问题用对顶角相等即得；
生22的问题可以说水到渠成，三个等边三角形已经证出；
生23的问题用三线合一直接得出；
生24的问题，少数同学不知道三点共线怎样证而受阻，根据所学证明∠POQ是平角是好理解的方法.
师：5个问题得到了解决，等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、角分线、中垂线等核心知识再次得到历练，尤其是三点共线的证明方法得到巩固，很不错，下面我们先独立思考一下生25、生26的问题，看谁能第一个解决？
生25的问题在3分钟后大部分同学获解：结论不再成立，不过能保证AM=BN.
生26的问题陷入窘境，由于利用现有知识我们无力解决，笔者在学生思考2分钟未果后及时作了说明：这个问题提得很好，但由于我们现有知识的储备不足，这个问题暂时解决不了，等我们学过重心的性质及平行线等分线段的知识后，我相信同学们会想出自己的妙法！
（教学说明：当整个图形呈现出来后，由于视角的差异，问题提出的角度会各不相同，正是这种发散式思维，激发了学生的问题意识，学生竞相发现问题、提出问题，学生的思维浪花在一个个问题激荡下飞溅，并在此基础上组织全体同学分析问题、解决问题，不断轮回于合情推理与逻辑推理，促进了学生的思维延伸，收获了更多的思维产品.这种基于再发现的内在驱动让学生信心倍增，成果迭出，尤其是生25、26提出的问题具有一定的拓展性和挑战性，把思维由开阔地引向了深水区，但由于问题26暂时不可解，笔者在褒扬生26提出的问题有价值外，适时收了口，确保了课堂的经济效益.）
3.个性解读，画龙点睛
（设计说明：当我们匆匆攀到山顶后，若不及时回顾自己的来路，有的路线很容易淡忘、消失，但若适时反观，把历程回溯，就能沉淀下来，成为自己的一份经验.学习莫不如此，经过反思的知能经验，其迁移能力才更强！）
师：请同学们回顾今天的学习历程，从下面的几个关键词中选择一个或几个，并做出自己的解读：
作图、等边三角形、尺规等分线段、线段相等证明法
生27：我选择“作图”，本节课我们再次认识了三种基本作图：（1）作线段等于已知线段；（2）作角的平分线；（3）作线段的中垂线，另外我新认识了用尺规三等分线段.
生28：我选择“等边三角形”，它是三角形中最特殊的图形，三边相等、三角相等，三组三线合一、是轴对称图形且有三条对称轴等特征.它的判定方法有两个：三个角相等；有一个为60°的等腰三角形.
生29：我选择“尺规等分线段”：用作线段的中垂线可以把线段2等分，进一步2n等分，现在又知道了三等分线段.
生30：我选择“线段相等证明法”：到现在我们已经认识了4种证明线段相等的方法，一是全等法；二是角平分线的性质；三是中垂线的性质；四是等角对等边. 师：都说得很到位，谁还有补充？
生31：关于线段相等，我还有一个方法：等腰三角形的“三线合一”也能证明线段相等.
师：补充的很好！哪一位同学还有说法？
生32：我以为基本图形很重要，这节课我加深了对基本图形的认识：中垂线的基本图、角平分线的基本图、等腰（边）三角形基本图
师：这位同学的认识更深刻，对学习几何图形而言，模型意识很关键，眼中有图、胸中有知、心中有法，再复杂的问题也会化解！
由于时间关系，我们就不再交流了，可以看出，通过作图我们把一个题目进行了分解，一步一步把等边三角形、角分线、中垂线、全等三角形等知识做了一个大盘点，熟练了作图、等线段证明等方法，进一步丰富了学生解题的基本经验，锻炼了学生发现问题、提出问题的能力.
（教学说明：通过选择关键词的方式，激发了学生参与的积极性，另外，给出关键词，给学生以梳理的导引，指向本节课的关键点，这种放而有收的总结方式，调适好了价值的走向，是讲效率、见效益的举措，学生的你言我语，个性解读，笔者的点睛之笔，都得到了较好的落实.）
4.分层作业，自主选择
必做：用我们本节课使用的作图分解图形法，解决以下问题：
教学后思
1.选题——丰富的内涵、丰盈的思想
伟大的数学教育家波利亚主张：与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.笔者铭记大家的教诲，做了以上教学的尝试，通过精挑细选，锁定了一道背景为正三角形的题目，通过挖掘题目的内涵，揭示出问题的多维价值，意图承载起教学的设定目标.这恰如烹制美味，要成就满桌鲜，只有大厨的神思妙手尚不够，还需要有优质的食材！因此，选好题是教学有效实施的物质基础.
2.画图——可感的操作、可视的思维
一步一景，景随步幽，一尺一规，线线亲历，弧弧亲为，图形遂成，感受莫深.图形在动态操作中丰满，内涵在静态思考中丰盈，思维在可感可触的视境中延伸，回想、联想、猜想交相辉映，弹奏出课堂上师生互动、生生互动的和声，学生发现问题的神经在老师创设的开放情境下给拨弄起来，老师在其中适切的“边鼓”语，时时激发着学生的参与热情，调节了问题探研的基本走向，使得生成有效服务于老师的精心预设.有数学的智趣，有课堂的乐趣，轻松中不乏挑战，可感、可视的作图是深度的审题活动，这种细化助力于学生对基本图形的认识，能让不同层次的学生都有话可说，是教学逐步展开的外显载体.
3.主导——发现的引擎、价值的引领
苏格拉底的一句经典名言：“思想应当诞生在学生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事.”道出了教师的主导定位——助产士！那教师的主导作用具体体现在哪里？就是在课堂上能洞察时事，根据学生的思维动向，巧妙地穿针引线，组织起多维对话，在对话中让学生把自己的想法、思路尽情地展示出来，能有效避免因学生知能不足而导致问题不了了之甚至将错就错.教师恰如其分的点拨，往往能激荡出学生的思维智慧，让学生有所发现、有所创造，共享成果.本节课中，笔者没有多少话语，而是在倾听着学生课堂上的声音，同学们之间平等交流、真诚对话、思维碰撞.不难看出，整个题目均由学生自主完成并表述依据，笔者只是在必要时推波助澜：抛一个“海问”，引发学生的多向思维，诱动学生去发现问题、提出问题；来一个短评，或赏识或督促，激发起学生的斗志，调节着课堂的节奏；适时的点睛，明晰了价值取向，凝聚了思想方法，提升了认知层次.可以说有效发挥了组织者、指导者、欣赏者的主导作用，使得这种主导成为学生发现问题、提出问题的引擎，并对题目的教学价值定位做了方向性引领.
题目 如图1，等边△ABC，点O是∠CAB、∠CBA的角平分线的交点，AO、BO的中垂线PM、QN分别交AB于点M、点N，求证：AM=MN=BN.
教学意图 以题目为载体，以作图为主线，使条件逐步展开，通过解题教学，进一步熟悉三类基本的尺规作图；在作图过程中，学生历经图形的构建过程，并在这一过程中唤起记忆，进一步熟悉等边（腰）三角形、角的平分线、中垂线的性质与判定，形成知识组块；借助观察，启迪思维，引导发现，发展学生的问题意识与思维能力.
教学过程
1.作图导引，步步为营
（设计说明：循着作图的轨迹，移步换景，在真实作图中触摸、联想、发现，把相关的知识、技能嵌进去，然后再把这些知识、技能摆出来，便于学生对条件的深刻理解，为学生解题蓄势蓄能.同时，以“你能想到相关的哪些数学知识？”、“你能发现什么？”等元认知性问题导引，层层深入、步步逼近，以开放作基调放逐学生的多向性思维，力求实现预设与生成的和谐，达成本节的教学意图.）
出示作图1：已知线段a，
求作：线段AB=a.
过程略，这个作图没有阻力，学生都能独立完成.
师：呈现在我们面前的是一条线段，你能想到相关的哪些数学知识？
生1：两点之间线段最短；
生2：线段有两个端点，线段可度量，能进行大小比较；
生3：线段是轴对称图形，有两条对称轴：一是自身所在的直线，二是自身的中垂线；
师：说得比较全面，这种联想很重要，是审题的开始！
作图2：然后以AB为边作一个正△ABC.
这个组合作图也没问题，学生完成顺利.
师：现在我们面前的是一个端庄的正三角形，你能发现什么？
生4：三条边相等、三个角相等，都等于60°；
生5：三线合一；
生6：是一个轴对称图形，有3条对称轴.
师：说得很好，从边、角、线、对称等角度作了说明，这其实就是研究几何封闭图形的基本角度.很显然，这些内容都是图形的性质，那我们还可以从哪一个角度研究问题？
生7：图形的判定.
师：是的，图形的性质与判定相谐而生、相逆而生，那谁来表述一下正三角形的判定方法？
生8：根据定义，三条边相等的三角形；
生9：三个角都相等的三角形；
生10：有一个角为60°的等腰三角形.
师：这样一来，等边三角形的知识就来了一个大翻底，面对图形我们要敢于展开想象，唤起自己的记忆，为问题的解决提供物质准备.
作图3：分别作∠A、∠B的角平分线，交点记作O.
这一作图有少部分同学不能自己完成，通过小组帮扶最后全体通过.
师：图形至此，我们在原来的基础上还能发现什么？
生11：发现△OAB是等腰三角形；
生12：有30°的角；
生13：由30°角可以想到直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半；
生14∶O点到三边的距离相等.
师：我们的发现是否一定正确，请发现者依次给出证明.
生11：由于△ABC是等边三角形，所以∠CAB=∠CBA=60°，又OA、OB分别平分∠CAB、∠CBA，所以∠OAB=∠OBA=30°，故OA=OB，得证；
生12：生11的证明过程已经说明；
生13：若作出等腰△OAB底边上的高，就可以得到这个高是OA的一半；
生14：因为点O是∠CAB、∠CBA的平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到三边的距离相等.
师：同学们发现问题以及解决问题的思路愈来愈开阔了，通过推证阐明了发现的正确与否，把想和做对接起来，熟练了知识技能、熟悉了基本方法！
作图4：分别作OA、OB的中垂线，交AB于点M、点N.
这一作图出现“作图3”的境况，发动学生通过“兵教兵”完成.
师：至此，同学们又发现了什么？
生15：由垂直平分线，我想到“中垂线上任一点到线段两端点的距离相等”，因此，我会把OM、ON连接起来；
生16：我能进一步发现△OMN为新的正三角形；
生17：这样的话线段AM=MN=NB了，也就是说线段AB被M、N三等分了！
师：生15的想法非常好，其实这就是“基本图形”的意识，这一连，把中垂线的性质摆在了桌面上，可以说一目了然！下面请生16、生17说一说自己发现结论的依据？
生16：OM一连，∠OMN成了△OAM的一个外角，根据中垂线上任一点到线段两端点的距离相等可知OM=AM，所以∠MOA=∠MAO=30°，则∠OMN=∠MOA+∠MAO=60°，同理∠ONM=60°，所以∠MON=60°，故OM=MN=ON，得证；
生18：我用全等也能证，通过证△ODM与△OEN全等得OM=ON，得出等腰三角形，然后再证出∠MON=60°； 师：两位同学的思路都很好，这是证明一个图形是正三角形的两个基本方法，对本题来说都是可行的！
生17：我借用生16的证明一下子就能得到，既然OM=MN=ON，又AM=OM，BN=ON，所以AM=MN=NB.
师：这位同学借力生16的证明，瞬时得证，我们稍一留意，就可以发现两人的发现是一脉相承的，它们的证明自然可以顺势而为.
师：通过交流可以看出，同学们的目光很敏锐、认识很深刻，我们的原题就是证明“AM=MN=NB”（呈现原题），至此已告破！更为可喜的是我们得到了一个尺规“三等分线段”的好方法！那谁能把这一方法作系统性的表述？
生19：（1）作线段AB=a，以AB为边作等边△ABC；
（2）分别作∠A、∠B的角平分线，两线交于点O；
（3）分别作AO、BO的中垂线MP、NQ依次交AB于点M、点N.
则点M、点N即为AB的三等分点.
师：层次清晰，说得很好！“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”，一个题目的解决顺便获得了一个经典的尺规“三等分线段”的方法.我们知道，原来只能用尺规把线段2等分、4等分……，现在可以用尺规把线段3等分了，这可是一个很大的收获！
（教学说明：画图是学习图形的开始，通过尺规作图，一步一步把图形分解，缓推慢进，细化了学生的所视、所想，完整体验了图形的形成过程，这种审题是彻底的、通透的，若直接观察图形，往往由于线的纵横交错，理不出头绪，思路不好形成.但一步一步的作图不然，边做边想，知识不断回旋于大脑，在回旋中重组，形成解题的基本思路，这种方法其实也是拉长过程的方法，是一种慢的浸润，也是学生深入认识图形的开始，是“做中学”的真实体现！）
2.再观图形，再现风景
师：请同学们根据上述作图过程，借助终结图（请参照图1）设计自己的问题？
（设计说明：这一开放性的设计意在再次激发学生的发现欲，对学生而言，问题自己提能满足他们“自己是创造者”的心理需求，打开他们思维的闸门，把思考引向深入，让学生在问题的解答中暴露思维过程，能更好地落实以学定教.）
生20：证明点P、点Q分别是AC、BC的三等分点；
生21：若PM、QN的交点为F，则△MNF为正三角形；
生22：找出图中所有的正三角形；
生23：连结CO交AB于点H，则点H为M、N的中点；
生24：点P、O、Q三点共线；
生25：若把“等边△ABC”改为“等腰△ABC（AC=BC）”时，原题的结论是否还成立？
生26：有没有其他的三等分线段的尺规作图法？
师：请全体同学独立解答问题.20-24
学生解答较顺利，少数同学在生24的问题上出现偏差，以下略作说明：
生20的问题，只要证出△AMP与△BNQ均为等边三角形即可；
生21的问题承接上一问题用对顶角相等即得；
生22的问题可以说水到渠成，三个等边三角形已经证出；
生23的问题用三线合一直接得出；
生24的问题，少数同学不知道三点共线怎样证而受阻，根据所学证明∠POQ是平角是好理解的方法.
师：5个问题得到了解决，等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、角分线、中垂线等核心知识再次得到历练，尤其是三点共线的证明方法得到巩固，很不错，下面我们先独立思考一下生25、生26的问题，看谁能第一个解决？
生25的问题在3分钟后大部分同学获解：结论不再成立，不过能保证AM=BN.
生26的问题陷入窘境，由于利用现有知识我们无力解决，笔者在学生思考2分钟未果后及时作了说明：这个问题提得很好，但由于我们现有知识的储备不足，这个问题暂时解决不了，等我们学过重心的性质及平行线等分线段的知识后，我相信同学们会想出自己的妙法！
（教学说明：当整个图形呈现出来后，由于视角的差异，问题提出的角度会各不相同，正是这种发散式思维，激发了学生的问题意识，学生竞相发现问题、提出问题，学生的思维浪花在一个个问题激荡下飞溅，并在此基础上组织全体同学分析问题、解决问题，不断轮回于合情推理与逻辑推理，促进了学生的思维延伸，收获了更多的思维产品.这种基于再发现的内在驱动让学生信心倍增，成果迭出，尤其是生25、26提出的问题具有一定的拓展性和挑战性，把思维由开阔地引向了深水区，但由于问题26暂时不可解，笔者在褒扬生26提出的问题有价值外，适时收了口，确保了课堂的经济效益.）
3.个性解读，画龙点睛
（设计说明：当我们匆匆攀到山顶后，若不及时回顾自己的来路，有的路线很容易淡忘、消失，但若适时反观，把历程回溯，就能沉淀下来，成为自己的一份经验.学习莫不如此，经过反思的知能经验，其迁移能力才更强！）
师：请同学们回顾今天的学习历程，从下面的几个关键词中选择一个或几个，并做出自己的解读：
作图、等边三角形、尺规等分线段、线段相等证明法
生27：我选择“作图”，本节课我们再次认识了三种基本作图：（1）作线段等于已知线段；（2）作角的平分线；（3）作线段的中垂线，另外我新认识了用尺规三等分线段.
生28：我选择“等边三角形”，它是三角形中最特殊的图形，三边相等、三角相等，三组三线合一、是轴对称图形且有三条对称轴等特征.它的判定方法有两个：三个角相等；有一个为60°的等腰三角形.
生29：我选择“尺规等分线段”：用作线段的中垂线可以把线段2等分，进一步2n等分，现在又知道了三等分线段.
生30：我选择“线段相等证明法”：到现在我们已经认识了4种证明线段相等的方法，一是全等法；二是角平分线的性质；三是中垂线的性质；四是等角对等边. 师：都说得很到位，谁还有补充？
生31：关于线段相等，我还有一个方法：等腰三角形的“三线合一”也能证明线段相等.
师：补充的很好！哪一位同学还有说法？
生32：我以为基本图形很重要，这节课我加深了对基本图形的认识：中垂线的基本图、角平分线的基本图、等腰（边）三角形基本图
师：这位同学的认识更深刻，对学习几何图形而言，模型意识很关键，眼中有图、胸中有知、心中有法，再复杂的问题也会化解！
由于时间关系，我们就不再交流了，可以看出，通过作图我们把一个题目进行了分解，一步一步把等边三角形、角分线、中垂线、全等三角形等知识做了一个大盘点，熟练了作图、等线段证明等方法，进一步丰富了学生解题的基本经验，锻炼了学生发现问题、提出问题的能力.
（教学说明：通过选择关键词的方式，激发了学生参与的积极性，另外，给出关键词，给学生以梳理的导引，指向本节课的关键点，这种放而有收的总结方式，调适好了价值的走向，是讲效率、见效益的举措，学生的你言我语，个性解读，笔者的点睛之笔，都得到了较好的落实.）
4.分层作业，自主选择
必做：用我们本节课使用的作图分解图形法，解决以下问题：
教学后思
1.选题——丰富的内涵、丰盈的思想
伟大的数学教育家波利亚主张：与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.笔者铭记大家的教诲，做了以上教学的尝试，通过精挑细选，锁定了一道背景为正三角形的题目，通过挖掘题目的内涵，揭示出问题的多维价值，意图承载起教学的设定目标.这恰如烹制美味，要成就满桌鲜，只有大厨的神思妙手尚不够，还需要有优质的食材！因此，选好题是教学有效实施的物质基础.
2.画图——可感的操作、可视的思维
一步一景，景随步幽，一尺一规，线线亲历，弧弧亲为，图形遂成，感受莫深.图形在动态操作中丰满，内涵在静态思考中丰盈，思维在可感可触的视境中延伸，回想、联想、猜想交相辉映，弹奏出课堂上师生互动、生生互动的和声，学生发现问题的神经在老师创设的开放情境下给拨弄起来，老师在其中适切的“边鼓”语，时时激发着学生的参与热情，调节了问题探研的基本走向，使得生成有效服务于老师的精心预设.有数学的智趣，有课堂的乐趣，轻松中不乏挑战，可感、可视的作图是深度的审题活动，这种细化助力于学生对基本图形的认识，能让不同层次的学生都有话可说，是教学逐步展开的外显载体.
3.主导——发现的引擎、价值的引领
苏格拉底的一句经典名言：“思想应当诞生在学生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事.”道出了教师的主导定位——助产士！那教师的主导作用具体体现在哪里？就是在课堂上能洞察时事，根据学生的思维动向，巧妙地穿针引线，组织起多维对话，在对话中让学生把自己的想法、思路尽情地展示出来，能有效避免因学生知能不足而导致问题不了了之甚至将错就错.教师恰如其分的点拨，往往能激荡出学生的思维智慧，让学生有所发现、有所创造，共享成果.本节课中，笔者没有多少话语，而是在倾听着学生课堂上的声音，同学们之间平等交流、真诚对话、思维碰撞.不难看出，整个题目均由学生自主完成并表述依据，笔者只是在必要时推波助澜：抛一个“海问”，引发学生的多向思维，诱动学生去发现问题、提出问题；来一个短评，或赏识或督促，激发起学生的斗志，调节着课堂的节奏；适时的点睛，明晰了价值取向，凝聚了思想方法，提升了认知层次.可以说有效发挥了组织者、指导者、欣赏者的主导作用，使得这种主导成为学生发现问题、提出问题的引擎，并对题目的教学价值定位做了方向性引领.